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- 2021-06-11 发布
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长郡中学2018-2019学年度高二第二学期期末考试
数学(理科)
一、选择题。
1.设集合,若,则( )
A. 1 B. C. D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】
由得且,把代入二次方程求得,最后对的值进行检验.
【详解】因为,所以且,
所以,解得.
当时,,显然,所以成立,故选A.
【点睛】本题考查集合的交运算,注意求出参数的值后要记得检验.
2.已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
函数中的取值范围与函数中的范围一样.
【详解】因为函数的定义域为,所以,所以,
所以函数的定义域为.选D.
【点睛】求抽象函数定义域是一种常见题型,已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量的取值范围的集合,而对应关系所作用的数范围是一致的,即括号内数的取值范围一样.
3.在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称,若角是第三象限角,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由单位圆中的三角函数线可得:终边关于轴对称的角与角的正弦值相等,所以,再根据同角三角函数的基本关系,结合余弦函数在第四象限的符号,求得.
【详解】角与角终边关于轴对称,且是第三象限角,所以为第四象限角,
因为,所以,又,解得:,故选A.
【点睛】本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系,考查基本的运算求解能力.
4.已知命题“,使得”是真命题,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二次函数与二次不等式的关系,可得函数的判别式,从而得到.
【详解】由题意知,二次函数的图象恒在轴上方,所以,
解得:,故选C.
【点睛】本题考查利用全称命题为真命题,求参数的取值范围,注意利用函数思想求解不等式.
5.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布,从中随机取一件.其长度误差落在区间内的概率为( )
(附:若随机变量服从正态分布N,则,)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用原则,分别求出的值,再利用对称性求出.
【详解】正态分布中,,
所以,
,
所以,故选B.
【点睛】本题考查正态分布知识,考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.
6.定义在上的奇函数满足,且当时,,则( )
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由等式可得函数的周期,得到,再由奇函数的性质得,根据解析式求出,从而得到的值.
【详解】因为,所以的周期,
所以,故选D.
【点睛】由等式得函数的周期,其理由是:为函数自变量的一个取值,为函数自变量的另一个取值,这两个自变量的差始终为4,函数值始终相等,所以函数的周期为4.
7.函数的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
利用复合函数的单调性,直接把代入的单调递增区间,求出的范围即函数的单调递增区间.
【详解】因为,解得:,
所以函数的单调递增区间为:,故选C.
【点睛】本题考查正切函数单调递增区间,注意单调区间为一个开区间,同时要注意不能错解成,即把正、余弦函数的周期与正切函数的周期混淆.
8.函数在处切线斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析:首先求得函数的导函数,然后结合导函数研究函数的切线即可.
详解:由函数的解析式可得:,
则,
即函数在处切线斜率为.
本题选择C选项.
点睛:本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9.已知函数,将其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若函数为偶函数,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由平移变换得到,由偶函数的性质得到,
从而求.
【详解】由题意得:,
因为为偶函数,所以函数的图象关于对称,
所以当时,函数取得最大值或最小值,所以,
所以,解得:,
因为,所以当时,,故选B.
【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量而言的,所以函数向右平移个单位长度后得到函数,不能错误地得到.
10.已知函数,则=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由积分运算、微积分基本定理、积分的几何意义分别求出,从而求得.
【详解】因为
由微积分基本定理得:,
由积分的几何意义得:
所以,故选C.
【点睛】本题考查积分的运算法则及积分的几何意义的运用,考查数形结合思想和运算求解能力.
11.若函数,对任意实数都有,则实数的值为( )
A. 和 B. 和 C. D.
【答案】A
【解析】
由得函数一条对称轴为 ,因此
,由得 ,选A.
点睛:求函数解析式方法:
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
(4)由 求对称轴
12.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
,解得,故,其中,故.
点睛:本题驻澳考查三角恒等变换,考查两角和的正切公式,考查降次公式和二倍角公式,考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得,然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子,再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置,如果记错降次公式或者诱导公式,则会计算出选项.
