宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期模拟考试数学（理）试题 25页

绝密★启用前 宁夏六盘山高级中学2020届高三第二次模拟考试 理科数学试卷 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚.‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的     ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎2.集合，若则实数的值为     ‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 4‎ ‎3.等差数列的首项为1，公差不为，若，，成等比数列，则数列的前项的和 为   ‎ A. B. C. 3 D. 8‎ ‎4.设向量，则与垂直的向量可以是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为 A. 2 B. C. D. 1‎ ‎6.的展开式中的系数为 （ ）‎ A. B. C. 40 D. 80‎ ‎7.下列命题中，错误命题是 ‎ A. “若则的逆命题为真.‎ B. 线性回归直线必过样本点的中心.‎ C. 在平面直角坐标系中到点和的距离的和为的点的轨迹为椭圆.‎ D. 在锐角中，.‎ ‎8.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值 是输入值的，则输入的    ‎ A.B. ‎ C．D. ‎ ‎9.已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）‎ A.B.C. D. ‎ ‎10.将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论： ‎ ‎；是等边三角形；‎ 所成的角为；所成的角为．‎ 其中错误的结论是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ( )‎ A.B. C. D. ‎ ‎12.在矩形中，，,动点在以点为圆心且与相切的圆上．‎ 若，则的最大值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）．‎ ‎13.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，‎ 则________．‎ ‎14. 函数的部分图象如图所示，‎ 则的值是______‎ ‎15. 若数列满足，，_____.‎ ‎16.“解方程”有如下思路；设，则在上单调递减，且，故原方程有唯一解，类比上述解题思路，不等式的解集是______．‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答 ‎17.(本小题满分12分)‎ 在中，内角所对的边分别是，已知，，‎ ‎.求的值；‎ ‎.求的值．‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 某公司人数众多为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，按照男员工和女员工的比例分层抽样，得到名员工的月使用流量单位：的数据，其频率分布直方图如图所示． ‎ ‎.求的值，并估计这名员工月使用流量的平均值（同一组中的数据 用中点值代表 ‎.若将月使用流量在以上（含）的员工称为“手机营销达人”，填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“成为手机营销达人与员工的性别有关”；‎ 男员工 女员工 合计 手机营销达人 ‎5‎ 非手机营销达人 合计 ‎200‎ 参考公式及数据：，其中．‎ ‎.若这名员工中有名男员工每月使用流量在，从每月使用流量 在的员工中随机抽取名进行问卷调查，记女员工的人数为, 求 的分布列和数学期望．‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图所示，四棱锥中，，，，， ,，，E为CD的中点．‎ ‎.求证：；‎ ‎.求二面角的余弦值．‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ ‎ 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．‎ ‎.求椭圆的标准方程；‎ ‎.不过原点的直线与椭圆交于两点，若三直线 的斜率成等比数列，求直线的斜率及的值．‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知函数，且．‎ ‎.求；‎ ‎.证明：存在唯一的极大值点，且．‎ 选考题：共10分，请考生在22,、23题中任选一题作答.‎ 如果多做，则按所做的第一题计分 ‎22. 选考题(本小题满分10分) ‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程,以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎.写出曲线的极坐标方程；‎ ‎.设点的极坐标为，过点的直线与曲线相交于两点，‎ 若，求的弦长．‎ ‎23. 选考题(本小题满分10分) ‎ ‎.设函数 证明：；‎ ‎.若实数满足，‎ 求证：．