高中数学 2_3_1课时同步练习 新人教A版选修2-1 5页

第2章 ‎‎2.3.1‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D．(，0)‎ 解析：　将双曲线方程化为标准形式x2－＝1，‎ 所以a2＝1，b2＝，‎ ‎∴c＝＝，‎ ‎∴右焦点坐标为.故选C.‎ 答案：　C ‎2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是(　　)‎ A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 解析：　方程可变为－＝1，又m·n<0，‎ ‎∴又可变为－＝1.‎ ‎∴方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线．‎ 答案：　D ‎3．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF‎1F2的面积为(　　)‎ A．6 B．12‎ C．12 D．24‎ 解析：　由已知得‎2a＝2，又由双曲线的定义得，‎ ‎|PF1|－|PF2|＝2，‎ 又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，‎ ‎∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.‎ 又|F‎1F2|＝‎2c＝2.‎ 由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝0.‎ ‎∴三角形为直角三角形．‎ ‎∴S△PF‎1F2＝×6×4＝12.‎ 答案：　B ‎4．已知双曲线方程为－＝1，点A、B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为(　　)‎ A．‎2a＋‎2m B．‎4a＋‎‎2m C．a＋m D．‎2a＋‎‎4m 解析：　设△ABF1的周长为C，则C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|‎ ‎＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋|AF2|＋|BF2|＋|AB|‎ ‎＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|‎ ‎＝‎2a＋‎2a＋‎2m＝‎4a＋‎2m.‎ 答案：　B 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．‎ 解析：　∵－＝1，‎ ‎∴当x＝3时，y＝±.‎ 又∵F2(4,0)，‎ ‎∴|AF2|＝1，|MA|＝，‎ ‎∴|MF2|＝＝4.故填4.‎ 答案：　4‎ ‎6．双曲线－＝1上一点P到点(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为________．‎ 解析：　双曲线的焦点为(5,0)和(－5,0)‎ 由||PF1|－|PF2||＝8.‎ ‎∴||PF1|－15|＝8，‎ ‎∴|PF1|＝23或|PF1|＝7.‎ 答案：　7或23‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7．求满足下列条件的双曲线的标准方程．‎ ‎(1)经过点A(4，3)，且a＝4；‎ ‎(2)经过点A、B(3，－2)．‎ 解析：　(1)若所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，‎ 则将a＝4代入，得－＝1，‎ 又点A(4，3)在双曲线上，‎ ‎∴－＝1.‎ 解得b2＝9，则－＝1，‎ 若所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．‎ 同上，解得b2<0，不合题意，‎ ‎∴双曲线的方程为－＝1.‎ ‎(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，‎ ‎∵点A、B(3，－2)在双曲线上，‎ ‎∴解之得 ‎∴所求双曲线的方程为－＝1.‎ ‎8．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．‎ 解析：　(1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；‎ ‎(2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；‎ ‎(3)当k<0时，方程变为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；‎ ‎(4)当01时，方程变为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)双曲线－＝1(a>0，b>0)满足如下条件：‎ ‎(1)ab＝；‎ ‎(2)过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|∶|QF|＝2∶1，求双曲线的方程．‎ 解析：　设右焦点F(c,0)，点Q(x，y)，‎ 设直线l：y＝(x－c)，‎ 令x＝0，得p，‎ 则有 P＝2Q，‎ 所以＝2(c－x，－y)‎ ‎∴x＝2(c－x)且y＋c＝－2y，‎ 解得：x＝c，y＝－c.‎ ‎ 即Q，且在双曲线上，‎ ‎∴b22－a22＝a2b2，‎ 又∵a2＋b2＝c2，‎ ‎∴－＝1，‎ 解得＝3，又由ab＝，可得 ‎∴所求双曲线方程为x2－＝1.‎