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- 2021-06-11 发布
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专题十二 数系的扩充与复数的引入
【考情探究】
课标解读
考情分析
备考指导
主题
内容
一、复数的概念及几何意义
1.理解复数的基本概念,复数相等的充要条件.
2.了解复数的代数表示法及其几何意义.
从近几年高考情况来看,考查的重点是复数的四则运算,同时也兼顾考查求模、共轭复数等基本知识,应加强基础知识的识记.
1.理解复数定义中的a+bi,切记a,b∈R的限定,虚部为b,并非bi,此处b∈R,记准纯虚数的定义.
2.对于四则运算中的复数除法,分母实数化是关键.
3.复数的模及几何意义,通过实例加以明晰,特别是圆的复数形式表示.
二、复数的运算
1.会进行复数代数形式的四则运算.
2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
【真题探秘】
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 复数的概念及几何意义
1.复数z=(a+1)+(a2-3)i(i为虚数单位),若z<0,则实数a的值是( )
A.3 B.1
C.-1 D.-3
答案 D
2.设x∈R,i是虚数单位,则“x=2”是“复数z=(x2-4)+(x+2)i为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
3.已知复数z=21-i,给出下列四个结论:①|z|=2;②z2=2i;③z的共轭复数z=-1+i;④z的虚部为i.其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
4.已知复数z的共轭复数为z,若3z2+z2(1-22i)=5-2i(i为虚数单位),则在复平面内,复数z所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 A
考点二 复数的运算
5.若(x+2i)i=y-1i(x,y∈R,i是虚数单位),则x+y=( )
A.-1 B.1 C.3 D.-3
答案 A
6.已知复数z=31-2i(i是虚数单位),则z的实部为( )
A.-35 B.35 C.-15 D.15
答案 B
7.已知i为虚数单位,则1-i1+i2=( )
A.-1 B.1 C.-i D.i
答案 A
8.若z=2+i,则4iz·z-1=( )
A.i B.-i C.1 D.-1
答案 A
综合篇知能转换
【综合集训】
考法一 复数有关概念的解题方法
1.(2019东北三省三校(师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)一模,1)复数(1-i)(3+i)的虚部是( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
答案 D
2.(2019辽宁辽南协作体一模)已知i是虚数单位,复数z=1-i|i|,下列说法正确的是( )
A.z的虚部为-i B.z对应的点在第一象限
C.z的实部为-1 D.z的共轭复数为1+i
答案 D
3.(2019湖南长沙统一检测)在复平面内,复数m+im-i(i为虚数单位)对应的点位于第一象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
答案 D
4.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,2)已知i为虚数单位,复数z=3+2i2-i,则以下为真命题的是( )
A.z的共轭复数为75-4i5
B.z的虚部为85
C.|z|=3
D.z在复平面内对应的点在第一象限
答案 D
考法二 复数四则运算问题的解法
5.(2018陕西质检(二))若(1-mi)(m+i)<0,其中i为虚数单位,则m的值为( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
答案 A
6.(2019吉林长春质量监测(一),2)复数(-1+3i)(3-i)=( )
A.10 B.-10 C.10i D.-10i
答案 C
7.(2019辽宁大连第一次(3月)双基测试,1)1+i1-i=( )
A.i B.-i C.2i D.-2i
答案 A
8.(2019黑龙江大庆二模,1)若复数z满足(2+i)z=4-(1+i)2(其中i是虚数单位),则|z|=( )
A.2 B.4 C.5 D.25
答案 A
【五年高考】
考点一 复数的概念及几何意义
1.(2018浙江,4,4分)复数21-i(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
答案 B
2.(2019课标Ⅱ,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 C
3.(2016课标Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-3,1) B.(-1,3)
C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
答案 A
4.(2018北京,2,5分)在复平面内,复数11-i的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D
5.(2017北京,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
答案 B
6.(2017山东,2,5分)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+3i,z·z=4,则a=( )
A.1或-1 B.7或-7 C.-3 D.3
答案 A
7.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=( )
A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i
答案 B
8.(2017课标Ⅰ,3,5分)设有下面四个命题:
p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;
p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;
p4:若复数z∈R,则z∈R.
其中的真命题为( )
A.p1,p3 B.p1,p4
C.p2,p3 D.p2,p4
答案 B
9.(2018江苏,2,5分)若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为 .
