高中同步数学教案第17、18章 概率论初步和基本统计方法 16页

第17、18章 概率论初步和基本统计方法 一、等可能性事件概率（古典概型）‎ ‎1、古典概型具有两个基本特点：‎ （1） 一次试验所有的基本事件是有限个；‎ （2） 每个基本事件出现的可能性相等。‎ ‎2、古典概型中，随机事件A的概率记为。‎ ‎。‎ ‎3、频率的稳定性含义 频率：随机事件，如果在次试验中出现了次（），那么称事件出现的频数，称事件出现的频率。‎ 频率可作为概率的估计值，越大，估计值越精确。‎ ‎【例1】连续3次掷一枚均匀的硬币。求3次中出现2次正面向上的概率。‎ 解：用A表示3次中出现2次正面向上的事件，则 ‎【例2】投两颗骰子得两个数，记第一颗骰子正面向上的数为，第二颗骰子正面向上的数为。记，求取何值时，出现的概率最大或最小。‎ 解：， ，‎ ‎ ； ，‎ ‎ ， ，‎ ‎ ； ；‎ ‎ ， ，‎ ‎ ‎ 因此，出现的概率最大，或12出现的概率最小。‎ ‎【例3】在100件产品中，有95件正品，5件次品，从中随机取出4件产品。‎ （1） 求恰含2件次品的概率（用算式作答）；‎ （2） 求至少含有1件次品的概率（用算式作答）。‎ 解：在这100件产品中随机取出4件产品，所有基本事件有个。‎ （1） 如果把事件“随机取4件产品中恰含有2件次品”记为A，那么。‎ （2） 如果把事件“随机取4件产品中至少含有1件次品”记为B，则至少含有1件次品的概率 ‎。‎ ‎【例4】储蓄单上的密码一般由六位数字组成，如果任意确定一个密码，求：‎ （1） 密码前两位数都是6的概率；‎ （2） 密码前两位数都不超过6的概率。‎ 解：（1）0.01‎ ‎（2）0.49‎ ‎【例5】有A，B两个口袋，A袋装有4个白球和2个黑球，B袋装有3个白球和4个黑球，从A,B两袋各取两个球交换之后，求A袋中仍然装有4个白球的概率。‎ 解：‎ 二、基本统计方法 ‎1．总体和个体 在统计问题中，我们把研究对象的全体叫做总体，总体中的每一个对象叫做个体。‎ ‎2．总体分布频数直方图和总体分布频率直方图 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况如下：‎ ‎4.3~4.4有1人，4.4~4.5有3人，4.5~4.6有9人，4.6~4.7有27人，4.7~4.8有22人，4.8~4.9有17人，4.9~5.0有12人，5.0~5.1有7人，5.1~5.2有2人。试画出视力分布频数直方图和视力分布频率直方图。‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎4.3‎ ‎4.4‎ ‎4.5‎ ‎4.6‎ ‎4.7‎ ‎4.8‎ ‎4.9‎ ‎5.0‎ ‎5.1‎ ‎5.2‎ 视力 K]‎ XK]‎ ‎3．总体均值 设总体有N个个体，个体的数值分别为，则总体平均值 ‎4．总体中位数 把个体的数值按从小到大顺序排列，当N是奇数时，位于正中间的那个数就叫做中位数，当N是偶数时，中间有两个数，此时，把中间这两个数的算术平均值叫总体中位数。中位数把总体分成个数相等的两部分，其中一部分值，另一部分的值。‎ ‎5．总体众数 一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个。‎ ‎6．总体方差和总体标准差 总体方差 总体标准差 和反映个体偏离平均数的程度，表示总体的离散程度。‎ ‎7．样本、样本容量、抽样 样本：从总体中抽出一部分个体组成的集合叫样本。‎ 样本容量：样本中所含个体的个数叫样本容量。‎ 抽样：从总体中抽取样本的过程叫抽样。‎ ‎8．科学的抽样方法：随机抽样、系统抽样、分层抽样。‎ 随机抽样：在抽样的过程中能使总体的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，这种抽样方法叫随机抽样。（如抽签方法，用随机数表抽样，用计算机抽样）‎ 系统抽样：把总体中个体进行编号，按相等间隔抽取样本的方法叫系统抽样。‎ 分层抽样：把总体分成若干部分，然后在每个部分进行随机抽样的方法叫分层抽样。分层抽样每一层中抽取的比例相等。‎ 点评：‎ 随机抽样、系统抽样、分层抽样都是等可能性抽样。‎ ‎【例1】为了解某校高一学生的牙齿健康状况，现从该校高一全体320名学生中抽取32名学生作牙齿检查。‎ （1） 说明用随机抽样方法抽取32名学生的过程；‎ （2） 说明用系统抽样方法抽取32名学生的过程。‎ 解：将该校高一全体320名学生统一编号1~320号。‎ 随机抽样方法（抽签法、随机数表法）：‎ 用抽签方法抽取32名学生。制作320个编号为1到320的签（大小相同，仅是号码不同），充分混合后，从中抽取32个签。每个签上的数字号码对应的个体组成样本，就是抽签法抽取的32名学生的样本。‎ 用随机数表法抽取32名学生。在随机数表中，指定从某个数开始（随便从第几个随机数开始都行），寻找最后三位数小于320的32个不同的随机数，这32个数的最后三位数就是选入样本的学生编号。‎ 系统抽样方法：‎ 因学生数是320，样本容量32，故间隔数，即在10个学生中抽取一名学生。现从1~10号学生中随机抽一个学生，比如抽到的是6号，那么编号是6，16，26，36，46，56，66，76，86，……，316的学生就是我们需要的样本。‎ ‎【例2】某高级中学高一有学生1600名，高二有1200名学生，高三有800名学生。为了解学生视力健康状况，需作抽样调查，若按高三年级抽取16名学生的分层抽样方法抽取样本，则求出高一、高二年级各需抽取学生人数。‎ 解：设在高一、高二、高三年级用分层抽样方法抽取名学生，则，由，得，因此，在高一、高二年级应各随机抽取32名学生和24名学生。