【数学】2018届一轮复习人教A版专题六应用题学案 15页

江苏新高考 ‎“在考查基础知识的同时，侧重考查能力”是高考的重要意向，而应用能力的考查又是近二十年 的能力考查重点.江苏卷一直在坚持以建模为主.所以如何由实际问题转化为数学问题的建模过程的探索应是复习的关键.‎ 应用题的载体很多，前几年主要考函数建模，以三角、导数、不等式知识解决问题.2013年应用考题(3)是解不等式模型，2014年应用考题(2)可以理解为一次函数模型，也可以理解为条件不等式模型，这样在建模上增添新意，还是有趣的，2015、2016年应用考题(2)都先构造函数，再利用导数求解.2016、2017年应用考题是立体几何模型，2017年应用考题需利用空间中的垂直关系和解三角形的知识求解.‎ ‎ 常考题型突破]‎ 函数模型的构建及求解 ‎ 例1]　(2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．‎ ‎(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？‎ ‎(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？‎ ‎ 解]　(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.‎ 因为A1B1＝AB＝6，‎ 所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积 V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；‎ 正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积 V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．‎ 所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．‎ ‎(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m，‎ 则0＜h＜6，O1O＝4h.连结O1B1.‎ 因为在Rt△PO1B1中，‎ O1B＋PO＝PB，‎ 所以2＋h2＝36，‎ 即a2＝2(36－h2)．‎ 于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0＜h＜6，‎ 从而V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．‎ 令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍去)．‎ 当0＜h＜2时，V′＞0，V是单调增函数；‎ 当2＜h＜6时，V′＜0，V是单调减函数．‎ 故当h＝2时，V取得极大值，也是最大值．‎ 因此，当PO1＝2 m时，仓库的容积最大．‎ ‎ 方法归纳]‎ 解函数应用题的四步骤 ‎ 变式训练]‎ ‎1．(2017·苏锡常镇二模)某 研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w＝4－，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)．‎ ‎(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？‎ 解：(1)L(x)＝16－x－2x＝64－－3x(0≤x≤5)．‎ ‎(2)法一：L(x)＝64－－3x＝67－≤67－2＝43.‎ 当且仅当＝3(x＋1)时，即x＝3时取等号．‎ 故L(x)max＝43.‎ 答：当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是4 300元. ‎ 法二：L′(x)＝－3，由L′(x)＝0，得x＝3. ‎ 故当x∈(0,3)时，L′(x)>0，L(x)在(0,3)上单调递增；‎ 当x∈(3,5)时，L′(x)<0，L(x)在(3,5)上单调递减．‎ 所以当x＝3时，L(x)取得极大值，也是最大值，‎ 故L(x)max＝L(3)＝43.‎ 答：当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是4 300元．‎ ‎2．(2017·南通三模)如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C－D－E－F，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形．设DE＝t百米，记修建每1百米参观线路的费用为f(t)万元，经测算f(t)＝ ‎(1)用t表示线段EF的长；‎ ‎(2)求修建该参观线路的最低费用．‎ 解：(1)法一：设DE与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知OQ⊥l，DQ＝QE，以OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.‎ 由题意得，点E的坐标为， ‎ 设直线EF的方程为y－1＝k(k<0)，‎ 即kx－y＋1－tk＝0.‎ 因为直线EF与半圆相切，‎ 所以圆心O到直线EF的距离为＝1，‎ 解得k＝.‎ 代入y－1＝k可得，点F的坐标为. ‎ 所以EF＝＝＋，‎ 即EF＝＋(00，‎ 所以当t∈时，y′<0；当t∈(1,2)时，y′>0，‎ 所以y在上单调递减；在(1,2)上单调递增．‎ 所以当t＝1时，y取最小值为24.5.‎ 由①②知，y取最小值为24.5.‎ 答：修建该参观线路的最低费用为24.5万元. ‎ 基本不等式的实际应用 ‎ 例2]　(2017·南京考前模拟)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥‎ ‎0)．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件销售价定为：“平均每件生产成本的150 ”与“年平均每件所占广告费的25 ”之和. ‎ ‎(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；‎ ‎(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？‎ ‎ 解]　(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q＋4.5)万元， ‎ 每件销售价为×150 ＋×25 .‎ ‎∴年销售收入为·‎ Q＝＋x.