数学卷·2018届江西省上饶市德兴一中高二上学期期中数学试卷（理科）（3-12班）（解析版） 21页

‎2016-2017学年江西省上饶市德兴一中高二（上）期中数学试卷（理科）（3-12班）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　）‎ A．＞ B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）‎ C．sinx＞siny D．x3＞y3‎ ‎2．不等式＞1的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣4，+∞）‎ ‎3．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（　　）‎ A．，s2+1002 B． +100，s2+1002‎ C．，s2 D． +100，s2‎ ‎6．已知一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）其样本点的中心为（2，3），若其回归直线的斜率的估计值为﹣1.2，则该回归直线的方程为（　　）‎ A．y=﹣1.2x+2 B．y=1.2x+3 C．y=﹣1.2x+5.4 D．y=1.2x+0.6‎ ‎7．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（　　）‎ A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？‎ ‎8．已知（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a11（x﹣1）11，则a1+a2+…+a11的值为（　　）‎ A．0 B．2 C．255 D．﹣2‎ ‎9．已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点．在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|＜的概率为（　　）‎ A． B． + C． D． +‎ ‎10．若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎12．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到3所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院，丙、丁两名医生也不安排在同一医院，则不同的分配方法总数为（　　）‎ A．36 B．72 C．84 D．108‎ ‎　‎ 二、填空题：（本题包括4小题，共20分）‎ ‎13．某单位有840名职工，现采用系统抽样抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[61，120]的人数为　　．‎ ‎14．（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=　　．‎ ‎15．当变量x，y满足约束条件的最大值为8，则实数m的值是　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本题包括6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）‎ ‎17．已知x＞0，y＞0，2xy=x+4y+a ‎（1）当a=6时，求xy的最小值；‎ ‎（2）当a=0时，求的最小值．‎ ‎18．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．‎ ‎（Ⅰ）求A1被选中的概率；‎ ‎（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．‎ ‎19．设m，n∈N，f（x）=（1+x）m+（1+x）n．‎ ‎（1）当m=n=5时，若，求a0+a2+a4的值；‎ ‎（2）f（x）展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x2系数的最小值．‎ ‎20．某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．‎ ‎（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ ‎21．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．‎ ‎（1）应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．‎ ‎（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：K2=．‎ ‎22．如图所示，机器人海宝按照以下程序运行：‎ ‎①从A出发到达点B或C或D，到达点B、C、D之一就停止 ‎②每次只向右或向下按路线运行 ‎③在每个路口向下的概率 ‎④到达P时只向下，到达Q点只向右 ‎（1）求海宝过点从A经过M到点B的概率，求海宝过点从A经过N到点C的概率；‎ ‎（2）记海宝到点B、C、D的事件分别记为X=1，X=2，X=3，求随机变量X的分布列及期望．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省上饶市德兴一中高二（上）期中数学试卷（理科）（3-12班）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　）‎ A．＞ B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）‎ C．sinx＞siny D．x3＞y3‎ ‎【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．‎ ‎【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，‎ A．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但==，故＞不成立．‎ B．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立．‎ C．当x=π，y=0时，满足x＞y，此时sinx=sinπ=0，siny=sin0=0，有sinx＞siny，但sinx＞siny不成立．‎ D．∵函数y=x3为增函数，故当x＞y时，x3＞y3，恒成立，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．不等式＞1的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣4，+∞）‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】利用移项，通分，转化不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：由不等式＞1可得﹣1＞0，即等价于（2x+2）（x+4）＜0，‎ 解得：﹣4＜x＜﹣1‎ 不等式＞1的解集是（﹣4，﹣1）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】将（1，1）代入直线得： +=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．‎ ‎【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），‎ ‎∴+=1（a＞0，b＞0），‎ 所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，‎ 当且仅当=即a=b=2时取等号，‎ ‎∴a+b最小值是4，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．‎ ‎【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，‎ 周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，‎ ‎∴所求概率为=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（　　）‎ A．，s2+1002 B． +100，s2+1002‎ C．