• 2.20 MB
  • 2021-06-11 发布

湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题

  • 22页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
长郡中学2018-2019学年度高二第二学期期末考试 数学(理科)‎ 一、选择题。‎ ‎1.设集合,若,则( )‎ A. 1 B. C. D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得且,把代入二次方程求得,最后对的值进行检验.‎ ‎【详解】因为,所以且,‎ 所以,解得.‎ 当时,,显然,所以成立,故选A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算,注意求出参数的值后要记得检验.‎ ‎2.已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数中的取值范围与函数中的范围一样.‎ ‎【详解】因为函数的定义域为,所以,所以,‎ 所以函数的定义域为.选D.‎ ‎【点睛】求抽象函数定义域是一种常见题型,已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量的取值范围的集合,而对应关系所作用的数范围是一致的,即括号内数的取值范围一样.‎ ‎3.在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称,若角是第三象限角,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由单位圆中的三角函数线可得:终边关于轴对称的角与角的正弦值相等,所以,再根据同角三角函数的基本关系,结合余弦函数在第四象限的符号,求得.‎ ‎【详解】角与角终边关于轴对称,且是第三象限角,所以为第四象限角,‎ 因为,所以,又,解得:,故选A.‎ ‎【点睛】本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系,考查基本的运算求解能力.‎ ‎4.已知命题“,使得”是真命题,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二次函数与二次不等式的关系,可得函数的判别式,从而得到.‎ ‎【详解】由题意知,二次函数的图象恒在轴上方,所以,‎ 解得:,故选C.‎ ‎【点睛】本题考查利用全称命题为真命题,求参数的取值范围,注意利用函数思想求解不等式.‎ ‎5.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布,从中随机取一件.其长度误差落在区间内的概率为( )‎ ‎(附:若随机变量服从正态分布N,则,)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用原则,分别求出的值,再利用对称性求出.‎ ‎【详解】正态分布中,,‎ 所以,‎ ‎,‎ 所以,故选B.‎ ‎【点睛】本题考查正态分布知识,考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.‎ ‎6.定义在上的奇函数满足,且当时,,则( )‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等式可得函数的周期,得到,再由奇函数的性质得,根据解析式求出,从而得到的值.‎ ‎【详解】因为,所以的周期,‎ 所以,故选D.‎ ‎【点睛】由等式得函数的周期,其理由是:为函数自变量的一个取值,为函数自变量的另一个取值,这两个自变量的差始终为4,函数值始终相等,所以函数的周期为4.‎ ‎7.函数的单调递增区间为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用复合函数的单调性,直接把代入的单调递增区间,求出的范围即函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】因为,解得:,‎ 所以函数的单调递增区间为:,故选C.‎ ‎【点睛】本题考查正切函数单调递增区间,注意单调区间为一个开区间,同时要注意不能错解成,即把正、余弦函数的周期与正切函数的周期混淆.‎ ‎8.函数在处切线斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析:首先求得函数的导函数,然后结合导函数研究函数的切线即可.‎ 详解:由函数的解析式可得:,‎ 则,‎ 即函数在处切线斜率为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛:本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9.已知函数,将其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若函数为偶函数,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平移变换得到,由偶函数的性质得到, ‎ 从而求.‎ ‎【详解】由题意得:,‎ 因为为偶函数,所以函数的图象关于对称,‎ 所以当时,函数取得最大值或最小值,所以,‎ 所以,解得:,‎ 因为,所以当时,,故选B.‎ ‎【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量而言的,所以函数向右平移个单位长度后得到函数,不能错误地得到.‎ ‎10.已知函数,则=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由积分运算、微积分基本定理、积分的几何意义分别求出,从而求得.‎ ‎【详解】因为 由微积分基本定理得:,‎ 由积分的几何意义得:‎ 所以,故选C.‎ ‎【点睛】本题考查积分的运算法则及积分的几何意义的运用,考查数形结合思想和运算求解能力.‎ ‎11.若函数,对任意实数都有,则实数的值为( )‎ A. 和 B. 和 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由得函数一条对称轴为 ,因此 ‎ ,由得 ,选A.‎ 点睛:求函数解析式方法:‎ ‎(1).‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.