2019年高考数学复习大二轮精准提分课件第一篇 第3练 55页

第一篇　小考点抢先练 ， 基础题不失分 第 3 练　不等式与线性规划 明晰 考 情 1. 命题角度：不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点 . 2 . 题目难度：中低档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　不等关系与不等式的性质 要点重组 　不等式的常用性质 (1) 如果 a > b >0 ， c > d >0 ，那么 ac > bd . (2) 如果 a > b >0 ，那么 a n > b n ( n ∈ N ， n ≥ 1). 核心考点突破练 1. 若 a ， b ， c 为实数，则下列命题为真命题的是 A. 若 a ＞ b ，则 ac 2 > bc 2 B. 若 a ＜ b ＜ 0 ，则 a 2 ＞ ab ＞ b 2 √ 解析　 B 中， ∵ a ＜ b ＜ 0 ， ∴ a 2 － ab ＝ a ( a － b ) ＞ 0 ， ab － b 2 ＝ b ( a － b ) ＞ 0. 故 a 2 ＞ ab ＞ b 2 ， B 正确 . 答案 解析 2.(2018· 全国 Ⅲ ) 设 a ＝ log 0.2 0.3 ， b ＝ log 2 0.3 ，则 A. a ＋ b ＜ ab ＜ 0 B. ab ＜ a ＋ b ＜ 0 C. a ＋ b ＜ 0 ＜ ab D. ab ＜ 0 ＜ a ＋ b 解析　 ∵ a ＝ log 0.2 0.3 ＞ log 0.2 1 ＝ 0 ， b ＝ log 2 0.3 ＜ log 2 1 ＝ 0 ， ∴ ab ＜ 0. √ ∴ 1 ＝ log 0.3 0.3 ＞ log 0.3 0.4 ＞ log 0.3 1 ＝ 0 ， 答案 解析 3.(2017· 山东 ) 若 a ＞ b ＞ 0 ，且 ab ＝ 1 ，则下列不等式成立的是 √ 答案 解析 解析　 方法一　 ∵ a ＞ b ＞ 0 ， ab ＝ 1 ， ∵ a > b >0 ， ab ＝ 1 ， ∴ a >1 ， 0< b <1 ， 方法二　 ∵ a ＞ b ＞ 0 ， ab ＝ 1 ， 答案 ② 考点二　不等式的解法 方法技巧 　 (1) 解一元二次不等式的步骤 一化 ( 二次项系数化为正 ) ，二判 ( 看判别式 Δ ) ，三解 ( 解对应的一元二次方程 ) ，四写 ( 根据 “ 大于取两边，小于取中间 ” 写出不等式解集 ). (2) 可 化为 ＜ 0( 或＞ 0) 型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解 . (3) 指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解 . 5. 用 min{ a ， b } 表示 a ， b 两数中的最小值，若函数 f ( x ) ＝ min{ x ＋ 3 ，－ x 2 ＋ 3 x ＋ 6} ，则不等式 f ( x － 1)<2 的解集为 A.{ x | x < － 1} B .{ x | x >4} C.{ x | x < － 1 或 x >4} D.{ x | x <0 或 x >5} √ 答案 解析 解析　 画出 y ＝ x ＋ 3 与 y ＝－ x 2 ＋ 3 x ＋ 6 的图象如图所示， 故 f ( x ) 的图象如图中的粗线部分所示， 由 f ( x )<2 ， 作出直线 y ＝ 2 ， 数形结合得 x < － 1 或 x >4 ， 则由不等式 f ( x － 1)<2 ，可得 x － 1< － 1 或 x － 1>4 ， 得 x <0 或 x >5 ，故选 D. 6. 已知 x ∈ ( － ∞ ， 1] ，不等式 1 ＋ 2 x ＋ ( a － a 2 )·4 x >0 恒成立，则实数 a 的取值范围为 答案 解析 √ 解析　 ∵ 关于 x 的不等式 ax － b ＞ 0 的解集是 ( － ∞ ，－ 2) ， { x | x ＜ 0 或 1 ＜ x ＜ 2} ∴ b ＝－ 2 a ， 解得 x ＜ 0 或 1 ＜ x ＜ 2. 答案 解析 答案 解析 当 x ＞ 1 时， f ( x ) ＝ 是 减函数 ， ∴ f ( x ) ＜ f (1) ＝ 0 ； 考点三　基本不等式 (1) 利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等 . (2) 求最值时若连续利用两次基本不等式，必须保证两次等号成立的条件一致 . 又因为 a 2 ＋ 2 b 2 ＝ 6 ， √ 答案 解析 √ 解析　 由两圆恰有三条公切线知，两圆外切， 可得 a 2 ＋ 4 b 2 ＝ 9 ， 当且仅当 a 2 ＝ 2 b 2 时取等号 . 