‎ ‎∴年利润W＝＋x－－x＝－x＝16Q＋－x＝16·＋－x(x≥0)．‎ ‎(2)令x＋1＝t(t≥1)，则W＝16·＋－(t－1)＝64－＋3－t＝67－3.‎ ‎∵t≥1，∴＋≥2＝4，即W≤55，‎ 当且仅当＝，即t＝8时，W有最大值55，此时x＝7.‎ 即当年广告费为7万元时，企业年利润最大，最大值为55万元．‎ ‎ 方法归纳]‎ 利用基本不等式求解实际应用题的注意点 ‎(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．‎ ‎(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围对应函数的单调性求解．‎ ‎ 变式训练]‎ ‎(2017·苏州期末)某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥(如图1)将河两岸的路连接起 ，剖面设计图纸(图2)如下，‎ 其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y＝(x∈ －2，2])，曲线段AB，‎ DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处(B，D)的切线的斜率相等．‎ ‎(1)求曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；‎ ‎(2)车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：M＝(该点P与桥顶间的水平距离)×(设计图纸上该点P处的切线的斜率)其中MP的单位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？‎ 解：(1)由题意A为抛物线的顶点，设A(a,0)(a＜－2)，则可设方程为y＝λ(x－a)2(a≤x≤－2，λ＞0)，y′＝2λ(x－a)．‎ ‎∵曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y＝(x∈ －2,2])，‎ ‎∴y′＝，且B(－2,1)，‎ 则曲线在B处的切线斜率为，‎ ‎∴∴a＝－6，λ＝，‎ ‎∴曲线段AB在图纸上对应函数的解析式为y＝(x＋6)2(－6≤x≤－2)．‎ ‎(2)设P为曲线段AC上任意一点．‎ ‎①P在曲线段AB上时，则通过该点所需要的爬坡能力(MP)1＝(－x)·(x＋6) ＝－ (x＋3)2－9]，‎ 在 －6，－3]上为增函数， －3，－2]上是减函数，所以爬坡能力最大为米；‎ ‎②P在曲线段BC上时，则通过该点所需要的爬坡能力(MP)2＝(－x)·＝(x∈ －2,0])，‎ 设t＝x2，t∈ 0,4]，(MP)2＝y＝.‎ 当t＝0时，y＝0；‎ 当0＜t≤4时，y＝≤1(t＝4取等号)，此时最大为1米．‎ 由上可得，最大爬坡能力为米．‎ ‎∵0.8＜＜1.5＜2，‎ ‎∴游客踏乘不能顺利通过该桥，蓄电池动力和内燃机动力能顺利通过该桥.‎ 三角函数的实际应用 ‎ 例3]　(2017·江苏高考)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)‎ ‎(1)将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；‎ ‎(2)将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．‎ ‎ 解]　(1)由正棱柱的定义知，CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC.‎ 如图，记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处．‎ 因为AC＝10，AM＝40，‎ 所以MC＝＝30，从而sin∠MAC＝.‎ 记AM与水面的交点为P1，过P1作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1＝12，‎ 从而AP1＝＝16.‎ 答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.‎ ‎(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24 cm)‎ ‎(2)如图，O，O1是正棱台的两底面中心．‎ 由正棱台的定义知，‎ OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.‎ 同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.‎ 记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处．‎ 过G作GK⊥E1G1，K为垂足，‎ 则GK＝OO1＝32.‎ 因为EG＝14，E1G1＝62，‎ 所以KG1＝＝24，‎ 从而GG1＝＝＝40.‎ 设∠EGG1＝α，∠ENG＝β，‎ 则sin α＝sin＝cos∠KGG1＝.‎ 因为<α<π，所以cos α＝－.‎ 在△ENG中，由正弦定理可得＝，‎ 解得sin β＝.‎ 因为0<β<，所以cos β＝.‎ 于是sin∠NEG＝sin(π－α－β)＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.‎ 记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，‎ 故P2Q2＝12，从而EP2＝＝20.‎ 答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.‎ ‎(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20 cm)‎ ‎ 方法归纳]‎ 解三角形应用题是数学知识在生活中的应用，要想解决好，就要把实际问题抽象概括，建立相应的数学模型，然后求解.‎ 解三角形应用题常见的两种情况：‎ (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.‎ (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解. ‎ ‎ 变式训练]‎ 如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ.‎ ‎(1)将AN，AM用含θ的关系式表示出 ；‎ ‎(2)如何设计(即AN，AM为多长)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?