‎ 绝密★启用前 宁夏六盘山高级中学2020届高三第二次模拟考试 理科数学试卷（答案）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 1. 设是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的     ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B 解：， 当为纯虚数时，且， 若，则或，此时充分性不成立， 若且，则成立，即必要性成立， 则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件． 故选B．‎ ‎2．集合，，若，则实数a的值为     ‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D 解：集合，， 因为， 当时，，此时满足条件， 故选D．‎ ‎3.等差数列的首项为1，公差不为若，，成等比数列，则前6项的和为     ‎ A. B. C. 3 D. 8‎ ‎【答案】A 解：设等差数列的公差为d，， 由题意得， ，，成等比数列， ， ， 解得， 前6项的和为 ‎ ‎． 故选A．‎ ‎4.设向量，则与垂直的向量可以是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 解：向量，． ， ， 与垂直的向量可以是． 故选：A．‎ ‎5.用一平面去截体积为的球，所得截面的面积为，则球心到截面的距离为    ‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】C 解：球的体积，则球的半径是， 截面的面积为，则截面圆的半径是， 所以球心到截面的距离为． 故选C．‎ ‎6.的展开式中的系数为 A. B. C. 40 D. 80‎ ‎【答案】C 解：的展开式的通项公式： ． 令，解得． 令，解得． ‎ x项：， y项：， 的展开式中的系数为． 故选C．‎ ‎7.下列命题中，错误命题是 A. “若，则”的逆命题为真 B. 线性回归直线必过样本点的中心 C. 在平面直角坐标系中到点和的距离的和为的点的轨迹为椭圆 D. 在锐角中，有 ‎【答案】C 解：选项A：“若，则”的逆命题为：若，则，显然是真命题； 选项B：线性回归直线必过样本点的中心，所以B正确； 选项C：因为点和之间的距离为，所以在平面直角坐标系中到点和的距离的和为的点的轨迹为线段，所以C不正确 选项D：在锐角中，有，则，所以，可得，所以D正确； 故选：C．‎ ‎8.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的    ‎ A. ‎ ‎ B. C. D. ‎ ‎【答案】C 解：时．，时，， 时，， 时，退出循环，此时 解得， 故选：C． ‎ ‎9.已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是    ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 解：由题意，圆心到直线的距离， ， 圆的一条切线与双曲线C：没有公共点， ， ， ，又， 双曲线的离心率的取值范围 ‎． 故选B． ‎ ‎10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，有如下四个结论： ； 是等边三角形； 与平面BCD所成的角为； 与CD所成的角为． 其中错误的结论是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 解：取BD的中点E，则，． 又，平面AEC，平面AEC， 面AEC． 平面AEC，，故正确； 设正方形边长为a，则，． ，， 为二面角 所成平面角， 又二面角为直二面角，则， ． 为等边三角形，故正确； ，则， 又，，平面BCD，平面BCD， 平面BCD， 为AB与面BCD所成的角，为，故不正确； 以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系， 则0，，，，0，． ，． ，， ，，即AB与CD所成的角为，故正确． 故选C． ‎ ‎11.函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是     ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 解：由题意可知，，定义域为， ， 令，解得， 函数有两个不同的零点， ，且当，，单调递增；当，，‎ 单调递减， 即在上取得极大值， ，解得，． 故实数m的取值范围是． 故选B． ‎ ‎12.在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为 A. 3 B. C. D. 2‎ ‎【答案】A 解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系， 则，，，， 动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上， 设圆的半径为r， ，， ， ， 圆的方程为， 设点P的坐标为， ， ‎ ‎， ，， ，其中， ， ， 故的最大值为3， 故选A． ‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）．‎ ‎13.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则________．‎ ‎【答案】‎ 解：由题意，使用移动支付的人数X服从二项分布， 则，解得或， 又，即， 化简得，解得， 所以． 