专题65 利用样本的数字特征估计总体-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 15页

‎ 考纲要求:‎ ‎1．了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．　‎ ‎2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．　‎ ‎3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释．　‎ ‎4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．　‎ ‎5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1、样本的抽取：常用的三种抽样方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．‎ ‎2、用样本估计总体：‎ ‎（1）在研究总体时，常用样本的频率分布去估计总体分布：‎ ‎ ①作频率分布直方图的步骤如下：(ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布表；(ⅴ)画频率分布直方图．频率分布直方图能很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状．‎ ‎ ②频率分布直方图的性质：在频率分布直方图中，小长方形的面积＝组距×＝频率．各小长方形的面积之和等于1.小长方形的高＝，所有小长方形的高的和为．‎ ‎ ③频率分布折线图和总体密度曲线：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线．‎ ‎（2）茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，给记录和表示都带来方便．‎ ‎（3）用样本的数字特征估计总体的数字特征： 样本的标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分 散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．注：样本的数字特征如表一所示：‎ 表一 答案：最多，最中间，中位数，， ‎ 应用举例:‎ 类型一：频率分布直方图 1、 绘制频率分布直方图 例1、某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：‎ 组别 频数 频率 ‎145.5~149.5‎ ‎8‎ ‎0.16‎ ‎149.5~153.5‎ ‎6‎ ‎0.12‎ ‎153.5~157.5‎ ‎14‎ ‎0.28‎ ‎157.5~161.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎161.5~165.5‎ ‎8‎ ‎0.16‎ ‎165.5~169.5‎ m n 合计 M N ‎(1)求出表中字母m，n， M，N所对应的数值；‎ 图1‎ ‎(2)在直角坐标系中画出频率分布直方图；‎ ‎(3)估计该校高一女生身高在149.5～165.5 cm范围内有多少人？‎ ‎　点评：①作频率分布直方图的步骤如下：(ⅰ)求极差；(ⅱ)确定组距和组数；(ⅲ)将数据分组；(ⅳ)列频率分布表；(ⅴ)画频率分布直方图．‎ 1、 频率分布直方图的性质 例2【2017年福建省数学基地校】某校高一（）班共有人，如图是该班期中考试数学成绩的频率分布直方图，则成绩在内的学生人数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 例3【2018届四川省（大教育联盟）邻水实验学校高三上第三次月考】供电部门对某社区位居民2016年11月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为， ， ， ， 五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 11月份人均用电量人数最多的一组有人 B. 11月份人均用电量不低于度的有人 C. 11月份人均用电量为度 D. 在这位居民中任选位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为 ‎【答案】C 例4、为组织好“市九运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄抽样统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[25,30)内的数据不慎丢失，依据此图可得：‎ ‎(1)年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为_______；(2)这800名志愿者中年龄在[25,35)内的人数为_______．‎ 解析：(1)因为各个小长方形的面积之和为1，所以年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为[1－(5×0.01＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02)]＝0.04.‎ ‎(2)年龄在[25,35)内的频率为0.04×5＋0.07×5＝0.55，人数为0.55×800＝440.‎ 点评：解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的联系．这些数据中，比较明显的有组距、，间接的有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系；小长方形面积＝组距×＝频率，小长方形面积之和等于1，即频率之和等于1，就可以解决直方图的有关问题．‎ 类型二：茎叶图的绘制 例5【2017届河北省武邑中学高三下第二次考试】某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是，，…，，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 点评：‎ ‎（1）茎叶图的绘制需注意：‎ ‎①“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一．‎ ② 重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．‎ ‎（2）由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等．‎ 类型三：样本的数字特征 例6【2017届江苏省南京市第三中学高考热身试卷一】如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为______．‎ ‎【答案】6.8‎ ‎【解析】根据茎叶图的数据,计算甲的平均数为 乙的平均数为根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小,较为稳定,即方差较小,计算乙成绩的方差为,故填6.8.‎ 例7【2018届江苏省徐州市高三上学期期中】已知一组数据：的平均数为，则该组数据的方差为__ ____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 该组数据的方差为 . ‎ 例8【2018届河南省新乡市延津县高级高三（卫星班）9月月考】已知一组正数x1，x2，x3的方差s2=（x12+x22+x32﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为_ _．‎ ‎【答案】3‎ 点评：众数、中位数、平均数及方差的意义及计算方法：‎ ‎ (1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．‎ ‎ (2)平均数、方差的公式推广：‎ ‎ ①若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.‎ ‎②数据x1，x2，…，xn的方差为s2.‎ ‎③数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2.‎ 类型三：样本的数字特征常与频率分布直方图、茎叶图等知识的综合问题 ‎(1)样本的数字特征与条形图交汇；‎ 图4‎ 例9、甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列描述中，正确的是_____________．（请写出所有正确判断的序号）‎ 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数； ‎ 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数；‎ 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差； ‎ ‎④ 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差．‎ ‎【答案】③‎ ‎ (2)样本的数字特征与茎叶图交汇；‎ 例10【2017届北京市东城区高三5月二模】下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为，乙班数据的中位数为，那么的位置应填__________， 的位置应填__________．‎ ‎【答案】 3 8‎ 例11、从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)，设甲、乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则(　　)‎ 图6‎ A.甲<乙，m甲>m乙 B.甲<乙，m甲乙，m甲>m乙 D.甲>乙，m甲