‎ ‎(4)由 求对称轴 ‎12.已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,解得,故,其中,故.‎ 点睛:本题驻澳考查三角恒等变换,考查两角和的正切公式,考查降次公式和二倍角公式,考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得,然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子,再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置,如果记错降次公式或者诱导公式,则会计算出选项.‎ ‎13.设函数,若实数分别是的零点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得,函数在各自的定义域上分别为增函数,‎ ‎∵, ‎ 又实数分别是的零点 ‎∴,‎ ‎∴,‎ 故。选A。‎ 点睛:解答本题时,先根据所给的函数的解析式判断单调性,然后利用判断零点所在的范围,然后根据函数的单调性求得的取值范围,其中借助0将与联系在一起是关键。‎ ‎14.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数关于轴对称的解析式为,则它与在有交点,在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,观察图象得到.‎ ‎【详解】函数关于轴对称的解析式为,‎ 函数,两个函数的图象如图所示:‎ 若过点时,得,但此时两函数图象的交点在轴上,‎ 所以要保证在轴的正半轴,两函数图象有交点,则的图象向右平移均存在交点,‎ 所以,故选C.‎ ‎【点睛】本题综合考查函数的性质及图象的平移问题,注意利用数形结合思想进行问题求解,能减少运算量.‎ ‎15.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为3,则的取值范围是(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题变为,即有个整数解的问题;利用导数研究的单调性,从而可得图象;利用恒过点画出图象,找到有个整数解的情况,得到不等式组,解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】由得:,即:‎ 令,‎ 当时,;当时,‎ 在上单调递减;在上单调递增 ‎,且,‎ 由此可得图象如下图所示:‎ 由可知恒过定点 不等式的解集中整数个数为个,则由图象可知:‎ ‎,即,解得:‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】本题考查根据整数解的个数求解参数取值范围的问题,关键是能够将问题转化为曲线和直线的位置关系问题,通过数形结合的方式确定不等关系.‎ 二、填空题..‎ ‎16.已知函数,则_________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断,再代入,利用对数恒等式,计算求得式子的值为.‎ ‎【详解】因为,所以,故填.‎ ‎【点睛】在计算的值时,先进行幂运算,再进行对数运算,能使运算过程更清晰.‎ ‎17.的展开式中第三项的系数为_________。‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式的通项公式,当时得到项,再抽出其系数.‎ ‎【详解】,‎ 当时,,所以第三项的系数为,故填.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式的简单运用,考查基本运算能力,注意第3项不是,而是.‎ ‎18.某互联网公司借助手机微信平台推广自己的产品,对今年前5个月的微信推广费用与利润额(单位:百万元)进于了初步统计,得到下列表格中的数据:‎ 经计算,月微信推广费用与月利润额满足线性回归方程,则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算,,代入线性回归方程即可得解.‎ ‎【详解】由题中数据可得.‎ 由线性回归方程经过样本中心,.‎ 有:,解得.‎ 故答案为:50.‎ ‎【点睛】本题主要考查了回归直线方程过样本中心,属于基础题.‎ ‎19.已知函数的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.则的解析式为________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数周期为,求出,再由图象的最低点,得到振幅,及.‎ ‎【详解】因为图象与两个交点之间的距离为,所以,‎ 所以,由于图象的最低点,则,‎ 所以,当时,,‎ 因为,所以,故填:.‎ ‎【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质,考查数形结合思想的应用,注意这一条件限制,从面得到值的唯一性.‎ ‎20.某中学连续14年开展“走进新农村”社会实践活动.让同学们开阔视野,学以致用.展开书本以外的思考.进行课堂之外的磨练.今年该中学有四个班级到三个活动基地.每个活动基地至少分配1个班级.则A、B两个班级被分到不同活动基地的情况有______种.‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,分2步进行分析:(1)将四个班级分成3组,要求A,B两个班级不分到同一组;(2)将分好的三组全排列,安排到三个活动基地,由分步计数原理得到答案.‎ ‎【详解】根据题意,分2步进行分析:‎ ‎(1)将四个班级分成3组,要求A,B两个班级不分到同一组,有种分组方法;‎ ‎(2)将分好的三组全排列,安排到三个活动基地,有种情况,‎ 则有种不同的情况,故填:30.‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.‎ 三、解答题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)判断的奇偶性并证明你的结论;‎ ‎(2)解不等式 ‎【答案】(1) 为奇函数;证明见解析;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数定义域关于原点对称,再求得,从而得到原函数为奇函数;‎ ‎(2)利用对数式与指数式的互化,得到分式不等式,求得.