数学文卷·2018届江西省抚州市乐安县第一中学高二12月月考（2016-12） 11页

乐安一中2016年高二年级12月月考 数学试题（文科）‎ 考试范围：必修3、选修1-1到导数；考试时间：120分钟；命题人：黄绍荣 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)‎ ‎1.某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、9.6、9.7，则该射手成绩的方差是（　　） A.0.127   B.0.016  C.0.08    D.0.216‎ ‎2.如图所示的程序框图运行后输出的结果是（　　） A.4      B.8      C.16     D.32 ‎ ‎3.经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表： ‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 则至少3人排队等候的概率是（　　） A.0.44    B.0.56    C.0.86    D.0.14‎ ‎4.已知命题p：∃α∈R，cos（π-α）=cosα；命题q：∀x∈R，x2+1＞0．则下面结论正确的是（　　） A.p∧q是真命题  B.p∧q是假命题  C.￢p是真命题  D.p是假命题 ‎5.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B两点的横坐标之和为，则|AB|=（　　） A.      B.      C.5      D.‎ ‎6.椭圆mx2+ny2=1与直线y=-x+1相交于A、B两点，过原点和线段AB中点的直线斜率为，则的值是（　　） A.  B.  C.  D.‎ ‎7.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则•等于（　　） A.-3     B.-     C.-或-3     D.±‎ ‎8.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（　　） A. - y2=1  B.x2 - =1  C. - =1  D. - =1‎ ‎9.已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为（　　） A.  B.  C.  D.‎ ‎10.已知点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆 C：（x-4）2+（y -1）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值为（　　） A.2      B.3      C.4      D.5‎ ‎11.已知点P（x0， y0）是抛物线y=3x2上一点，且y′|=6，则点P的坐标为（　　） A.（1，3）  B.（-1，3）  C.（3，1）  D.（-3，-1）‎ ‎12.已知函数f（x）=ex-mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，则实数m的取值范围为（　　） A.m≤1    B.m≤-1   C.m＞1    D.m＞-1‎ 二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)‎ ‎13.从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是 ______ ．‎ ‎14.已知命题p：x2-5x-6≤0；命题q：x2-6x+9-m2≤0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ______ ．‎ ‎15.已知F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的两个公共焦点，P是C1，C2一个公共点．若•=0，则C2的离心率是 ______ ．‎ ‎16.已知曲线上一点P（1，e）处的切线分别交x轴，y 轴于A，B两点，O为原点，则△OAB的面积为 ______ ．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)‎ ‎17.求抛物线y=4x2在点P（，1）的切线方程． ‎ ‎18.已知命题p：双曲线的离心率，命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆． （1）若命题p是真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围． ‎ ‎19.某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16． ‎ 第一批次 第二批次 第三批次 女教职工 ‎196‎ x y 男教职工 ‎204‎ ‎156‎ z (1) 求x的值；‎ (2) 现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？ ‎ (3) ‎)已知y≥96，z≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率． ‎ ‎20.直线l与椭圆+y2=1相交于A､B两点，并且线段AB的中点为M（1，）． （1）求直线l的方程（用一般式表示）； （2）求弦长|AB|． ‎ ‎ ‎ ‎21.双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，且经过点（3，-2）． （1）求双曲线的方程； （2）过右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|． ‎ ‎ ‎ ‎22.