故答案为． ‎ ‎14.函数是常数，， 的部分图象如图所示，则的值是______． ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 解：根据函数是常数，，的部分图象， 得，， ． 再根据五点法作图可得， ，则取， 故 ， 故答案为．‎ ‎15. 若数列满足，，则______ ．‎ ‎【答案】‎ 解：因为， 所以当时，， 两式相减得：， 即， 所以， 由可知， 所以． 故答案为．‎ ‎16. “解方程”有如下思路；设，则在R上单调递减，且，故原方程有唯一解，类比上述解题思路，不等式的解集是______．‎ ‎【答案】‎ 解：不等式变形为， ； 令，， 则； 考察函数，知在R上为增函数， ， ； 不等式可化为 ，解得或； 不等式的解集为：． 故答案为． ‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，‎ 已知，，． 求b的值； 求的值．‎ ‎【答案】解：.在中，由正弦定理，可得， 又，可得，又，所以． 由余弦定理可知：，， 即， 可得． .由，可得， 所以， ， 所以 ．‎ ‎18.某公司人数众多为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，按照男员工和女员工的比例分层抽样，得到200名员工的月使用流量单位：的数据，其频率分布直方图如图所示． ‎ ‎.求a的值，并估计这200名员工月使用流量的平均值同一组中的数据用中点值代表；‎ ‎.若将月使用流量在‎800M以上含的员工称为“手机营销达人”，填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“成为手机营销达人与员工的性别有关”；‎ 男员工 女员工 合计 手机营销达人 ‎5‎ 非手机营销达人 合计 ‎200‎ 参考公式及数据：，其中．‎ k ‎.若这200名员工中有2名男员工每月使用流量在，从每月使用流量在的员工中随机抽取3名进行问卷调查，记女员工的人数为求X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】解：.由已知： ， 由已知得列联表如下：‎ 男员工 女员工 合计 手机营销达人 ‎5‎ ‎35‎ ‎40‎ 非手机营销达人 ‎45‎ ‎115‎ ‎160‎ 合计 ‎50‎ ‎150‎ ‎200‎ 由表中数据可得： 的观测值 所以有超过的把握认为“手机营销达人与员工的性别有关” ‎ 由频率分布直方图可得在的员工共有： 人， X的取值为1，2，3， ， ， ， 所以分布列如下：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以 ．‎ ‎19. 如图所示，四棱锥中，底面ABCD，，，，，，，E为CD的中点．求证： 平面PBC； 求二面角的余弦值． ‎ ‎【答案】证明：，，， ，， 又，，， ． 是CD的中点，， ，， ‎ 是等边三角形，， ， ，又平面PBC，平面PBC， 平面PBC． 由可知，以A为原点，以AB，AE，AP为坐标轴建立空间直角坐标系如图： 则0，，0，，1，，3，，2，， 0，，1，，3，，2，． 设平面PBC的法向量为，平面PCD的法向量为， 则，， ，， 令得0，，令得1，． ． 二面角的余弦值为．‎ ‎20．已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．‎ ‎.求椭圆C的标准方程；‎ ‎.不过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点，若三直线OM、l、ON的斜率，k，成等比数列，求直线l的斜率及的值．‎ ‎【答案】‎ 解：.依题意得，又， 椭圆C的方程为． .设直线l的方程为， 由得， ， 由题设知 ， ，， ， ， 此时， 则， 故直线l的斜率为 ‎21.已知函数，且．‎ ‎.求a；‎ ‎.证明：存在唯一的极大值点，且．‎ ‎【答案】解：因为， 则等价于，求导可知． 则当时，即在上单调递减， 所以当时，，矛盾，故． 因为当时，当时 ‎， 所以， 又因为， 所以，解得； 另解：因为，所以等价于在时的最小值为， 所以等价于在处是极小值， 所以解得； 证明：由可知，， 令，可得，记，则， 令，解得：， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，从而有解，即存在两根，， 且不妨设在上为正、在上为负、在上为正， 所以必存在唯一极大值点，且， 所以， 由可知； 由可知， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； 综上所述，存在唯一的极大值点，且．‎ ‎22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． 写出曲线C的极坐标方程； ‎ 设M的极坐标为，过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，若，求AB的弦长．‎ ‎【答案】解：曲线C的参数方程为为参数， 曲线C的直角坐标方程为， 曲线C的极坐标方程为， 即曲线C的极坐标方程为； 由点M的极坐标为，直角坐标为， 设直线l的参数方程是为参数， 曲线C的直角坐标方程是，， 联立，得， ，且， ， 则，或，， 的弦长．‎ ‎23.设函数证明：； 若实数x，y，z满足，求证：．‎ ‎【答案】证明：由，‎ 有， 又，当且仅当时取等号． 所以； 实数x，y，z满足， 由柯西不等式得：‎ ‎， 当且仅当即，时取“”号， 整理得：， ．‎