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  • 2021-06-11 发布

高中数学 2_3_1课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第2章 ‎‎2.3.1‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为(  )‎ A.          B. C. D.(,0)‎ 解析: 将双曲线方程化为标准形式x2-=1,‎ 所以a2=1,b2=,‎ ‎∴c==,‎ ‎∴右焦点坐标为.故选C.‎ 答案: C ‎2.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是(  )‎ A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 解析: 方程可变为-=1,又m·n<0,‎ ‎∴又可变为-=1.‎ ‎∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.‎ 答案: D ‎3.设P为双曲线x2-=1上的一点,F1、F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,则△PF‎1F2的面积为(  )‎ A.6 B.12‎ C.12 D.24‎ 解析: 由已知得‎2a=2,又由双曲线的定义得,‎ ‎|PF1|-|PF2|=2,‎ 又|PF1|∶|PF2|=3∶2,‎ ‎∴|PF1|=6,|PF2|=4.‎ 又|F‎1F2|=‎2c=2.‎ 由余弦定理得cos ∠F1PF2==0.‎ ‎∴三角形为直角三角形.‎ ‎∴S△PF‎1F2=×6×4=12.‎ 答案: B ‎4.已知双曲线方程为-=1,点A、B在双曲线右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一个焦点,则△ABF1的周长为(  )‎ A.‎2a+‎2m B.‎4a+‎‎2m C.a+m D.‎2a+‎‎4m 解析: 设△ABF1的周长为C,则C=|AF1|+|BF1|+|AB|‎ ‎=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB|‎ ‎=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB|‎ ‎=‎2a+‎2a+‎2m=‎4a+‎2m.‎ 答案: B 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5. 在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1上一点M的横坐标是3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为________.‎ 解析: ∵-=1,‎ ‎∴当x=3时,y=±.‎ 又∵F2(4,0),‎ ‎∴|AF2|=1,|MA|=,‎ ‎∴|MF2|==4.故填4.‎ 答案: 4‎ ‎6.双曲线-=1上一点P到点(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为________.‎ 解析: 双曲线的焦点为(5,0)和(-5,0)‎ 由||PF1|-|PF2||=8.‎ ‎∴||PF1|-15|=8,‎ ‎∴|PF1|=23或|PF1|=7.‎ 答案: 7或23‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.求满足下列条件的双曲线的标准方程.‎ ‎(1)经过点A(4,3),且a=4;‎ ‎(2)经过点A、B(3,-2).‎ 解析: (1)若所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0),‎ 则将a=4代入,得-=1,‎ 又点A(4,3)在双曲线上,‎ ‎∴-=1.‎ 解得b2=9,则-=1,‎ 若所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0).‎ 同上,解得b2<0,不合题意,‎ ‎∴双曲线的方程为-=1.‎ ‎(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),‎ ‎∵点A、B(3,-2)在双曲线上,‎ ‎∴解之得 ‎∴所求双曲线的方程为-=1.‎ ‎8.已知方程kx2+y2=4,其中k∈R,试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型.‎ 解析: (1)当k=0时,方程变为y=±2,表示两条与x轴平行的直线;‎ ‎(2)当k=1时,方程变为x2+y2=4表示圆心在原点,半径为2的圆;‎ ‎(3)当k<0时,方程变为-=1,表示焦点在y轴上的双曲线;‎ ‎(4)当01时,方程变为+=1,表示焦点在y轴上的椭圆.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9.(10分)双曲线-=1(a>0,b>0)满足如下条件:‎ ‎(1)ab=;‎ ‎(2)过右焦点F的直线l的斜率为,交y轴于点P,线段PF交双曲线于点Q,且|PQ|∶|QF|=2∶1,求双曲线的方程.‎ 解析: 设右焦点F(c,0),点Q(x,y),‎ 设直线l:y=(x-c),‎ 令x=0,得p,‎ 则有 P=2Q,‎ 所以=2(c-x,-y)‎ ‎∴x=2(c-x)且y+c=-2y,‎ 解得:x=c,y=-c.‎ ‎ 即Q,且在双曲线上,‎ ‎∴b22-a22=a2b2,‎ 又∵a2+b2=c2,‎ ‎∴-=1,‎ 解得=3,又由ab=,可得 ‎∴所求双曲线方程为x2-=1.‎

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