答案 解析 √ 答案 解析 解析　 ∵ a ， b ∈ R ， ab ＞ 0 ， 4 答案 解析 考点四　简单的线性规划问题 方法技巧 　 (1) 求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求 . (2) 常见的目标函数 ① 截距型： z ＝ ax ＋ by ； ② 距离型： z ＝ ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ； A.6 　　　　 B.19 　　　　 C.21 　　　　 D.45 √ 答案 解析 解析　 画出可行域如图中阴影部分所示 ( 含边界 ) ， z 取得最大值， z max ＝ 3 × 2 ＋ 5 × 3 ＝ 21. 故选 C. 答案 解析 A.15 　　　　 B.13 　　　　 C.3 　　　　 D.2 √ 解析　 画出约束条件所表示的可行域，如图 ( 阴影部分含边界 ) 所示， 直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 1 取得最大值， 直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 1 取得最小值， 此时最大值为 z 1 ＝ 3 ＋ 3 × 4 ＝ 15 ； 此时最小值为 z 1 ＝ 2 ＋ 3 × 0 ＝ 2 ， 所以目标函数 z ＝ | x ＋ 3 y | 的最大值为 15. A.4 　　　　 B.9 　　　　 C.10 　　　　 D.12 x 2 ＋ y 2 是可行域上动点 ( x ， y ) 到原点 (0 ， 0) 距离的平方， 显然，当 x ＝ 3 ， y ＝－ 1 时， x 2 ＋ y 2 取最大值，最大值为 10. 故选 C. √ 答案 解析 A.12 　　　　 B.11 　　　　 C.7 　　　　 D.8 √ 答案 解析 解析　 满足条件的不等式组所表示的平面区域为如图所示的 △ ABC 及其内部， 其中 A (6 ，－ 1) ， B (0 ， 1) ， C ( － 2 ，－ 1) ， ① 当 z ＝ 2 x ＋ y ( x ≥ 0) 时，目标函数线经过点 A (6 ，－ 1) 时 ， z 取最大值， z max ＝ 11 ； ② 当 z ＝－ 2 x ＋ y ( x ＜ 0) 时，目标函数线经过点 C ( － 2 ，－ 1) 时 ， z 取最大值， z max ＝ 3. 综上可知， z ＝ 2| x | ＋ y 的最大值为 11 ，故选 B. 1. 若不等式 ( － 2) n a － 3 n － 1 － ( － 2) n ＜ 0 对任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是 易错易混专项练 答案 解析 √ 解析　 当 n 为奇数时，要满足 2 n (1 － a ) ＜ 3 n － 1 恒成立， 当 n 为偶数时，要满足 2 n ( a － 1) ＜ 3 n － 1 恒成立， 易知 ( x － 3) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 表示可行域内的点 ( x ， y ) 与 (3 ， － 2) 两点间距离的平方 ， 通过数形结合可知，当 ( x ， y ) 为直线 x ＋ y ＝ 2 与 y ＝ 1 的交点 (1 ， 1) 时， ( x － 3) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 取得最小值，为 13. 13 答案 解析 4 答案 解析 解析　 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分 ( 包括边界 ) 所示， 当直线 z ＝ ax ＋ by ( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 过直线 x － y ＋ 2 ＝ 0 与 直线 3 x － y － 6 ＝ 0 的交点 (4 ， 6) 时， 目标函数 z ＝ ax ＋ by ( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 取得最大值 12 ， 即 2 a ＋ 3 b ＝ 6 ， 解题秘籍 　 (1) 不等式恒成立或有解问题能分离参数的，可先分离参数，然后通过求最值解决 . (2) 利用基本不等式求最值时要灵活运用两个公式： ① a 2 ＋ b 2 ≥ 2 ab ( a ， b ∈ R ) ，当且仅当 a ＝ b 时取等号； ② a ＋ b ≥ 　　 ( a >0 ， b >0) ，当且仅当 a ＝ b 时取等号 . 注意公式的变形使用和等号成立的条件 . (3) 理解线性规划问题中目标函数的实际意义 . 1. 若 x ＞ y ＞ 0 ， m ＞ n ，则下列不等式正确的是 A. xm ＞ ym B. x － m ≥ y － n 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 √ 2. 已知 a >0 ， b ＞ 0 ，且 a ≠ 1 ， b ≠ 1 ，若 log a b ＞ 1 ，则 A.( a － 1)( b － 1) ＜ 0 B.( a － 1)( a － b ) ＞ 0 C.( b － 1)( b － a ) ＜ 0 D.