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（1，-2），且焦点为F，直线l与抛物线相交于A、B两点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）若直线l经过抛物线C的焦点F，当线段AB的长等于5时，求直线l方程． （3）若•=-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点． ‎ 答案和解析 ‎【答案】 1.B    2.C    3.A    4.A    5.D    6.A    7.B    8.A    9.C    10.C    11.A    12.C     13. 14.[-3，3] 15. 16.2e 17.解：∵y=4x2，∴y′=8x 当x=得f′（）=4 ∴切线方程为y-1=4（x-） 即4x-y-1=0． 18.解：（1）p真，则有， 所以．--------（5分） （2）q真，则有9-m＞2m＞0， 所以0＜m＜3．-----------------（9分） 若命题“p∧q”是真命题，则p、q都是真命题． 故所求范围为 -----------------（12分） 19.解：(1)∵在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16． 有， 解得x=144． (2)第三批次的人数为y+z=900-(196+204+144+156)=200， 设应在第三批次中抽取m名，则， 解得m=12． ∴应在第三批次中抽取12名． (3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A， 第三批次女教职工和男教职工数记为数对(y，z)， 由(2)知y+z=200，(y，z∈N，y≥96，z≥96)， 则基本事件总数有：(96，104)，(97，103)，(98，102)，(99，101)， (100，100)，(101，99)，(102，98)，(103，97)，(104，96)，共9个， 而事件A包含的基本事件有：(101，99)，(102，98)，(103，97)，(104，96)共4个， ∴． 20.解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵点M（1，）是线段AB的中点， ∴x1+x2=2，y1+y2=1． ∵此两点在椭圆上，∴x12+4y12=4，x22+4y22=4． ∴（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0， ∴2（x1-x2）+4（y1-y2）=0， ∴k=-． ∴直线l的方程为y-=-（x-1），化为x+2y-2=0． （2）直线方程与椭圆方程联立，消去y，可得x2-2x=0， ∴x=0或2‎ ‎， ∴|AB|==． 21.解：（1）∵双曲线的两条渐近线方程的方程为， ∴可设双曲线的方程为2x2-y2=λ（λ≠0）， 又∵双曲线经过点（3，-2），代入方程可得λ=6， ∴所求双曲线的方程为； （2）设A（x1、y1）、B（x2、y2）， 过F且倾斜角为60°的直线方程为y=， 联立，可得  所以x2-18x+33=0， 由韦达定理得x1+x2=18，x1x2=33， 则弦长|AB|==2=16． 22.解：（1）由22=2p，得p=2，抛物线C的方程为y2=4x， 其准线方程为x=-1，焦点为F（1，0）． （2）若直线l经过抛物线C的焦点F，则直线l的方程为x=ty+1． 代入抛物线方程可得y2-4ty-4=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4t，y1y2=-4，则x1+x2=t（y1+y2）+2， 所以，得4t2=1，t=±1/2，直线l方程为2x=±y+2． （3）设直线l的方程为x=ty+b代入y2=4x，得y2-4ty-4b=0． 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2=4t，y1y2=-4b． ， ∴b=2，直线l必过一定点（2，0）． ‎ ‎【解析】 1. 解：∵该射手在一次训练中五次射击的成绩的平均值==9.5； ∴该射手成绩的方差s2=+（9.7-9.5）2]=0.016． 故选B． 先求出其平均值，再利用方差的计算公式即可得出． 熟练掌握平均值及方差的计算公式是解题的关键． 2. 解：当a=1，b=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，b=2，a=2； 当a=2，b=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，b=4，a=3； 当a=3，b=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，b=15，a=4； 当a=4，b=16时，不满足进行循环的条件， 故输出的结果为：16， 故选：C 根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． 3. 解：设排队人数至少3个人排队为事件H，并且H=D+E+F， ∵P（D）=0.3，P（E）=0.1，P（F）=0.04， ∴P（H）=P（D+E+F）=P（D）+P（E）+P（F）=0.3+0.1+0.04=0.44， 故选：A． 至少3个人排队这一事件的可能情况是3人，4人，5人及以上，三种情况属于互斥事件，所以至少3个人排队的概率是三种情况的概率之和，根据表格，分别求出3人排队的概率，4人排队的概率，5人及5人以上排队的概率，再相加即可． 本题主要考查互斥事件有一个发生的概率，等于各自发生的概率之和，做题时一定要判断几个事件是否为互斥事件． 4. 解：对于p：取α=，则cos（π-α）=cosα，因此正确； 对于命题q：∀x∈R，x2+1＞0，正确． 由上可得：p∧q是真命题． 故选：A． p：取α=，则cos（π-α）=cosα，即可判断出真假；命题q：利用实数的性质可得q的真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出． 本题考查了复合命题真假的判定方法，属于基础题． 5. 解：抛物线的准线方程为x=-1， 设A，B的横坐标分别为xA，xB，则xA+xB=． ∴|AF|=xA+1，|BF|=xB+1． ∴|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+2=． 