2021版高考数学一轮复习核心素养测评六十五古典概型苏教版 7页

- 1 - 核心素养测评六十五 古典概型 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取 3 个不同的数,则取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的概 率是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.从 1,2,3,4,5 这 5 个数中任取 3 个不同的数的基本事件有 (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5), (2,4,5),(3,4,5),共 10 个,取出的 3 个数可作为三角形的三边边长的基本事件有 (2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共 3 个,故所求概率 P= . 2.已知 a∈{-2,0,1,2,3},b∈{3,5},则函数 f(x)=(a2-2)ex+b 为减函数的概率 是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.函数 f(x)=(a2-2)ex+b 为减函数,则 a2-2<0,又a∈{-2,0,1,2,3},故只有 a=0,a=1满足题意,又b∈{3,5},所以函数f(x)=(a2-2)ex+b 为减函数的概率 P= = . 3.在集合 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 α= ,从这些向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,从所作平行四边形中随机抽取 一个,则它的面积不超过 2 的概率为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 D.由已知可得向量 , , , ,这 4 个向量组成的平行 四边形的面积为 4,2,2,10,6,8,所以这个平行四边形的面积不超过 2 的概率为 = . - 2 - 4.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于 齐王的下等马,劣于齐王的中等马, 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机 选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率 为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.将齐王的三匹马分别记为 a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为 b1,b2,b3,齐王与田忌 赛马,其情况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3)共 9 种,其中田忌的马获胜的有(a2,b1),(a3,b1),(a3,b2)共 3 种,所以田忌获胜的概率为 = . 5.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 D.由古典概型的概率公式,得 P= = = . 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.记 a,b 分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程 x2-ax+2b=0 有两个不同实根的概率为 ________. 【解析】由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为 a,b,则基本事件有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有 36 个.而方程 x2-ax+2b=0 有两个不同实根的条件是 a2-8b>0,满足此条件的基本事件 有:(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共有 9 个,故所求概率为 = . 答案: - 3 - 7.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为 A.若 A 是不超过 5 的奇数,从这些两位数中任取 一个,其个位数为 1 的概率为________. 【解析】根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过 5 的两位数 有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共 9 个,其中个位是 1 的有 21,41,共 2 个,因此所求的概率 为 . 答案: 8.在某项大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个 岗位至少有一名志愿者. 则甲、乙两人同时在 A 岗位服务的概率是________; 甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率是________. 【解析】记“甲、乙两人同时在 A 岗位服务”为事件 EA, 那么 P(EA)= = , 即甲、乙两人同时在 A 岗位服务的概率是 . 记“甲、乙两人同时在同一个岗位服务”为事件 E, 那么 P(E)= = , 所以甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率是 P( )=1-P(E)= . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.一个盒子里装有标号为 1,2,3,4,5 的 5 张标签,随机地选取两张标签,根据下列条件求两张 标签上的数字为相邻整数的概率: (1)标签的选取是无放回地. - 4 - (2)标签的选取是有放回地. 【解析】(1)从 5 张标签中无放回地选取两张标签, 其结果共有:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},10 种不同 结果, 其中数字为相邻整数的有{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},4 种结果, 故其概率为 P= = . (2)标签的选取是有放回的,其结果共有 5×5=25 种, 其数字为相邻整数的有{1,2},{2,1},{2,3},{3,2},{3,4},{4,3},{4,5},{5,4},8 种结果, 故其概率为:P= . 10.某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生,B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训 的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队. (1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛,求参赛女生人数不少于 2 人的概率. 【解析】(1)由题意,参加集训的男生、女生各有 6 名. 参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为 = , 因此,A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1- = . (2)设“参赛的 4 人中女生不少于 2 人”为事件 A,“参赛女生有 2 人”为事件 B,“参赛女生 有 3 人”为事件 C. 则 P(B)= = ,P(C)= = . 由互斥事件的概率加法公式,得 P(A)=P(B)+P(C)= + = , - 5 - 故参赛女生人数不少于 2 人的概率为 . (15 分钟 35 分) 1.(5 分)如图所示方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是 1,2,3,4 中的任何一个,允 许重复.则填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字的概率为( ) A B A. B. C. D. 【解析】选 D.只考虑 A,B 两个方格的排法.不考虑大小,A,B 两个方格有 4×4=16(种)排法.要 使填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则从 1,2,3,4 中选 2 个数字,大的放入 A 格,小的放入 B 格,有(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1),共 6 种,故填入 A 方格的数字大于 B 方格的数 字的概率为 = . 2.(5 分)有两张卡片,一张的正反面分别写着数字 0 与 1,另一张的正反面分别写着数字 2 与 3, 将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数有 12,13,20,21,30,31,共 6 个,两位数为奇数的有 13,21,31,共 3 个,故所组成的两位数为奇数的概率为 = . 3.(5 分)在一项来自“一带一路”沿线 20 国青年参与的评选中,“高铁”“支付宝”“共享单 车”和“网购”被称作中国“新四大发明”,曾以古代“四大发明”推动世界进步的中国,正 再次以科技创新向世界展示自己的发展理念.某班假期分为四个社会实践活动小组,分别对 “新四大发明”对人们生活的影响进行调查,于开学进行交流报告,四个小组随机排序,则“支 付宝”小组和“网购”小组不相邻的概率为 ( ) A. B. C. D. - 6 - 【解析】选 D.记“支付宝”小组和“网购”小组相邻的事件为 A,则 P( )=1-P(A)=1- = . 4.(10 分)设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,令平面向量 a=(m,n),b=(1,-3). (1)求事件“a⊥b”发生的概率. (2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率. 【解析】(1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},故(m,n)所有可能的取法共 36 种.因为 a⊥b,所以 m-3n=0,即 m=3n,有(3,1),(6,2),共 2 种, 所以事件 a⊥b 发生的概率为 = . (2)由|a|≤|b|,得 m2+n2≤10, 有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共 6 种,其概率为 = . 5.(10 分)某校社团活动开展得有声有色,极大地推动了学生的全面发展,深受学生欢迎,每届 高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班 60 名同学中有 4 名男同学和 2 名女同学参加心理 社,现从这 6 名同学中随机选取 2 名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相 同). (1)在该班随机选取 1 名同学,求该同学参加心理社团的概率. (2)求从这 6 名同学中选出的 2 名同学代表至少有 1 名女同学的概率. 【解析】(1)依题意,该班 60 名同学中共有 6 名同学参加心理社, 所以在该班随机选取 1 名同学,该同学参加心理社的概率为 = . (2)设 A,B,C,D 表示参加心理社的男同学,a,b 表示参加心理社的女同学, 则从 6 名同学中选出的 2 名同学代表共有 15 种等可能的结果: AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab, 其中至少有 1 名女同学的结果有 9 种:Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,ab, 根据古典概型计算公式,从 6 名同学中选出的 2 名同学代表至少有 1 名女同学的概率为 P= = . - 7 -