13.设函数,若实数分别是的零点,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意得,函数在各自的定义域上分别为增函数,
∵,
又实数分别是的零点
∴,
∴,
故。选A。
点睛:解答本题时,先根据所给的函数的解析式判断单调性,然后利用判断零点所在的范围,然后根据函数的单调性求得的取值范围,其中借助0将与联系在一起是关键。
14.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
函数关于轴对称的解析式为,则它与在有交点,在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,观察图象得到.
【详解】函数关于轴对称的解析式为,
函数,两个函数的图象如图所示:
若过点时,得,但此时两函数图象的交点在轴上,
所以要保证在轴的正半轴,两函数图象有交点,则的图象向右平移均存在交点,
所以,故选C.
【点睛】本题综合考查函数的性质及图象的平移问题,注意利用数形结合思想进行问题求解,能减少运算量.
15.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为3,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将问题变为,即有个整数解的问题;利用导数研究的单调性,从而可得图象;利用恒过点画出图象,找到有个整数解的情况,得到不等式组,解不等式组求得结果.
【详解】由得:,即:
令,
当时,;当时,
在上单调递减;在上单调递增
,且,
由此可得图象如下图所示:
由可知恒过定点
不等式的解集中整数个数为个,则由图象可知:
,即,解得:
本题正确选项:
【点睛】本题考查根据整数解的个数求解参数取值范围的问题,关键是能够将问题转化为曲线和直线的位置关系问题,通过数形结合的方式确定不等关系.
二、填空题..
16.已知函数,则_________
【答案】3
【解析】
【分析】
判断,再代入,利用对数恒等式,计算求得式子的值为.
【详解】因为,所以,故填.
【点睛】在计算的值时,先进行幂运算,再进行对数运算,能使运算过程更清晰.
17.的展开式中第三项的系数为_________。
【答案】6
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式,当时得到项,再抽出其系数.
【详解】,
当时,,所以第三项的系数为,故填.
【点睛】本题考查二项展开式的简单运用,考查基本运算能力,注意第3项不是,而是.
18.某互联网公司借助手机微信平台推广自己的产品,对今年前5个月的微信推广费用与利润额(单位:百万元)进于了初步统计,得到下列表格中的数据:
经计算,月微信推广费用与月利润额满足线性回归方程,则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
计算,,代入线性回归方程即可得解.
【详解】由题中数据可得.
由线性回归方程经过样本中心,.
有:,解得.
故答案为:50.
【点睛】本题主要考查了回归直线方程过样本中心,属于基础题.
19.已知函数的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.则的解析式为________。
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数周期为,求出,再由图象的最低点,得到振幅,及.
【详解】因为图象与两个交点之间的距离为,所以,
所以,由于图象的最低点,则,
所以,当时,,
因为,所以,故填:.
【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质,考查数形结合思想的应用,注意这一条件限制,从面得到值的唯一性.
20.某中学连续14年开展“走进新农村”社会实践活动.让同学们开阔视野,学以致用.展开书本以外的思考.进行课堂之外的磨练.今年该中学有四个班级到三个活动基地.每个活动基地至少分配1个班级.则A、B两个班级被分到不同活动基地的情况有______种.
【答案】30
【解析】
【分析】
根据题意,分2步进行分析:(1)将四个班级分成3组,要求A,B两个班级不分到同一组;(2)将分好的三组全排列,安排到三个活动基地,由分步计数原理得到答案.
【详解】根据题意,分2步进行分析:
(1)将四个班级分成3组,要求A,B两个班级不分到同一组,有种分组方法;
(2)将分好的三组全排列,安排到三个活动基地,有种情况,
则有种不同的情况,故填:30.
【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.
三、解答题.
21.已知函数.
(1)判断的奇偶性并证明你的结论;
(2)解不等式
【答案】(1) 为奇函数;证明见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)求出函数定义域关于原点对称,再求得,从而得到原函数为奇函数;
(2)利用对数式与指数式的互化,得到分式不等式,求得.