‎ 解：(1)由已知得∠MAN＝60°，∠AMN＝θ，MN＝2，‎ 在△AMN中，‎ 由正弦定理得＝＝，‎ 所以AN＝sin θ，AM＝sin(120°－θ)＝sin(θ＋60°)．‎ ‎(2)在△AMP中，由余弦定理可得AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP ‎＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)‎ ‎＝ 1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4‎ ‎＝－ sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋ ‎＝－sin(2θ＋150°)，0＜θ＜120°，‎ 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2.‎ ‎ 课时达标训练]‎ ‎1．(2017·苏锡常镇一模)某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)，设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.‎ ‎(1)请将l表示成关于α的函数l＝f(α)；‎ ‎(2)当α为何值时l最小？并求l的最小值．‎ 解：(1)过D作DH⊥BC于点H(图略)，‎ 则∠DCB＝α，DH＝h, 设AD＝x，‎ 则DC＝，CH＝，BC＝x＋，‎ 因为S＝·h，则x＝－.‎ 所以l＝f(α)＝2DC＋AD＝＋h.‎ 答：l表示成关于α的函数为l＝f(α)＝＋h.‎ ‎(2)f′(α)＝h·＝h·，‎ 令f′(α)＝h·＝0，得α＝.‎ 列表如下：‎ α f′(α)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(α)‎  极小值  所以lmin＝f＝h＋.‎ 答：当α＝时，l有最小值为h＋.‎ ‎2.如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC＝1，AB＝OB＋OC，且OA＞OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在△AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k.设OA＝x，OB＝y.‎ ‎(1)求y关于x的函数解析式，并写出OA的取值范围；‎ ‎(2)求N－M的最大值及相应的x的值．‎ 解：(1)因为OA＝x，OB＝y，AB＝y＋1，‎ 由余弦定理得，x2＋y2－2xycos 120°＝(y＋1)2，‎ 解得y＝.‎ 由x＞0，y＞0得，1＜x＜2，又x＞y，得x＞，‎ 得1＜x＜，‎ 所以OA的取值范围是.‎ ‎(2)设M＝kOB＝ky，N＝4k·S△AOC＝3kx，‎ 则N－M＝k(3x－y)＝k.‎ 设2－x＝t∈，‎ 则N－M＝k ‎＝k≤k ‎＝(10－4)k.‎ 当且仅当4t＝，即t＝∈时取等号，‎ 此时x＝2－，‎ 所以当x＝2－时，N－M的最大值是(10－4)k.‎ ‎3．(2017·南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b.‎ ‎(1)当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；‎ ‎(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．‎ 解：(1)因为矩形纸板ABCD的面积为3 600，故当a＝90时，b＝40，从而包装盒子的侧面积S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)＝－8x2＋260x，x∈(0,20)．‎ 因为S＝－8x2＋260x＝－8(x－16.25)2＋2 112.5，‎ 故当x＝16.25时，纸盒侧面积最大，最大值为2 112.5平方厘米．‎ ‎(2)包装盒子的体积V＝(a－2x)(b－2x)x＝x ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈，b≤60. ‎ V＝x ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4x＋4x2)‎ ‎＝x(3 600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3 600x，‎ 当且仅当a＝b＝60时等号成立．‎ 设f(x)＝4x3－240x2＋3 600x，x∈(0,30)．‎ 则f′(x)＝12(x－10)(x－30)．‎ 于是当0＜x＜10时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0,10)上单调递增；‎ 当10＜x＜30时，f′(x)＜0，所以f(x)在(10,30)上单调递减．‎ 因此当x＝10时，f(x)有最大值f(10)＝16 000，此时a＝b＝60，x＝10.‎ 答：当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16 000立方厘米．‎ ‎4.(2017·南通、泰州一调)如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪．‎ ‎(1)当∠EFP＝时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；‎ ‎(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．‎ 解：(1)当∠EFP＝时，由条件得∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝，所以∠FPE＝，即FN⊥BC，‎ 所以四边形MNPE为矩形，且四边形MNPE的面积S＝PN·MN＝2(m2). ‎ ‎(2)法一：设∠EFD＝θ，由条件，知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ.‎ 所以PF＝＝，‎ NP＝NF－PF＝3－，ME＝3－.‎ 由得 所以四边形MNPE面积为S＝(NP＋ME)MN ‎＝×2＝6－－ ‎＝6－－＝6－≤6－2＝6－2.‎ 当且仅当tan θ＝，即tan θ＝，θ＝时取“＝”．‎ 此时，( )成立．‎ 答：当∠EFD＝时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2. ‎ 法二：设BE＝t m,3