( b － 1)( b － a ) ＞ 0 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 取 a ＝ 2 ， b ＝ 4 ，则 ( a － 1)( b － 1) ＝ 3 ＞ 0 ，排除 A ； 则 ( a － 1)( a － b ) ＝－ 2 ＜ 0 ，排除 B ； ( b － 1)( b － a ) ＝ 6 ＞ 0 ，排除 C ，故选 D. A.( － 3 ， 1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) B.( － 3 ， 1) ∪ (2 ，＋ ∞ ) C.( － 1 ， 1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) D.( － ∞ ，－ 3) ∪ (1 ， 3) √ 解析　 f (1) ＝ 3. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解得－ 3< x <1 或 x >3. 4. 下列函数中， y 的最小值为 4 的是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B. y ＝ log 3 x ＋ 4log x 3 D. y ＝ e x ＋ 4e － x √ 5. 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求 ∠ ACB ＝ 60° ， BC 的长度大于 1 米，且 AC 比 AB 长 0.5 米，为了稳固广告牌，要求 AC 越短越好，则 AC 最短为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由题意设 BC ＝ x ( x >1) 米， AC ＝ t ( t >0) 米， 依题意知 AB ＝ AC － 0.5 ＝ t － 0.5( 米 ) ， 在 ABC 中，由余弦定理得 AB 2 ＝ AC 2 ＋ BC 2 － 2 AC · BC cos 60° ， 即 ( t － 0.5) 2 ＝ t 2 ＋ x 2 － tx ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A.5 　　　　 B.29 　　　　 C.37 　　　　 D.49 解析　 如图 ， 由已知得平面区域 Ω 为 △ MNP 内部及边界 . ∵ 圆 C 与 x 轴相切， ∴ b ＝ 1. 显然当圆心 C 位于直线 y ＝ 1 与 x ＋ y － 7 ＝ 0 的交点 (6 ， 1) 处时， | a | max ＝ 6. ∴ a 2 ＋ b 2 的最大值为 6 2 ＋ 1 2 ＝ 37. 故选 C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 解析　 在平面直角坐标系中作出不等式组所表示 的 可行域 如图中阴影部分 ( 包括边界 ) 所示， 当目标函数 z ＝ 2 x ＋ y 经过可行域中的点 B (1 ， 1) 时有最大值 3 ， 当目标函数 z ＝ 2 x ＋ y 经过可行域中的点 A ( a ， a ) 时有最小值 3 a ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 8. 若对任意的 x ， y ∈ R ，不等式 x 2 ＋ y 2 ＋ xy ≥ 3( x ＋ y － a ) 恒成立，则实数 a 的取值范围为 A.( － ∞ ， 1] B .[1 ，＋ ∞ ) C.[ － 1 ，＋ ∞ ) D .( － ∞ ，－ 1] 解析　 不等式 x 2 ＋ y 2 ＋ xy ≥ 3( x ＋ y － a ) 对任意的 x ， y ∈ R 恒成立等价于不等式 x 2 ＋ ( y － 3) x ＋ y 2 － 3 y ＋ 3 a ≥ 0 对任意的 x ， y ∈ R 恒成立， 所以 Δ ＝ ( y － 3) 2 － 4( y 2 － 3 y ＋ 3 a ) ＝－ 3 y 2 ＋ 6 y ＋ 9 － 12 a ＝－ 3( y － 1) 2 ＋ 12(1 － a ) ≤ 0 对 任意 的 y ∈ R 恒成立， 所以 1 － a ≤ 0 ，即 a ≥ 1 ，故选 B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 函数 f ( x ) 的定义域为 ( － 1 ， 1) 且在 ( － 1 ， 1) 上单调递增 ， f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 ∵ a － 3 b ＋ 6 ＝ 0 ， ∴ a － 3 b ＝－ 6 ， 答案 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由图知，当直线 z ＝ 3 x － 2 y 过点 A 时， z 取得最小值， ( － ∞ ， 6] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 则由题意知实数 a 的取值范围是 a ≤ 6. 解析　 画出满足不等式组的平面区域， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12