故选：D． 利用抛物线的性质得出∴|AB|=|AF|+|BF|=xA+1+xB+1=． 本题考查了抛物线的性质，属于基础题． 6. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2）中点为P（x0，y0）， ∴①，kMN=②， 由AB的中点为P可得x1+x2=2x0，y1+y2=2y0‎ ‎ 由M，N在椭圆上，可得， 两式相减可得m（x1-x2）（x1+x2）+n（y1-y2）（y1+y2）=0③， 把①、②代入③，可得m（x1-x2）•2x0-n（y1-y2）•2y0=0③， 整理可得= 故选：A 设A（x1，y1），B（x2，y2）中点为P（x0，y0），根据经过两点的斜率公式，算出且，由中点坐标公式和椭圆方程加以联解，可得m（x1-x2）•2x0-n（y1-y2）•2y0=0，即可算出的值． 本题给出椭圆的弦中点所在直线的方程，求的值．主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，属于中档题．在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个：①联立直线与椭圆，根据方程求解；②利用“点差法”，请同学们在解题时加以注意． 7. 解：由+y2=1，得a2=2，b2=1，c2=a2-b2=1，焦点为（±1，0）． 直线l不妨过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y=x-1． 代入+y2=1得x2+2（x-1）2-2=0， 即3x2-4x=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1•x2=0，x1+x2=，y1y2=（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=1-=-， •=x1x2+y1y2=0-=-． 故选B 先根据椭圆方程求得焦点坐标，进而设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得x1•x2和x1+x2的值，进而根据直线方程求得y1y2的值，最后根据向量的计算法则求得答案． 本题主要考查了椭圆的应用．当涉及过叫焦点的直线时，常需设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理来解决． 8. 解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2， ∴c=， ∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直， ∴=， ∴a=2b， ∵c2=a2+b2， ∴a=2，b=1， ∴双曲线的方程为=1． 故选：A． 利用双曲线-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程． 本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键． 9. 解：已知双曲线的焦点为F1、F2‎ ‎， 点M在双曲线上且MF1⊥x轴，M（3，，则MF1=， 故MF2=， 故F1到直线F2M的距离为． 故选C． 根据双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，根据MF1⊥x轴进而可得M的坐标，则MF1可得，进而根据双曲线的定义可求得MF2． 本题主要考查了双曲线的简单性质．要理解好双曲线的定义． 10. 解：抛物线y2=4x的准线方程为：x=-1过点M作MN⊥准线，垂足为N ∵点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点 ∴|MN|=|MF| ∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN| ∵A在圆C：（x-4）2+（y-1）2=1，圆心C（4，1），半径r=1∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小 ∴（|MA|+|MF|）min=（|MA|+|MN|）min=|CN|-r=5-1=4∴（|MA|+|MF|）min=4故选C． 先根据抛物线方程求得准线方程，过点M作MN⊥准线，垂足为N，根据抛物线定义可得|MN|=|MF|，问题转化为求|MA|+|MN|的最小值，根据A在圆C上，判断出当N，M，C三点共线时，|MA|+|MN|有最小值，进而求得答案． 本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，考查抛物线的简单性质，考查距离和的最小．解题的关键是利用化归和转化的思想，将问题转化为当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小． 11. 解：由y=3x2，求导y′=6x， 由y′|=6， ∴6x0=6， ∴x0=1，y0=3， P点坐标为（1，3）， 故答案选：A． 求导y′=6x，由题意可知：6x0=6，求得x0，代入抛物线方程即可求得y0，求得P点坐标． 本题考查导数的运算，考查抛物线方程，考查计算能力，属于基础题． 12. 解：函数f（x）=ex-mx+1的导数为f′（x）=ex-m， 若曲线C存在与直线y=x垂直的切线， 即有ex-m=-1有解， 即m=ex+1， 由ex＞0，则m＞1． 则实数m的范围为（1，+∞）． 故选：C． 求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得ex-m=-1有解，再由指数函数的单调性，即可得到m的范围． 本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于基础题． 13. 