2020高考数学大一轮复习（文·新人教A版） 第十章 复数算法初步统计与统计案例 课下层级训练 58变量间的相关关系 6页

课下层级训练五十八 变量间的相关关系与统计案例 ‎[A级　基础强化训练]‎ ‎1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)‎ A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80‎ C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.25‎ A　[相关指数R2越大，拟合效果越好，因此模型1拟合效果最好．]‎ ‎2．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其线性回归方程是＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数的值是(　　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． B　[依题意可知样本点的中心为，则＝×＋，解得＝.]‎ ‎3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(　　)‎ A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3‎ C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3‎ A　[由相关系数的定义，以及散点图所表达的含义可知r2＜r4＜0＜r3＜r1.]‎ ‎4．(2017·山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为＝x＋.已知i＝225，i＝1 600，＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为(　　)‎ A．160 B．163‎ C．166 D．170‎ C　[∵i＝225，∴＝i＝22.5．‎ ‎∵i＝1 600，∴＝i＝160．‎ 又＝4，∴＝－＝160－4×22.5＝70．‎ ‎∴回归直线方程为＝4x＋70．‎ 将x＝24代入上式得＝4×24＋70＝166.]‎ ‎5．(2019·山东济南检测)某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动，得到如下的列联表．由K2＝并参照附表，得到的下列结论中，正确结论的序号是__________.‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 附表：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.11‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎①在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”‎ ‎②在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”‎ ‎③有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”‎ ‎④有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”‎ ‎①　[因为K2＝≈7.8＞6.635，所以有99%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”．]‎ ‎6．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：‎ 记忆能力x ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 识图能力y ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 由表中数据，求得线性回归方程为＝x＋，若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力为__________．‎ ‎9．5　[由表中数据得＝＝7，＝＝，由(，)在直线＝x＋上，得＝－，即线性回归方程为＝x－.当x＝12时，y＝×12－＝9.5，即他的识图能力为9.5.]‎ ‎7．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：‎ 甲厂：‎ 分组 ‎[29.86，‎ ‎29．90)‎ ‎[29.90，‎ ‎29．94)‎ ‎[29.94，‎ ‎29．98)‎ ‎[29.98，‎ ‎30．02)‎ ‎[30.02，‎ ‎30．06)‎ ‎[30.06，‎ ‎30．10)‎ ‎[30.10，‎ ‎30．14]‎ 频数 ‎12‎ ‎63‎ ‎86‎ ‎182‎ ‎92‎ ‎61‎ ‎4‎ 乙厂：‎ 分组 ‎[29.86，‎ ‎29．90)‎ ‎[29.90，‎ ‎29．94)‎ ‎[29.94，‎ ‎29．98)‎ ‎[29.98，‎ ‎30．02)‎ ‎[30.02，‎ ‎30．06)‎ ‎[30.06，‎ ‎30．10)‎ ‎[30.10，‎ ‎30．14]‎ 频数 ‎29‎ ‎71‎ ‎85‎ ‎159‎ ‎76‎ ‎62‎ ‎18‎ ‎(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；‎ ‎(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？‎ 甲厂 乙厂 合计 优质品 非优质品 合计 附 P(K2≥k0)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 解　(1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为×100%＝72%；乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为×100%＝64%．‎ ‎(2)完成的2×2列联表如下：‎ 甲厂 乙厂 合计 优质品 ‎360‎ ‎320‎ ‎680‎ 非优质品 ‎140‎ ‎180‎ ‎320‎ 合计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1 000‎ 由表中数据计算得K2的观测值 k＝≈7.353>6.635，‎ 所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．‎ ‎[B级　能力提升训练]‎ ‎8．下表数据为某地区某种农产品的年产量x(单位：吨)及对应销售价格y(单位：千元/吨).‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎70‎ ‎65‎ ‎55‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎(1)若y与x有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；‎ ‎(2)若每吨该农产品的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少吨时，年利润Z最大？‎ 参考公式：‎ 解　(1)∵＝＝3，‎ ＝＝50，‎ iyi＝1×70＋2×65＋3×55＋4×38＋5×22＝627，‎ ＝1＋4＋9＋16＋25＝55，‎ 根据公式解得＝－12.3，＝50＋12.3×3＝86.9，‎ ‎∴＝－12.3x＋86.9．‎ ‎(2)∵年利润Z＝x(86.9－12.3x)－13.1x＝－12.3x2＋73.8x＝－12.3(x－3)2＋110.7，∴当x＝3时，年利润Z最大．‎ ‎9．如图是某企业2012年至2018年的污水净化量(单位：吨)的折线图．‎ 注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018．‎ ‎(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎(2)建立y关于t的回归方程，预测2019年该企业的污水净化量；‎ ‎(3)请用数据说明回归方程预报的效果．‎ 参考数据：＝54，(ti－)(yi－)＝21，≈3.74，‎ (yi－i)2＝．‎ 参考公式：相关系数r＝，‎ 线性回归方程＝＋t，＝，＝－t＋．‎ 反映回归效果的公式为：R2＝1－，其中R2越接近于1，表示回归的效果越好．‎ 解　(1)由折线图中的数据得，‎ ＝4，(ti－)2＝28，(yi－)2＝18，‎ 所以r＝≈0.935．‎ 因为y与t的相关系数近似为0.935，说明y与t的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y与t的关系．‎ ‎(2)因为＝54，＝＝＝，‎ 所以＝－＋＝54－×4＝51，‎ 所以y关于t的线性回归方程为＝t＋＝t＋51．‎ 将2019年对应的t＝8代入得＝×8＋51＝57，‎ 所以预测2019年该企业污水净化量约为57吨．‎ ‎(3)因为R2＝1－＝1－×＝1－＝＝0.875，‎ 所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的．‎