2017-2018学年江西省上饶县中学高二下学期第一次月考数学试题（理实） Word版 8页

考试时间：2018年3月31—4月1日 上饶县中学2017-2018学年高二年级下学期第一次月考 数 学 试 卷(理实)‎ 命题人：陈秀英 审题人：皮振鹏 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知复数z=a+i（a∈R），若z+=4，则复数z的共轭复数=‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i ‎2．命题“若xy=0，则x=0”的逆否命题是 A．若xy=0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0‎ C．若xy≠0，则y≠0 D．若x≠0，则xy≠0‎ ‎3．已知命题p：2x＜2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4．由直线y=0，x=e，y=2x及曲线所围成的封闭的图形的面积为 A．3+2ln2 B．3 C．2e2﹣3 D．e ‎5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是 A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了 ‎6．设，则等于 A．﹣2excosx B．﹣2exsinx ‎ C．2exsinx D．﹣2ex（sinx+cosx）‎ ‎7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n≥2）”时，由n=k的假设证明n=k+1时，不等式左边需增加的项数为 A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1‎ ‎8．已知函数的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是，则的值等于 A．1 B． C．3 D．0‎ ‎9．已知函数在R上是减函数，则的取值范围是 A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，﹣3] C．（﹣3，0） D．[﹣3，0）‎ ‎10．函数，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是 A．20 B．18 C．3 D．0‎ ‎11．定义在R上的函数，是其导函数，且满足f（x）+f′（x）＞2，f（1）=2+，则不等式exf（x）＞4+2ex的解集为 A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）‎ ‎12．已知函数的两个极值点分别在（﹣1，0）与（0，1）内，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二、填空题（共4小题，每空5分，满分20分）‎ ‎13．命题“∀x∈R，都有x2+1≥2x”的否定是　 　．‎ ‎14．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其面积为S，则△ABC的内切圆的半径．这是一道平面几何题，请用类比推理方法，猜测对空间四面体ABCD存在什么类似结论？　 　．‎ ‎15．已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是　 　．‎ ‎16．设曲线与x轴、y轴、直线围成的封闭图形的面积为b，若 在[1，+∞）上单调递减，则实数k的取值范围是　 　．‎ 三、解答题（共6小题，17题10分，其余每小题12分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）‎ ‎17．已知a为实数，命题p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部；命题 q：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0．若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．‎ ‎18．已知命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎19．已知复数z满足，z2的虚部为2．‎ ‎（1）求复数z；‎ ‎（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．‎ ‎20．在数列{an}中，已知a1=2，‎ ‎（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值，并猜想出{an}的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎21．已知函数（e为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意，不等式恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数有两个零点x1，x2，求的取值范围，并证明．‎ 上饶县中学2019届高二年级上学期第一次月考 数 学 答 案(理实)‎ 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B B C D C C B A B A 二、填空题 ‎13.∃x∈R，有x2+1＜2x 14.‎ ‎15. 16.[0，+∞）‎ 三、解答题 ‎17.【解答】解：由题意得，当p真时，（1+a）2+（1﹣a）2＜4，解得﹣1＜a＜1，‎ 当q真时，则△≤0，解得﹣2≤a≤2．‎ 若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，‎ 则p，q一真一假，从而 当p真q假时，有 无解；‎ 当p假q真时，有，解得﹣2≤a≤﹣1或1≤a≤2．‎ ‎∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]∪[1，2]． …（10分）‎ ‎18.【解答】解：命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0，解得：3a＜x ＜a．‎ 命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0，解得：﹣2≤x≤3．‎ ‎∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件．‎ ‎∴，a＜0，解得≤a＜0．‎ ‎∴实数a的取值范围是．‎ ‎19.【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），‎ 由已知可得：，即，‎ 解得或．‎ ‎∴z=1+i或z=﹣1﹣i；‎ ‎（2）当z=1+i时，z2=2i，z﹣z2=1﹣i，‎ ‎∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），‎ 故△ABC的面积S=×2×1=1；‎ 当z=﹣1﹣i时，z2=2i，z﹣z2=﹣1﹣3i，‎ ‎∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），‎ 故△ABC的面积S=×2×1=1．‎ ‎∴△ABC的面积为1．‎ ‎　20.【解答】解：（Ⅰ）a2===，‎ a3==，‎ a4==，‎ 于是猜想出an=，‎ ‎（Ⅱ）①当n=1时，显然成立；‎ ‎②假设当n=k时，猜想成立，即ak=，‎ 则当n=k+1时，ak+1====，‎ 即当n=k+1时猜想也成立．‎ 综合①②可知对于一切n∈N*，an=．‎ ‎21.【解答】解：（Ⅰ）当t=﹣e时，f（x）=ex﹣ex，f'（x）=ex﹣e．‎ 由f'（x）=ex﹣e＞0，解得x＞1；f'（x）=ex﹣e＜0，解得x＜1．‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；单调递减区间是（﹣∞，1）． ‎ ‎（Ⅱ）依题意：对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，‎ 即ex+tx＞0恒成立，即在x∈（0，2]上恒成立．‎ 令，∴．‎ 当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜2时，g'（x）＜0．‎ ‎∴函数g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减．‎ 所以函数g（x）在x=1处取得极大值g（1）=﹣e，即为在x∈（0，2]上的 最大值．‎ ‎∴实数t的取值范围是（﹣e，+∞）． ‎ 所以对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立的实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．‎ ‎22.【解答】解：（1）由，‎ 得，‎ 当a≥0时，ax+1＞0，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若x＞1，f'（x）＜0，‎ 故当a≥0时，f（x）在x=1处取得的极大值；函数f（x）无极 小值．‎ ‎（2）当a≥0时，由（1）知f（x）在x=1处取得极大值，‎ 且当x趋向于0时，f（x）趋向于负无穷大，‎ 又f（2）=ln2﹣2＜0，f（x）有两个零点，则，解得a＞2．‎ 当﹣1＜a＜0时，若0＜x＜1，f'（x）＞0；若；若 ，‎ 则f（x）在x=1处取得极大值，在处取得极小值，由于， 则f（x）仅有一个零点．‎ 当a=﹣1时，，则f（x）仅有一个零点．‎ 当a＜﹣1时，若；若；‎ 若x＞1，f'（x）＞0，则f（x）在x=1处取得极小值，‎ 在处取得极大值，由于，则f（x）仅有一个 零点．‎ 综上，f（x）有两个零点时，a的取值范围是（2，+∞）．‎ 两零点分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．‎ 欲证x1+x2＞2，需证明x2＞2﹣x1，‎ 又由（1）知f（x）在（1，+∞）单调递减，故只需证明f（2﹣x1）＞f（x2） =0即可．‎ ‎，‎ 又，‎ 所以f（2﹣x1）=ln（2﹣x1）﹣ln（x1）+2x1﹣2，‎ 令h（x）=ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），‎ 则，‎ 则h（x）在（0，1）上单调递减，‎ 所以h（x）＞h（1）=0，即f（2﹣x1）＞0，‎ 所以x1+x2＞2．‎