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- 2021-06-11 发布
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2018-2019学年浙江省丽水市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解方程,分别求得集合A与集合B,结合交集运算即可求得.
【详解】
集合,
解方程可得,
由交集运算可得
故选:C
【点睛】
本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题.
2.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据二次根式及分式有意义条件,对数函数定义域,即可求得函数的定义域.
【详解】
函数
由二次根式及分式有意义条件,结合对数函数定义域可知
解得,即定义域为
故选:D
【点睛】
本题考查了函数定义域的求法,二次根式和分式有意义条件及对数函数定义域问题,属于基础题.
3.函数的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可.
【详解】
因为为增函数,且,
根据零点存在性定理知的零点在区间内.
故选B
【点睛】
本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.
4.已知,,,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据指数函数与对数函数的图像与性质,结合中间量法,即可比较大小.
【详解】
由数函数与对数函数的图像与性质可知
,则
综上可知,大小关系为
故选:A
【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质的应用,中间值法是比较大小常用方法,属于基础题.
5.已知角的终边过点,若,则y的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据平面直角坐标系中三角函数定义,即可求得的值.
【详解】
角的终边过点,由三角函数定义可得
而由题意
所以
解得
故选:B
【点睛】
本题考查了三角函数定义,根据终边经过的点与三角函数值求参数,属于基础题.
6.下列函数中,周期为的偶函数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据偶函数定义可判断选项,由三角函数的图像与性质可得周期,即可得解.
【详解】
对于A,为偶函数,且最小正周期为,所以A正确;
对于B,为偶函数,但不具有周期性,所以B错误;
对于C,为偶函数,最小正周期为,所以C错误;
对于D,为奇函数,所以D错误.
综上可知,正确的为A
故选:A
【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断周期性与奇偶性,属于基础题.
7.已知扇形的周长为4,面积为1,则该扇形的圆心角是( )
A.1 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】先设扇形的半径为,弧长为,根据扇形面积公式,以及弧长公式,即可求出结果.
【详解】
设扇形的半径为,弧长为,则,①
,
即,②
得,
则扇形圆心角的弧度数为,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查求扇形的圆心角,熟记扇形面积公式, 以及弧长公式即可,属于基础题型.
8.函数的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据同角三角函数关系式及换元法得二次函数,结合二次函数的性质即可求得值域.
【详解】
根据同角三角函数关系式,化简可得
令
则
由二次函数性质可知,当时,取得最大值
当时,取得最小值为
所以值域为
故选:D
【点睛】
本题考查了三角函数与二次函数的综合,求二次函数在区间内的值域,属于基础题.
9.已知向量,,且与的夹角为锐角,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据平面向量数量积的运算,结合向量时的坐标关系,即可求得参数k的取值范围.排除同向时的值,即可得解.
【详解】
向量,,且与的夹角为锐角
由平面向量数量积定义可知
即
由平面向量数量积的坐标运算可知解得
当与同向时,但夹角为,不是锐角
所以当时与同向,不符合题意,因而
综上可知,
故选:B
【点睛】
本题考查了根据向量数量积的坐标运算判断夹角,尤其注意同向时夹角的余弦值为正,但夹角不是锐角这一特殊关系,属于易错题.
10.函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据函数的奇偶性,可排除A,D.借助极限,可排除B,即可得正确选项.
【详解】
函数
则,所以函数为偶函数,排除A,D.
当时, ,所以排除B
综上可知,C为正确选项
故选:C
【点睛】
本题考查了由解析式判断函数图像,从奇偶性、单调性、特殊值和极限思想对选项进行排除,是常用方法,属于基础题.
11.已知函数,,则以下结论正确的是( )
A.任意的,且,都有
B.任意的,且,都有
C.有最小值,无最大值
D.有最小值,无最大值
【答案】D
【解析】A:根据函数解析式直接判断的单调性,可判断对错;
B:利用奇偶性判断的单调性,即可判断对错;
C:利用奇偶性和单调性判断最值情况;
D:利用奇偶性和单调性判断最值情况.
