【数学】2019届一轮复习人教A版理第3章第6节　简单的三角恒等变换教案 7页

第六节　简单的三角恒等变换 ‎(对应学生用书第60页)‎ 三角函数式的化简 ‎　(1)化简：＝________.‎ ‎(2)化简：.‎ ‎(1)2cos α　[原式＝＝2cos α.]‎ ‎(2)[解]　原式＝ ‎＝＝ ‎＝cos 2x.‎ ‎[规律方法]　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式.‎ 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”.‎ 三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.‎ ‎2.三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，化异次为同次.‎ ‎[跟踪训练]　化简：‎ (0＜θ＜π)．‎ ‎[解]　原式 ‎＝ ‎＝cos · ‎＝.‎ ‎∵0＜θ＜π，∴0＜＜，∴cos＞0，‎ ‎∴原式＝－cos θ.‎ 三角式的求值 ‎◎角度1　给值求值 ‎　(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________.‎ 　[cos＝cos αcos ＋sin αsin ‎＝(cos α＋sin α)．‎ 又由α∈，tan α＝2，知sin α＝，cos α＝，‎ ‎∴cos＝×＝.]‎ ‎◎角度2　给角求值 ‎　(2017·安徽二模)sin 40°(tan 10°－)＝(　　) ‎ ‎【导学号：97190126】‎ A．－　　　 B．－1‎ C． D．－ B　[sin 40°(tan 10°－)‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝－＝－＝－1.故选B．]‎ ‎◎角度3　给值求角 ‎　设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则a＋β的值为(　　)‎ A． B． C． D．或 C　[因为α，β为钝角，sin α＝，cos β＝，‎ 所以cos α＝，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝＞0.‎ 又α＋β∈(π，2π)，‎ ‎∴α＋β∈，∴α＋β＝.]‎ ‎[规律方法]　三角函数求值的类型与求解方法 (1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.‎ (2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解.‎ (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝(　　)‎ A． B． C．－ D．－ ‎(2)(2017·湖北新联考四模)＝(　　)‎ A． B． C． D．1‎ ‎(3)已知tan α，tan β是方程x＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝(　　)‎ A． B．或－ C．－或 D．－ ‎(1)D　(2)A　(3)D　[(1)因为cos＝，‎ 所以sin 2α＝cos＝cos 2 ‎＝2cos－1＝2×－1＝－.‎ ‎(2)＝ ‎＝＝＝.故选A．‎ ‎(3)由题意得tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan(α＋β)＝＝，且tan α＜0，tan β＜0，又由α，β∈得α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.]‎ 三角恒等变换的简单应用 ‎　已知函数f(x)＝sinx－sin，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. ‎ ‎【导学号：97190127】‎ ‎[解]　(1)由已知，有 f(x)＝－ ‎＝－cos 2x ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为f(x)在区间上是减函数，‎ 在区间上是增函数，‎ 且f＝－，f＝－，f＝，‎ 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.‎ ‎[规律方法]　三角恒等变换应用问题的求解方法 ‎(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．‎ ‎(2)把形如y＝asin x＋bcos x的函数化为y＝·sin(x＋φ)的形式，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2016·山东高考)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是(　　)‎ A． B．π C． D．2π ‎(2)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．‎ ‎(1)B　(2)1　[(1)法一：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)‎ ‎＝4 ‎＝4sincos ＝2sin，‎ ‎∴T＝＝π.‎ 法二：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)‎ ‎＝3sin xcos x＋cosx－sinx－sin xcos x ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝2sin，‎ ‎∴T＝＝π.‎ 故选B．‎ ‎(2)f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ‎＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x ‎＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)．‎ ‎∴f(x)max＝1.]‎