高考数学一轮复习核心素养测评五十五10-8-1求曲线的方程文含解析北师大版 2页

核心素养测评五十五　求曲线的方程 ‎1.设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),a⊥b,动点M(x,y)的轨迹为E.‎ ‎(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状.‎ ‎(2)当m=时,轨迹E与直线y=x-1交于A、B两点,求弦AB的长. 世纪金榜导学号 ‎【解析】(1)因为a=(mx,y+1),b=(x,y-1),且a⊥b,‎ 所以a·b=mx2+y2-1=0,即mx2+y2=1.‎ 当m=0时,方程表示两直线,方程为y=±1;‎ 当m=1时,方程表示的是圆x2+y2=1;‎ 当m>0且m≠1时,方程表示的是椭圆;‎ 当m<0时,方程表示的是双曲线.‎ ‎(2)当m=时,椭圆方程为+y2=1.‎ 联立 得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=,所以y1=-1,y2=.‎ 不妨令A(0,-1),B,‎ 则|AB|==.‎ ‎2.在平面直角坐标系xOy中,已知三点O(0,0),A(-1,1),B(1,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足:|+|=4-·(+).世纪金榜导学号 ‎(1)求曲线C的方程.‎ ‎(2)设点P是曲线C上的任意一点,过原点的直线l与曲线相交于M,N两点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,试探究kPM·kPN的值是否与点P及直线l有关,并证明你的结论.‎ ‎【解析】(1)由已知,A(-1,1),B(1,1),M(x,y),‎ - 2 -‎ 所以+=(-1-x,1-y)+(1-x,1-y)‎ ‎=(-2x,2-2y),|+|==,‎ 又因为|+|=4-·(+),‎ ‎4-·(+)=4-(x,y)·(0,2)=4-y,‎ 所以=4-y,‎ 化简整理得+=1,即为所求曲线C的方程.‎ ‎(2)因为过原点的直线l与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,可设P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0).‎ 因为P,M,N在椭圆上,所以+=1,①‎ ‎+=1,②,①-②得=-,‎ 又因为kPM=,kPN=,‎ 所以kPM·kPN=·==-,‎ 所以,kPM·kPN的值恒等于-,与点P的位置和直线l的位置无关.‎ - 2 -‎