，s2 D． +100，s2‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由题意知yi=xi+100，‎ 则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100，‎ 方差s2= [（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．已知一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）其样本点的中心为（2，3），若其回归直线的斜率的估计值为﹣1.2，则该回归直线的方程为（　　）‎ A．y=﹣1.2x+2 B．y=1.2x+3 C．y=﹣1.2x+5.4 D．y=1.2x+0.6‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】可设回归直线为y=﹣1.2x+b，由于回归直线过样本点的中心为（2，3），代入数据可得关于b的方程，解之可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可设回归直线为y=﹣1.2x+b，‎ 由于回归直线过样本点的中心为（2，3），‎ 故有3=﹣1.2×2+b，解得b=5.4‎ 故该回归直线的方程为y=﹣1.2x+5.4‎ 故选C ‎　‎ ‎7．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（　　）‎ A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．‎ ‎【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：‎ K S 是否继续循环 循环前 1 1/‎ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否 故退出循环的条件应为k＞4‎ 故答案选A．‎ ‎　‎ ‎8．已知（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a11（x﹣1）11，则a1+a2+…+a11的值为（　　）‎ A．0 B．2 C．255 D．﹣2‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】用赋值法，在所给的等式中，分别令x=1和2，即可求出对应的值．‎ ‎【解答】解：在（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a11（x﹣1）11中，‎ 令x=1，得（1+1）×（1﹣2）9=a0，即a0=﹣2；‎ 令x=2，得a0+a1+a2+…+a11=0，‎ ‎∴a1+a2+a3…+a11=2‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点．在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|＜的概率为（　　）‎ A． B． + C． D． +‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据几何概型的概率计算公式，分别求出正方形的面积和满足|PH|＜的正方形内部的点P的集合”的面积即可求出所求．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，正方形的面积S正方形ABCD=2×2=4．‎ 设“满足|PH|＜的正方形内部的点P的集合”为事件M，‎ 则S（M）=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH=2××1×1+×××=1+，‎ ‎∴P（M）==+．‎ 故满足|PH|＜的概率为+．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．‎ ‎【解答】解：作出平面区域如图所示：‎ ‎∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等．‎ 联立方程组，解得A（2，1），‎ 联立方程组，解得B（1，2）．‎ 两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．‎ ‎∴平行线间的距离为d==，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a＜，x∈[1，4]，求出f（x）=﹣x在x∈[1，4]的最大值即可．‎ ‎【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，‎ 等价于a＜，x∈[1，4]；‎ 设f（x）=﹣x，x∈[1，4]，‎ 则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，‎ 且当x=1时，函数f（x）取得最大值f（1）=1；‎ 所以实数a的取值范围是（﹣∞，1）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到3所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院，丙、丁两名医生也不安排在同一医院，则不同的分配方法总数为（　　）‎ A．36 B．72 C．84 D．108‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】五名医生到3所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，名医生可以分为（2，2，1）和（3，1，1）两种分法，根据分类计数原理可得 ‎【解答】解：①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有： =90种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有+4=30种；故不同的分配方法是90﹣30=60种 ‎②有二所医院分1人另一所医院分3人．有=24种．‎ 根据分类计数原理得，故不同的分配方法总数60+24=84．‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题：（本题包括4小题，共20分）‎ ‎13．某单位有840名职工，现采用系统抽样抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[61，120]的人数为　3　．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】根据系统抽样的特点，求出组距是20，再计算样本数据落入区间[61，120]的人数．‎ ‎【解答】解：根据系统抽样的特点，得；‎ 组距应为840÷42=20，‎ ‎∴抽取的42人中，编号落入区间[61，120]的人数为 ‎÷20=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎14．（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=　3　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．‎ ‎【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，‎ 令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①‎ 令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②‎ ‎①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），‎ 所以2×32=16（a+1），‎ 所以a=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎15．当变量x，y满足约束条件的最大值为8，则实数m的值是　﹣4　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可求得m值．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（m，m），‎ 化目标函数z=x﹣3y为y=，‎ 由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值．