‎ 此次抽取的样本容量是 ‎9、参数估计：如果样本为，样本容量为，则 样本平均数 样本方差 样本标准差 总体方差的点估计值 总体标准差的点估计值 叫均值的区间估计，叫均值的区间估计。‎ 三、概率论初步（理科拓展）‎ ‎1、事件和的概率 设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B至少有一个出现”叫做事件A与事件B的和，记做。 ‎ 特别地，不可能同时出现的两个事件叫做“互斥事件或互不相容事件”，如果A、B为互斥事件，那么 例1、把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分别写在10个形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，求卡片上出现偶数或出现大于6的数的概率。‎ ‎ ‎ ‎ 解： 。‎ 例2、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取一张，求下列事件的概率：‎ ‎（1）出现红色牌或黑色牌；‎ ‎（2）出现红色牌或有人头的牌。‎ 解：（1）； （2）。‎ ‎2、事件积的概率 设A、B为两个随机事件，把“事件A与事件B同时出现”叫做事件A与事件B的积，记做或。‎ 如果事件A出现和事件B出现，相互之间没有影响，那么称事件A和事件B互相独立。此时 例1、（1）将一颗骰子接连抛掷4次至少出现一次6点的概率。‎ ‎（2）将两颗骰子接连抛掷24次至少出现一次双6点的概率。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）‎ 例2：一名工人维护甲、乙、丙3台独立的机床，在一小时内，甲、乙和丙需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，求一小时内下列事件的概率。‎ ‎（1）没有一台机床需要维护；‎ ‎（2）至少有一台机床不需要维护。‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ 例3：已知甲射手射中目标的频率为0.8，乙射手射中目标的频率为0.7，那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为多少？‎ 解：‎ ‎3、独立重复事件的概率 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为 例1：甲、乙两人投蓝，命中率分别为0.7和0.6，每人投蓝3次，求下列事件的概率。‎ ‎ (1)两人都投进两球；‎ ‎ (2)两人投进的球数相等。‎ ‎4、随机变量的概率分布律和数学期望、方差。‎ 一般地，如果随机变量的所有取值是，且对应的概率分别为，则下表叫做随机变量的概率分布律。‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎（其中）‎ 随机变量的数学期望 随机变量的方差为。‎ 例1．一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球，3个红球，2个黄球，将它们充分混合后，摸得一个白球计2分，摸得一个红球记3分，摸得一个黄球计4分，若用随机变量表示随机摸一个球的得分，求的概率分布律及数学期望。‎ 解：因为的取值是，‎ ‎ 当时，；‎ ‎ 时，；‎ ‎ 时，。‎ 所以随机变量的概率分布律如下：‎ 所以（分）。‎ 例2：设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。‎ ‎（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；‎ ‎（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；‎ ‎（Ⅲ）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布率及期望。‎ ‎【解】：记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，‎ ‎ 记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，‎ 记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，‎ 记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）‎ 故的分布率为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0．008‎ ‎0．096‎ ‎0．384‎ ‎0．512‎ ‎ 所以 例3．某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；‎ ‎（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布律及数学期望．‎ 解：（Ⅰ）设该射手第次击中目标的事件为，‎ 则，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3．‎ 的分布率为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.008‎ ‎0.032‎ ‎0.16‎ ‎0.8‎ ‎.‎