解：从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛， 基本事件总数n==10， 选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学， ∴选到的2名同学中至少有1名男同学的概率： p=1-=‎ ‎． 故答案为：． 选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，由此利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学中至少有1名男同学的概率． 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用． 14. 解：命题p：x2-5x-6≤0，则-1≤x≤6， 命题q：x2-6x+9-m2≤0（m＞0）， 则3-|m|≤x≤3+|m|， 若￢p是￢q的充分不必要条件， 则q是p的充分不必要条件， 则，（“=”不同时成立）， 解得：|m|≤3， 故m∈[-3，3]， 故答案为：[-3，3]． 分别求出关于p，q的x的范围，根据￢p是￢q的充分不必要条件，得到关于m的不等式组，解出即可． 本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题以及复合命题的判断，是一道基础题． 15. 解：如图，设左焦点为F，右焦点为F′， 再设|AF|=x，|AF′|=y， ∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，2a=4，b=1，c=； ∴|AF|+|AF′|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AFBF′为矩形， ∴|AF|2+|AF′|2=|FF′|2， 即x2+y2=（2c）2=12，② 联立①②得，解得x=2-，y=2+， 设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′， 则2a′=|AF′|-|AF|=y-x=2，2c′=2， ∴C2的离心率是e==． 故答案为：． 设设左焦点为F，右焦点为F′，再设|AF|=x，|AF′|=y，利用椭圆的定义，四边形AFBF′为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率． 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF|与|AF′|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题． 16. 解：求导得：y′=，把x=1代入得：k=y′x=1=-e， 所以切线方程为：y-e=-e（x-1），即ex+y=2e， 令x=0，解得y=2e，令y=0，解得x=2， 则△OAB的面积S=•2e•2=2e． 故答案为：2e 求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标代入求出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令x=0和y=0求出与坐标轴的截距，由三角形的面积公式即可求出△OAB的面积． 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道基础题． 17‎ ‎. 求出导函数，令x=求出切线的斜率，然后利用点斜式写出直线的方程即为所求的切线方程． 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题． 18. （1）根据双曲线标准的方程与双曲线的有关性质可得，进而求出m的范围． （2）根据题意分别求出命题p、q为真时m的范围，再结合命题“p∧q”是真命题，则p、q都是真命题，进而求出m的范围． 解决此类问题的关键是熟练掌握命题真假的判定方法，由复合命题的真假判断出简单命题的真假结合椭圆与双曲线的有关知识进行判断解题即可． 19. (1)在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16．用x除以总体数等于0.16，做出x的值． (2)根据总体数和第一批次和第二批次的总人数和总体数，得到第三批次的人数，根据每个个体被抽到的概率，列出等式，解方程即可． (3)本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数可以通过列举得到结果数，满足条件的事件也可以通过列举得到事件数，根据等可能事件的概率公式得到结果． 20. （1）设A（x1，y1），B（x2，y2），两点在椭圆上，可得x12+4y12=4，x22+4y22=4．两式相减，再利用直线l的斜率，中点坐标公式，即可得出． （2）直线方程与椭圆方程联立，消去y，可得x2-4x=0，利用弦长公式，即可得出结论． 本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，正确运用点差法解决中点弦问题是解题的关键，属于中档题． 21. （1）首先根据双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，可设双曲线的方程为2x2-y2=λ（λ≠0），然后根据双曲线过点（3，-2），代入求解即可； （2）设A（x1、y1）、B（x2、y2），过F且倾斜角为60°的直线方程为y=，和双曲线的方程联立，根据韦达定理，求出|AB|的值即可． 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了待定系数法、弦长公式，以及韦达定理的应用，属于中档题． 22. （1）点M代入抛物线方程，可得p，即可求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）利用抛物线中的弦长公式，即可求直线l方程． （3）直线l的方程为x=ty+b代入y2=4x，得y2-4ty-4b=0，利用韦达定理结合•=-4，求出b，即可证明直线l必过一定点，并求出该定点． 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题． ‎ ‎ ‎