答案 2
考点二 复数的运算
10.(2019课标Ⅲ,2,5分)若z(1+i)=2i,则z=( )
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
答案 D
11.(2018课标Ⅰ,1,5分)设z=1-i1+i+2i,则|z|=( )
A.0 B.12 C.1 D.2
答案 C
12.(2018课标Ⅱ,1,5分)1+2i1-2i=( )
A.-45-35i B.-45+35i
C.-35-45i D.-35+45i
答案 D
13.(2018课标Ⅲ,2,5分)(1+i)(2-i)=( )
A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i
答案 D
14.(2017课标Ⅱ,1,5分)3+i1+i=( )
A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i
答案 D
15.(2016课标Ⅰ,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )
A.1 B.2 C.3 D.2
答案 B
16.(2015课标Ⅰ,1,5分)设复数z满足1+z1-z=i,则|z|=( )
A.1 B.2 C.3 D.2
答案 A
17.(2015山东,2,5分)若复数z满足z1-i=i,其中i为虚数单位,则z=( )
A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i
答案 A
18.(2019天津,9,5分)i是虚数单位,则5-i1+i的值为 .
答案 13
19.(2019浙江,11,4分)复数z=11+i(i为虚数单位),则|z|= .
答案 22
20.(2018天津,9,5分)i是虚数单位,复数6+7i1+2i= .
答案 4-i
21.(2017浙江,12,6分)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= .
答案 5;2
教师专用题组
考点一 复数的概念及几何意义
1.(2015湖北,1,5分)i为虚数单位,i607的共轭复数····为( )
A.i B.-i C.1 D.-1
答案 A
2.(2015广东,2,5分)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则z=( )
A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.3-2i
答案 A
3.(2014课标Ⅱ,2,5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( )
A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i
答案 A
4.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 .
答案 2
5.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是 .
答案 5
6.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 .
答案 -2
考点二 复数的运算
7.(2015课标Ⅱ,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 B
8.(2015北京,1,5分)复数i(2-i)=( )
A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i
答案 A
9.(2015湖南,1,5分)已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
答案 D
10.(2014课标Ⅰ,2,5分)(1+i)3(1-i)2=( )
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
答案 D
11.(2013课标Ⅱ,2,5分)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( )
A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i
答案 A
12.(2013课标Ⅰ,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( )
A.-4 B.-45 C.4 D.45
答案 D
13.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是 .
答案 10
14.(2016北京,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .
答案 -1
15.(2016天津,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则ab的值为 .
答案 2
16.(2015重庆,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为3,则(a+bi)(a-bi)= .
答案 3
17.(2015江苏,3,5分)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为 .
答案 5
【三年模拟】
一、单项选择题(每题5分,共55分)
1.(2020届山东夏季高考模拟,2)已知a+bi(a,b∈R)是1-i1+i的共轭复数,则a+b=( )
A.-1 B.-12 C.12 D.1
答案 D
2.(2020届皖江名校联盟8月摸底,2)已知复数z=13+4i,则下列说法正确的是( )
A.复数z的实部为3
B.复数z的虚部为425i
C.复数z的共轭复数为325+425i
D.复数z的模为1
答案 C
3.(2020届九师联盟9月质量检测,1)已知i为虚数单位,则复数(2-i)i3的虚部为( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
答案 A
4.(2020届浙江超级全能生第一次联考,2)已知复数z=2-i1+i(i为虚数单位),则复数z的模等于( )
A.102 B.322 C.3 D.52
答案 A
5.(2020届福建上杭一中第一次月考,2)已知i是虚数单位,则复数z=(1-i)(4-i)1+i的共轭复数的虚部为( )
A.-4i B.-4 C.4i D.4
答案 D
6.(2020届广东县中10月联考,2)已知复数z满足z+2i=3+zi(i为虚数单位),则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
7.(2018湖南株洲二模,2)设i为虚数单位,1-i=2+ai1+i,则实数a=( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
答案 C
8.(2019四川成都外国语学校开学考试)已知i是虚数单位,复数z=4i(1-i)2+2+i2 018在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 B
9.(2019黑龙江齐齐哈尔二模,2)已知复数z=(2+ai)i1+i是纯虚数,其中a是实数,则z等于( )
A.2i B.-2i C.i D.-i
答案 A
10.(2018辽宁大连一模)若复数z=1+i1+ai为纯虚数,则实数a的值为( )
A.1 B.0 C.-12 D.-1
答案 D
11.(2019辽宁部分重点高中联考,2)复数2-mi1+2i=A+Bi(m、A、B∈R),且A+B=0,则m的值是( )
A.-23 B.23 C.2 D.2
答案 A
二、多项选择题(共5分)
12.(2020届山东青岛期初调研检测,11)欧拉公式eix=cos x+isin x(其中i为虚数单位,x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是( )
A.eπ4i=22-22i B.eπ2i为纯虚数
C.复数eπi的模等于1 D.复数eπ3i的共轭复数为12-32i
答案 BCD
三、填空题(每题5分,共10分)
13.(2020届福建厦门一中10月月考,13)在复平面内,复数z=ai1+i对应的点位于第三象限,则实数a的取值范围是 .
答案 (-∞,0)
14.(2020届福建上杭一中第一次月考,13)已知i为虚数单位,若复数z=1-ai1+i(a∈R)的虚部为-3,则|z|= .
答案 13