‎ 此时z=m﹣3m=﹣2m=8，即m=﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　（﹣，0）　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．‎ ‎【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，‎ 对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，‎ 即，解得﹣＜m＜0，‎ 故答案为：（﹣，0）．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本题包括6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）‎ ‎17．已知x＞0，y＞0，2xy=x+4y+a ‎（1）当a=6时，求xy的最小值；‎ ‎（2）当a=0时，求的最小值．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】（1）利用基本不等式的性质转化为二次函数即可得出、‎ ‎（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出 ‎【解答】解：（1）当a=6时，，当且仅当x=4y=6时，等号成立．‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴xy≥9，‎ ‎∴xy的最小值为9．‎ ‎（2）当a=0时，可得2xy=x+4y，‎ 两边都除以2xy，得，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即x=3，时取等号．‎ ‎∴的最值为．‎ ‎　‎ ‎18．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．‎ ‎（Ⅰ）求A1被选中的概率；‎ ‎（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．‎ ‎【考点】等可能事件的概率；互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先用列举法，求出从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，所有一切可能的结果对应的基本事件总个数，再列出A1恰被选中这一事件对应的基本事件个数，然后代入古典概型公式，即可求解．‎ ‎（Ⅱ）我们可利用对立事件的减法公式进行求解，即求出“B1，C1不全被选中”的对立事件“B1，C1全被选中”的概率，然后代入对立事件概率减法公式，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，‎ 其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}‎ 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，‎ 因此这些基本事件的发生是等可能的．‎ 用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}‎ 事件M由6个基本事件组成，因而．‎ ‎（Ⅱ）用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，‎ 则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，‎ 由于={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，事件有3个基本事件组成，‎ 所以，由对立事件的概率公式得．‎ ‎　‎ ‎19．设m，n∈N，f（x）=（1+x）m+（1+x）n．‎ ‎（1）当m=n=5时，若，求a0+a2+a4的值；‎ ‎（2）f（x）展开式中x的系数是9，当m，n变化时，求x2系数的最小值．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】（1）当m=n=5时，f（x）=2（1+x）5‎ ‎，令x=0时，x=2时，代入相加即可得出．‎ ‎（2）由题意可得： =m+n=9．x2系数===+．利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）当m=n=5时，f（x）=2（1+x）5，令x=0时，f（0）=a5+a4+…+a1+a0=2，‎ 令x=2时，f（0）=﹣a5+a4+…﹣a1+a0=2×35，‎ 相加可得：a0+a2+a4==244．‎ ‎（2）由题意可得： =m+n=9．‎ x2系数=====+．‎ 又m，n∈N，∴m=4或5，其最小值为16．‎ 即或时，x2系数的最小值为16．‎ ‎　‎ ‎20．某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．‎ ‎（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，由题意得，求得P1和 P2 的值，再根据P=P1•P2，求得结果．‎ ‎（Ⅱ）依题意知ξ～B（4，），可得分布列和Eξ的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，‎ 由题意，得，解得P1=，P2=，或 P1=，P2=．‎ ‎∴P=P1•P2=，即，一个零件经过检测为合格品的概率为．‎ ‎（Ⅱ）依题意知ξ～B（4，），‎ 分布列为，其中k=0，1，2，3，4，Eξ=4×=2．‎ ‎　‎ ‎21．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．‎ ‎（1）应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．‎ ‎（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：K2=．‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可．‎ ‎（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率．‎ ‎（3）利用独立性检验进行求解即可 ‎【解答】解：（1）300×=90，所以应收集90位女生的样本数据．‎ ‎（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，‎ 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．‎ ‎（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间 不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 每周平均体育运动时间 超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 结合列联表可算得K2==≈4.762＞3.841‎ 所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ ‎　‎ ‎22．如图所示，机器人海宝按照以下程序运行：‎ ‎①从A出发到达点B或C或D，到达点B、C、D之一就停止 ‎②每次只向右或向下按路线运行 ‎③在每个路口向下的概率 ‎④到达P时只向下，到达Q点只向右 ‎（1）求海宝过点从A经过M到点B的概率，求海宝过点从A经过N到点C的概率；‎ ‎（2）记海宝到点B、C、D的事件分别记为X=1，X=2，X=3，求随机变量X的分布列及期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】（1）由题意，向下概率为，则向右概率为1﹣=．从A过M到B，先有两次向下，再有一次向下与一次向右组合，可求其概率，同理可求海宝过点从A经过N到点C的概率；‎ ‎（2）求出X=1，X=2，X=3相应的概率，从而可求随机变量X的分布列及期望．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，向下概率为，则向右概率为1﹣=．‎ 从A过M到B，先有两次向下，再有一次向下与一次向右组合，其概率为；‎ 从A过N到C，概率为 ‎（2）P（X=1）=（）3+（）2×==；P（X=2）=（）2（）2=；P（X=3）=（）3+（）2×==，‎ ‎∴E（X）=+×2+×3==‎ ‎　‎ ‎2017年1月15日