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  • 2021-06-11 发布

四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题

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‎2020年春四川省宜宾市第四中学高二期中考试 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知复数,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知命题p:∀x∈R,2x>0,那么命题¬p为 A.∃x∈R,2x<0 B.∀x∈R,2x<0 C.∃x∈R,2x≤0 D.∀x∈R,2x≤0‎ ‎3.下列求导运算正确的是.‎ A. B. C. D.‎ ‎4.随机变量,且,则 A.0.20 B.0.30 C.0.70 D.0.80‎ ‎5.若是互不相同的空间直线,是不重合的平面,则下列命题中真命题是 A.若则 B.若 则 C.若,,则 D.若,,则 ‎6.个节目,若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有 A.种 B.种 ‎ C.种 D.种 ‎7.执行如图所示的程序框图,输出的值是 A. ‎ B. ‎ C. D.‎ ‎8.设双曲线的离心率为,且它的一个焦 点在抛物线的准线上,则此双曲线的方程为 A. ‎ B. ‎ C. D.‎ ‎9.函数的大致图象是 A. B.‎ C. D.‎ ‎10.在区间内随机取两个数分别记为,则函数有零点的概率 A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数存在两个极值点.则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎12.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为 A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.的展开式中的常数项是__________.‎ ‎14.函数的极值点是_____________________‎ ‎15.二面角的大小是,线段,,与所成的角,则与平面所成的角的正弦值是__________.‎ ‎16.若函数在定义域上是增函数,则实数的取值范围为__________.‎ 三、 解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求在上的最值;‎ ‎(II)对任意,恒有成立,求实数的取位范围.‎ ‎18.(12分)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在55名男性驾驶员中,平均车速超过的有40人,不超过的有15人;在45名女性驾驶员中,平均车速超过的有20人,不超过的有25人.‎ ‎(Ⅰ)完成下面的列联表,并判断是否有%的把握认为平均车速超过的人与性别有关.‎ 平均车速超过人数 平均车速不超过人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 ‎(II)以上述数据样本来估计总体,现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列和数学期望.‎ 参考公式与数据:‎ ‎,其中.‎ ‎19.(12分)在三棱柱中,侧棱底面,分别是、、的中点,,.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)已知抛物线的焦点为,为抛物线上异于原点的任意一点,过点的直线交抛物线于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为3时,为正三角形.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线,且和抛物线有且只有一个公共点,试问直线(为抛物线上异于原点的任意一点)是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.‎ ‎21.(12分)已知函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,证明:;‎ ‎(Ⅲ)求证:对任意正整数n,都有(其中e≈2.7183为自然对数的底数)‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)已知曲线的参数方程是 (是参数, ),直线的参数方程是 (是参数),曲线与直线有一个公共点在轴上,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ‎(I)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(II)若点,,在曲线上,求的值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数.‎ ‎(I)若不等式的解集为,求实数的值;‎ ‎(II)当 时,若对一切实数恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎2020年春四川省宜宾市第四中学高二期中考试 理科数学参考答案 ‎1.C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.B 8.C 9.A 10.B 11.B 12.B ‎13. 14.或1或0 15. 16.‎ ‎17.(1)因为,所以,令,解得或,‎ 因为在上,所以在上单调递减;在上单调递增,‎ 又因为,,,‎ 所以,当时,的最大值为4;当时,的最小值为.‎ ‎(2)因为,结合的图象:‎ 令,解得,‎ 所以m的取值范围是.‎ ‎18.(Ⅰ)‎ 平均车速超过人数 平均车速不超过人数 合计 男性驾驶员人数 ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 女性驾驶员人数 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 因为,‎ 所以有%的把握认为平均车速超过与性别有关;‎ ‎(Ⅱ)根据样本估计总体的思想,从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆,驾驶员为男性且车速超过的车辆的概率为.‎ X可取值是0,1,2,3,,有:‎ ‎,,‎ ‎,,‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎.‎ ‎19.(Ⅰ)因为,,所以,‎ 又侧棱底面,所以,,‎ 所以平面,而平面,‎ 所以. ‎ ‎(Ⅱ)由已知及(Ⅰ)可知,,,‎ 以A为原点,分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则,,,,,,‎ 所以,,设面的法向量为,‎ 则由得即令得.‎ 又由题可知面的法向量. 所以,‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎20.(Ⅰ)由题意知,设,则的中点为,‎ 因为,由抛物线的定义知:,解得或(舍去),‎ 由,解得,所以抛物线的方程为 ‎(II)由(Ⅰ)知,设,,因为,则,由得,故,故直线的斜率为,因为直线和直线平行,‎ 故可设直线的方程为,‎ 代入抛物线方程得,由题意知,得.‎ 设,则,,当时,,‎ 可得直线的方程为,‎ 由,整理可得,所以直线恒过点,‎ 当时,直线的方程为,过点,所以直线恒过定点.‎ ‎21.(1)函数的定义域为,‎ ‎①当时,,所以在上单调递增,‎ ‎②当时,令,解得:‎ 当时,, 所以在上单调递减;‎ 当时,,所以在上单调递增,‎ 综上,当时,函数在上单调递增;‎ 当时,函数在上单调递减,在上单调递增;‎ ‎(2)当时,,要证明,即证,即,‎ 设则,令得,,‎ 当时,,当时,所以为极大值点,也为最大值点 ‎ 所以,即故当时,; ‎ ‎(3)由(2)(当且仅当时等号成立),令, 则 ,‎ 所以 ‎,‎ 即所以.‎ ‎22.(Ⅰ)∵直线l的参数方程是(t为参数),消去参数t得x+y=2,令y=0,得x=2.‎ ‎∵曲线C的参数方程是(为参数,a>0),消去参数得,‎ 把点(2,0)代入上述方程得a=2.∴曲线C普通方程为.‎ ‎(Ⅱ)∵点在曲线C上,即A(ρ1cosθ,ρ1sinθ),,在曲线C上,‎ ‎∴‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎=.‎ ‎23.(1)由题意得出关于的方程的两根分别为和,则,即,解得;‎ ‎(2)当时,由绝对值三角不等式得,‎ 又对一切实数恒成立,所以,‎ 令,化简得,解得,所以,实数的取值范围为.‎

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