2019-2020学年安徽省定远县育才学校高二（实验班）上学期第三次月考数学（理）试题 11页

育才学校2019—2020学年第一学期第三次月考 高二实验班理科数学 ‎ （本卷满分：150分，时间：120分钟） ‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) ‎ ‎1.“”是“直线与圆相切”的（ ）．‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎2.过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎3.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形， ，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.设直线的斜率为，且，求直线的倾斜角的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.光线沿直线射入，遇直线后反射，且反射光线所在的直线经过抛物线的顶点，则（ ）‎ A. 3 B. C. 4 D. ‎ ‎6.如图，在长方体中，，则与平面 所成角的正弦值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知点、在半径为的球表面上运动，且，过作相互垂直的平面、，若平面、截球所得的截面分别为圆、圆，则（ ）‎ A. 长度的最小值是2 B. 的长度是定值 C. 圆面积的最小值是 D. 圆、的面积和是定值 ‎8.在四棱锥中， 平面，底面为矩形， ．若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知， 表示两条不同的直线， ， ， 表示三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①， ， ，则；‎ ‎②， ， ，则；‎ ‎③， ， ，则；‎ ‎④， ， ，则 其中正确命题的序号为（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④‎ ‎10.已知圆，直线，点在直线上．若存在圆 上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎11.设表示平面， 表示直线，则下列命题中，错误的是( )‎ A. 如果，那么内一定存在直线平行于 B. 如果， ， ，那么 C. 如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于 D. 如果，那么内所有直线都垂直于 ‎12.如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，且，，点是上一点，当二面角为时，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.若圆被直线截得的弦长为，则__________．‎ ‎14.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是__________．‎ ‎15.已知直线，直线，点关于的对称点为，点关于直线的对称点为，则过点的圆的方程为_________‎ ‎16.如图，正方体中，给出以下四个结论：‎ ‎①平面；②与平面相交；③平面；④平面平面，其中正确结论的序号是_______.‎ 三、解答题(共6小题,共70分)‎ ‎17. （10分）设直线 的方程为 ， . （1）若 在两坐标轴上的截距相等，求 的方程； （2）若 与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求 的值.‎ ‎18. （12分）已知过点且斜率为的直线与圆交于两点.‎ ‎(1)求的取值范围；‎ ‎(2) ,其中为坐标原点，求.‎ ‎19. （12分）已知：三棱柱中，底面是正三角形，侧棱面， 是棱的中点，点在棱上，且．‎ ‎（）求证： 平面．‎ ‎（）求证： ．‎ ‎20. （12分）已知圆过两点， ，且圆心在直线上．‎ ‎（Ⅰ）求圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线过点且与圆有两个不同的交点， ，若直线的斜率大于0，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21. （12分）如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若是的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎22. （12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1． （1）设点E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB； （2）线段PD上是否存在一点N，使得直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为 ？若存在，试确定点N的位置，若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A C D A D B A C B D D ‎13. ‎ ‎14.‎ ‎15.‎ ‎16.①④‎ ‎17.（1）解：由题意知， ，即 当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时 ，直线 的方程为 ； 当直线 不过原点时，即 时，由截距相等，得 ，即 ， 直线 的方程为 ， 综上所述，所求直线 的方程为 或 . （2）解：由题意知， ， ， 且 在 轴， 轴上的截距分别为 ， ， 由题意知， ，即 当 时，解得 当 时，解得 ， 综上所述， 或 . ‎ ‎18.(1) ；(2) .‎ 解： (1)由题设，可知直线的方程为.‎ 因为直线与圆交于两点，所以.‎ 解得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎(2)设.‎ 将代入圆的方程，整理得 ‎.‎ 所以.‎ 由题设可得，解得，所以的方程为.‎ 故圆的圆心（2,3）在上，所以.‎ ‎19.解：（）证明：连接，‎ 设与交点为，连接，‎ ‎∵在中，‎ ‎， 分别为， 中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（）∵平面，‎ 平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵在正中，‎ 是棱中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵点，‎ ‎， 平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ 点，‎ ‎、平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎20.（Ⅰ）（x﹣1）2+y2=25；（Ⅱ） ；（Ⅲ）x+2y﹣1=0.‎ 解（I）MN的垂直平分线方程为：x﹣2y﹣1=0与2x﹣y﹣2=0联立解得圆心坐标为C（1，0）‎ R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25‎ ‎∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=25‎ ‎（II）设直线的方程为：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，‎ 则d=‎ 由题意：d＜5 即：8k2﹣15k＞0‎ ‎∴k＜0或k＞‎ 又因为k＞0‎ ‎∴k的取值范围是（，+∞）‎ ‎（III）设符合条件的直线存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0‎ ‎∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k﹣2=0 即k=2‎ ‎∵k=2＞‎ 故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y﹣1=0.‎ ‎21. ‎ 解：（1）证明：平面， ‎ 在中，‎ 依余弦定理有：， ‎ 又，，即 ‎ 又，平面 ‎ ‎（2）解：取的中点，连结, 是的中点，∴∥ ‎ 平面，平面 ‎ 即为三棱锥的高， 且 ‎ 由（1）知：，∴，‎ 又，∥，‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ 三棱锥的体积为 ‎ ‎22.（1）证明：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA． ‎ ‎∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，‎ ‎∴EM∥平面PAB．‎ 在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．‎ 而∠BAC=60°，∴MC∥AB．‎ ‎∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB．‎ ‎∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．‎ ‎∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB．‎ ‎（2）解：过A作AF⊥AD，交BC于F，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B（ ，﹣ ，0），C（ ，1，0），D（0，4，0），P（0，0，2）， ‎ 设平面PAC的法向量为 =（x，y，z），则 ，取 =（ ，﹣3，0），‎ 设 =λ （0≤λ≤1），则 =（0，4λ，﹣2λ）， =（﹣λ﹣1，2﹣2λ），‎ ‎∴|cos＜ ， ＞|= = ，∴ ，‎ ‎∴N为PD的中点，使得直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为 ．‎