【详解】(1)根据题意为奇函数;
证明:,所以定义域为,关于原点对称.
任取,
则.
则有,为奇函数.
(2)由(1)知,,即,
,即,
∴或.
又由,则有,
综上不等式解集为.
【点睛】本题以对数函数、分式函数复合的复合函数为背景,考查奇偶性和解不等式,求解时注意对数式与指数式互化.
22.已知锐角的三个内角的对边分别为,且.
(1)求角;
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)运用三角形的余弦定理,可得sinC,可得角C;
(2)运用正弦定理和两角差的正余弦公式,结合函数的单调性,即可得到所求范围.
试题解析:
(1)由余弦定理,可得,
所以,所以,
又,所以.
(2)由正弦定理,,
所以 ,
因为是锐角三角形,
所以得,
所以,,
即.
23.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望;
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析;甲的数学期望2、乙的数学期望2; (2)甲通过面试的概率较大.
【解析】
【分析】
(1)设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为,,由于,,分别写出分布列,再求期望值均为;
(2)由于均值相等,可通过比较各自的方差.
【详解】(1)设为甲正确完成面试题的数量,为乙正确完成面试题的数量,
依题意可得:,
∴,,,
∴X的分布列为:
X
1
2
3
P
∴.
,
∴,,
,,
∴Y的分布列为:
Y
0
1
2
3
P
∴.
(2),
,
∵,
∴甲发挥的稳定性更强,则甲通过面试的概率较大.
【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算,考查数据处理能力,求解时注意概率计算的准确性.
24.已知(为自然对数的底数),.
(1)当时,求函数极小值;
(2)当时,关于的方程有且只有一个实数解,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)由题意,当时,然后求导函数,分析单调性求得极值;
(2)先将原方程化简,然后换元转化成只有一个零点,再对函数进行求导,讨论单调性,利用零点存在性定理求得a的取值.
【详解】(1)当时,令解得
递减
极小值
递增
(2)设,
令,,
,设,,
由得,
,在单调递增,
即在单调递增,,
①当,即时,时,,在单调递增,又,
此时在当时,关于的方程有且只有一个实数解.
②当,即时,
,又
故,当时,,单调递减,又,
故当时,,
在内,关于的方程有一个实数解.
又时,,单调递增,
且,令,
,,故在单调递增,又
故在单调递增,故,故,又,由零点存在定理可知,.
故当时,的方程有两个解为和
综上所述:当时的方程有且只有一个实数解
【点睛】本题主要考查了导函数的应用,讨论单调性和零点的存在性定理是解题的关键点,属于难题.
如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)<0,那么,函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=
0的根.
25.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为=(>0),过点的直线的参数方程为(t为参数),直线与曲线C相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标,两式相减消去参数得直线的普通方程为.(Ⅱ)由直线参数方程几何意义有,因此将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,
得,由韦达定理有.解之得:或(舍去)
试题解析:(Ⅰ)由得,
∴曲线的直角坐标方程为.
直线的普通方程为.
(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,
得,
设两点对应的参数分别为,
则有.
∵,∴, 即.
∴.
解之得:或(舍去),∴值为.
考点:极坐标方程化直角坐标,参数方程化普通方程,直线参数方程几何意义
26.已知函数.
(1)若,解不等式;
(2)若不等式对任意的实数恒成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
分析:第一问先将代入解析式,之后应用零点分段法将绝对值不等式转化为若干个不等式组,最后取并集即可得结果;第二问将恒成立问题转化为最值问题来处理,应用绝对值的性质,将不等式的左边求得其最小值,之后将其转化为关于b的绝对值不等式,利用平方法求得结果.
详解:(1)
所以解集为:.
(2)
所以的取值范围为:.
点睛:该题考查的是有关绝对值不等式的求解问题,在解题的过程中,需要用到零点分段法求绝对值不等式的解集,再者对于恒成立问题可以向最值来转化,而求最值时需要用到绝对值不等式的性质,之后应用平方法求解即可得结果.