‎ ‎【详解】(1)根据题意为奇函数;‎ 证明:,所以定义域为,关于原点对称. ‎ 任取,‎ 则.‎ 则有,为奇函数. ‎ ‎(2)由(1)知,,即,‎ ‎,即,‎ ‎∴或.‎ 又由,则有,‎ 综上不等式解集为.‎ ‎【点睛】本题以对数函数、分式函数复合的复合函数为背景,考查奇偶性和解不等式,求解时注意对数式与指数式互化.‎ ‎22.已知锐角的三个内角的对边分别为,且.‎ ‎(1)求角;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)运用三角形的余弦定理,可得sinC,可得角C; (2)运用正弦定理和两角差的正余弦公式,结合函数的单调性,即可得到所求范围.‎ 试题解析:‎ ‎(1)由余弦定理,可得,‎ 所以,所以,‎ 又,所以. ‎ ‎(2)由正弦定理,,‎ 所以 , ‎ 因为是锐角三角形,‎ 所以得, ‎ 所以,,‎ 即.‎ ‎23.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.‎ ‎(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望;‎ ‎(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?‎ ‎【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析;甲的数学期望2、乙的数学期望2; (2)甲通过面试的概率较大.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为,,由于,,分别写出分布列,再求期望值均为;‎ ‎(2)由于均值相等,可通过比较各自的方差.‎ ‎【详解】(1)设为甲正确完成面试题的数量,为乙正确完成面试题的数量,‎ 依题意可得:,‎ ‎∴,,,‎ ‎∴X的分布列为:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴. ‎ ‎,‎ ‎∴,,‎ ‎,,‎ ‎∴Y的分布列为:‎ Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴. ‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎∵,‎ ‎∴甲发挥的稳定性更强,则甲通过面试的概率较大.‎ ‎【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算,考查数据处理能力,求解时注意概率计算的准确性.‎ ‎24.已知(为自然对数的底数),.‎ ‎(1)当时,求函数极小值;‎ ‎(2)当时,关于的方程有且只有一个实数解,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意,当时,然后求导函数,分析单调性求得极值;‎ ‎(2)先将原方程化简,然后换元转化成只有一个零点,再对函数进行求导,讨论单调性,利用零点存在性定理求得a的取值.‎ ‎【详解】(1)当时,令解得 ‎ 递减 极小值 递增 ‎ ‎ ‎(2)设,‎ 令,,‎ ‎,设,,‎ 由得,‎ ‎,在单调递增,‎ 即在单调递增,,‎ ‎①当,即时,时,,在单调递增,又,‎ 此时在当时,关于的方程有且只有一个实数解. ‎ ‎②当,即时,‎ ‎,又 故,当时,,单调递减,又,‎ 故当时,,‎ 在内,关于的方程有一个实数解. ‎ 又时,,单调递增,‎ 且,令,‎ ‎,,故在单调递增,又 故在单调递增,故,故,又,由零点存在定理可知,.‎ 故当时,的方程有两个解为和 综上所述:当时的方程有且只有一个实数解 ‎【点睛】本题主要考查了导函数的应用,讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关键点,属于难题.‎ 如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)<0,那么,函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=‎ ‎ 0的根.‎ ‎25.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为=(>0),过点的直线的参数方程为(t为参数),直线与曲线C相交于A,B两点.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)若,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ),(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标,两式相减消去参数得直线的普通方程为.(Ⅱ)由直线参数方程几何意义有,因此将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,‎ 得,由韦达定理有.解之得:或(舍去)‎ 试题解析:(Ⅰ)由得,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ 直线的普通方程为.‎ ‎(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,‎ 得,‎ 设两点对应的参数分别为,‎ 则有.‎ ‎∵,∴, 即.‎ ‎∴.‎ 解之得:或(舍去),∴值为.‎ 考点:极坐标方程化直角坐标,参数方程化普通方程,直线参数方程几何意义 ‎26.已知函数.‎ ‎(1)若,解不等式;‎ ‎(2)若不等式对任意的实数恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ 分析:第一问先将代入解析式,之后应用零点分段法将绝对值不等式转化为若干个不等式组,最后取并集即可得结果;第二问将恒成立问题转化为最值问题来处理,应用绝对值的性质,将不等式的左边求得其最小值,之后将其转化为关于b的绝对值不等式,利用平方法求得结果.‎ 详解:(1)‎ ‎ ‎ 所以解集为:. ‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ 所以的取值范围为:. ‎ 点睛:该题考查的是有关绝对值不等式的求解问题,在解题的过程中,需要用到零点分段法求绝对值不等式的解集,再者对于恒成立问题可以向最值来转化,而求最值时需要用到绝对值不等式的性质,之后应用平方法求解即可得结果.‎ ‎ ‎

相关文档