【详解】
A:在上均是增函数,所以是上增函数,故错误;
B:因为,所以是偶函数,所以在上不可能是减函数,故错误;
C:因为,所以是奇函数,又在上是增函数,所以无最值,故错误;
D:任意的,且,所以,
因为,,所以,所以,所以在上单调递增,
因为是偶函数,所以在上单调递减,所以,无最大值,故正确.
故选:D.
【点睛】
本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用,难度一般.奇函数在对称区间上的单调性是相同的,并且在对称区间上如果有最值,则最值互为相反数;偶函数在对称区间上的单调性相反,并且在对称区间上如果有最值,则最值相等.
12.已知是单位向量,向量满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意,设出,.由向量的坐标运算,代入表达式可得.根据圆的性质可求得的取值范围.利用坐标运算表示出
,即可求得模的表达式.结合的取值范围,求得的取值范围.
【详解】
因为是单位向量,可设,
则
因为向量满足
代入可得,化简可得
由圆的性质可知,即
根据向量的坐标运算可知
所以根据坐标可得
所以当时取得最大值为
当时取得最小值为
即的取值范围为
故选:C
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算,数量积的应用,圆的方程及几何性质应用,向量模的求法,属于中档题.
二、填空题
13.计算:________ ;________.
【答案】2
【解析】直接利用对数和指数幂公式计算得到答案.
【详解】
故答案为: (1). 2 (2).
【点睛】
本题考查了对数,指数幂的运算,意在考查学生的计算能力.
14.已知函数,则______;若,则实数_______.
【答案】0
【解析】直接代入计算得到答案;讨论和两种情况计算得到答案.
【详解】
则
当时:或(舍去);
当时:(舍去);
综上所述:
故答案为:(1). 0 (2).
【点睛】
本题考查了分段函数值的计算,意在考查学生的计算能力.
15.已知函数,有三个零点、、,则实数a的取值范围是________;的取值范围是________.
【答案】
【解析】(1)令,则,设函数画出图像再分析与 的交点个数即可.
(2)根据图像分析得,再分析的范围即可.
【详解】
(1)令,则,设函数,
画出函数的图像.易得当为抛物线上顶点为
又有三个零点、、,即与有三个交点,故
(2)有图像得,即,当时,
即,此时,故
故
故答案为(1). (2).
【点睛】
本题主要考查了数形结合的思想以及绝对值函数的分段方法等,同时也考查了根据图像求零点的范围问题,属于中等题型.
16.若___.
【答案】
【解析】利用诱导公式,即可.
【详解】
【点睛】
本道题考查了诱导公式,关键抓住,属于容易题.
17.若函数,对任意实数t都有,且,则实数____________.
【答案】或
【解析】根据可得函数关于对称.结合及正弦函数的性质,即可求得的值.
【详解】
函数,对任意实数t都有
则函数关于对称.
所以在时的函数值最大值或最小值
由题意可知
所以或
解得或
故答案为: 或
【点睛】
本题考查了正弦函数的性质及应用,正弦函数的最值与对称轴关系,属于基础题.
18.在中,已知,斜边,D是AB的中点,M是线段CD上的动点,则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】根据题意,建立平面直角坐标系,写出各个点的坐标.求得直线CD的方程,设出M点坐标,即可表示出.结合平面向量数量积的定义及M点横坐标的范围,即可求得的取值范围.
【详解】
中,已知,斜边
所以以C为原点建立平面直角坐标系,如下图所示:
由三角函数可知
则
则直线CD的直线方程为.
设,
则
所以由平面向量数量积的坐标运算可得
因为
所以
即的取值范围为
故答案为:
【点睛】
本题考查坐标法解决平面向量的数量积问题,根据垂直关系建立平面直角坐标系,研究几何关系是较为简洁的方法,属于中档题.
19.已知函数,若的最小值与的最小值相等,则实数b的取值范围是____________.
【答案】或
【解析】根据函数的性质,先求得的最小值,所以的值域为最小值到正无穷大.而的图像只能是上的一段,因而若两个函数的最小值相等,则只需即可.
【详解】
函数
所以当时,的最小值为
因为的最小值与的最小值相等
所以必须能取到最小值.结合二次函数的性质可知,需满足
解得或
故答案为: 或
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质的应用,二次函数的值域问题,考查对复合函数的理解能力,属于中档题.
三、解答题
20.已知向量
(1)若,求的值;
(2)若,,求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)运用坐标求出,再由向量的模长公式即可求出的值;
(2)由已知可求得,再由,可求得,的值,再运用诱导公式即可求值.
【详解】
解:(1)时,,,
∴,
∴;
(2)∵,
∴,
∴,
∴,且,∴,
∴解得,,
∴.
【点睛】
本题考查了向量的模的运算、向量的数量积运算及三角函数的诱导公式,属中档题.
21.已知函数.
(1)若在上单调递减,求实数的取值范围;
(2)当时,解不等式.
【答案】(1);(2)或
【解析】(1)根据复合函数单调性的性质,结合二次函数性质即可求得的取值范围.
(2)将代入函数解析式,结合不等式可变形为关于的不等式,解不等式即可求解.
【详解】
(1)在上单调递减,根据复合函数单调性的性质可知需单调递减则
解得.
(2)将代入函数解析式可得
则由,代入可得
同取对数可得
即,
所以
即或
或,
所以原不等式的解集为
【点睛】
本题考查了对数型复合函数单调性与二次函数单调性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法,属于中档题.
22.已知函数的部分图象如图所示,、分别是图象的最高点与相邻的最低点,且,,为坐标原点.
(1)求函数的解析式;
(2)将函数的图象向左平移1个单位后得到函数的图象,求函数的值域.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)根据部分函数图象,可先判断出最高点的纵坐标,可得.再根据向量的坐标运算及模的表示,求得周期和.再将最高点代入求得,即可得解析式.
(2)根据三角函数平移变换,求得的解析式.结合余弦函数的图象与性质,即可求得值域.
【详解】
(1)因为为最高点且
则点的坐标为.所以
设,所以
则
由
可知,解得
所以,解得
由周期公式可知
所以
因为为过点,代入可得
,
所以解得
故
(2)由(1)可知
将函数的图象向左平移1个单位后可得
因为
则
所以由正弦函数的图象与性质可知
【点睛】
本题考查了根据三角函数部分图象求解析式,三角函数图象平移变换,正弦函数的图像与性质的综合应用,平面向量的坐标运算及模的表示,属于中档题.
23.已知函数,为实数.
(1)当时,求的最小值;
(2)若存在实数,使得对任意实数都有成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)根据题意将二次函数配成顶点式,画出函数图像.通过对分类讨论,即可确定在不同区间内的最小值.
(2)根据函数解析式,代入求得,再代入不等式中可得关于的二次不等式.构造函数,即分析对任意实数成立即可.由二次函数性质可知需满足.得不等式组后,可利用求得的取值范围.则在此范围内有解即可.构造函数,即在时有解即可.根据二次函数的对称、与y轴交点情况,分类讨论即可求得n的取值范围.
【详解】
(1)函数
对应函数图像如下图所示:
(ⅰ)当即时,,
(ⅱ)当即时,,
(ⅲ)当时,.
综上,
(2)因为
则
因为
代入得,变形可得
令,即对任意实数,成立
由二次函数性质可得,代入可得
关于t的不等式组有解即可,
解不等式可得
在上有解即可
令
因为,所以,所以函数与y轴交点位于y轴正半轴
(ⅰ)当对称轴位于左侧时,满足即可,也就是,解不等式组可得,
(ⅱ)当对称轴位于之间时,满足即可,也就是,解得
(ⅲ)当对称轴在右侧时,即 时,函数在时无解.
综上可知
又因为,
∴n的取值范围是
【点睛】
本题考查了二次函数的图像及性质的综合应用,分类讨论思想的综合应用,属于中档题.