数学文卷·2017届四川省成都市龙泉第二中学高三4月月考（2017 7页

成都龙泉第二中学高 2014 级高三下期 4 月月考试题 数 学（文史类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上， 在本试卷、草稿纸上答题无效。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题，满分 60 分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题 卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水 签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答 题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 则 等于 A． B． C． D． 2．已知 i 是虚数单位，复数（2+i）2 的共轭复数为 A．3﹣4i B．3+4i C．5﹣4i D．5+4i 3．设 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则 m∥n 的一个充分不必要条件 是 A． m⊥α，n⊥β，α∥β B．m∥α，n∥β，α∥β C． m∥α，n⊥β，α⊥β D．m⊥α，n⊥β，α⊥β 4. 设 a∈R，数列 是递增数列，则 a 的取值范围是 A．a≤0 B．a 4 0 5 0 0 1 x y mx y m x − + ≥  − + − ≤  ≤ ≤ ( )0, 0z ax by a b= + > > 3 1 2 a b + 11 2 10 3 + 11 2 10 3 + 11 2 10 3 − 11 2 10 3 − )3sin(2)( ϕ+= xxf 12 π y ||ϕ 12 π 4 π 3 π 12 5π ( )f x R ( 2) ( )f x f x+ = − (0,1]x∈ ( ) 2 1xf x = − 7( ) log | 2 |f x x= − 13.在数列 种， ， ，记 为 的前 项和，则 ． 14.函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 __________. 15．某单位有 500 位职工，其中 35 岁以下的有 125 人，35～49 岁的有 280 人，50 岁以上的 有 95 人，为了了解职工的健康状态，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 100 的样本，需 抽取 35 岁以下职工人数为　 　． 16.已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程 为 ． 三、解答题（本题包括 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（本题满分为 12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 acosB=bcosA． （Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）求 的取值范围． 18.（本小题满分 12 分） 某车间将 10 名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格 零件数的统计数据的茎叶图如图所示.已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都 为 10. (Ⅰ)分别求出 , 的值； (Ⅱ)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的 方差 和 ,并由此分析两组技工的加工水平； (Ⅲ)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工,对其加工的零件进行检测,若 两人加工的合格零件个数之和大于 ,则称该车间“质量合格”,求该车间“质量合格”的 概率. (注:方差 ，其中 为数据 的平均数). 19.（本小题满分 12 分） 如图,在三棱柱 中,侧面 底面 , ， ， ， 为 中点. (1)证明: 平面 ； ⑵ 若 是线段 上一点，且满足 ，求 的长度. 20.（本小题满分 12 分） 已知各项均为正数的数列 的前 n 项和为 ，且满足 . { }na 1 1a = ( ) ( )1 1 1n n na a+ = - + nS { }na n 2017S = ( )f x x ( ) ( )2f x f x+ = − ( )1 5,f = − ( )( )5f f = )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x 3 m n 2s甲 2s乙 17 2 2 2 2 1 2 1= [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn − + − + −+ x 1 2, , , nx x x 1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C ⊥ ABC 1 1 2AA AC AC= = = AB BC= AB BC⊥ O AC 1AO ⊥ ABC E 1A B 1 1 1 1 1 12E BCC ABC A B CV V− −= 1A E { }na nS ( ) ( )24 1n nS a n N ∗= + ∈ 8 7 0 9 2 0 1 0 1 2 n m 甲 组 乙 组 O C B A C1 B1 A1 （I）求 的通项公式； （II）设 （其中 ）， ，求数列 的前 n 项和 . 21．已知函数 f（x）=ex﹣x+ 为自然对数的底数）g（x）= +ax+b（a∈R，b∈ R）． （Ⅰ）求 f（x）的极值； （Ⅱ）若 f（x）≥g（x），求 b（a+1）的最大值． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请 写清题号. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程为 ，过点 的直线 交曲线 于 两点. （1）将曲线 的极坐标方程的化为普通方程； （2）求 的取值范围. 23.（本题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲 已知: 函数 ， （1）求 的定义域； （2）解关于 x 的不等式 ． { }na ( ) , 2 1, , 2 .2 na n k f n nf n k = − =    =    ,n k N ∗∈ ( )2 4n nb f= + { }nb ( )3nT n ≥ C 2 2 1 sin ρ θ= + ( )1,0P l C ,A B C PA PB 成都龙泉第二中学高 2014 级高三下期 4 月月考试题 数学（文史类）参考答案 1—5 BAADB 6—10 ADBAD 11—12 BB 13. -1007 14. -1/5 15. 25 16. 17．解：（Ⅰ）由 acosB=bcosA， 根据正弦定理，得 sinAcosB=sinBcosA，即 sin（A﹣B）=0， 在△ABC 中，有﹣π＜A﹣B＜π， 所以 A﹣B=0，即 A=B， 所以△ABC 是等腰三角形．… （Ⅱ）由（Ⅰ），A=B，则 = = = ． 因为 A=B，所以 ，则 ， 所以 ， 于是 的取值范围是 ．…12 分 18.解：(1)m=3,n=8 —————— (4 分) (2)甲方差 ，乙方差 2，乙水平高—————(8 分) （3） ————(12 分) 19.解：(1) ，且 为 中点， ，又 侧面 底面 ，交线为 ， ， 平面 . ———————————(5 分) (2) ，因此 ，即 ，又在 中 ， ， ， 可 得 ， 则 的 长 度 为 .———(12 分) 1AO AC∴ ⊥  1 1AO A AC⊂ 面 ∴ xy 2±= 26 5 4 5  1 1 2AA AC AC= = = O AC 1 1AAC C ⊥ ABC AC 1AO ⊥ ABC 1 1 1 1 1 1 1 1 12 4E BCC ABC A B C A BCCV V V− − −= = 1 1 4BE BA= 1 1 3 4A E A B= 1Rt AOB∆ 1AO OB⊥ 1 3AO = 1BO = 1 2A B = 1A E 3 2 21．解：（Ⅰ）函数 f（x）=ex﹣x+ ， 则 f′（x）=ex+x﹣1， ∵f′（x）=ex+x﹣1 在 R 上递增，且 f′（0）=0， ∴当 x＜0 时，f′（x）＜0， ∴当 x＞0 时，f′（x）＞0， 故 x=0 为极值点：f（0）= （Ⅱ）g（x）= +ax+b， f（x）≥g（x），即 ex﹣x+ ≥ +ax+b，等价于 h（x）=ex﹣x（a+1）﹣b≥0， 得：h′（x）=ex﹣（a+1） ①当（a+1）＜0 时，h′（x）在 R 上单调性递增，x∈﹣∞时，h（x）→﹣∝与 h（x）≥0 相矛盾． ②当（a+1）＞0 时，h′（x）＞0，此时 x＞ln（a+1）， h′（x）＜0，此时 x＜ln（a+1）， 当 x=ln（a+1）时，h（x）取得最小值为 h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b 即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b 那么：b（a+1）≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1） 令 F（x）=（a+1）x2﹣x2lnx，（x＞0） 则 F′（x）=x（1﹣2lnx） ∴F′（x）＞0，可得 ， F′（x）＜0，可得 ． 当 x= 时，F（x）取得最大值为 ． 即当 a= ，b= 时，b（a+1）取得最大值为 ． 故得 b（a+1）的最大值为 ． 22. 解：(1)由 得 ，得曲线 的普通方程为 . (2)由题意知，直线 的参数方程为 为参数），将 代入 得 ，设 对应的参数分别为 ，则 ， 的取值范围为 . 2 2 1 sin ρ θ= + ( )2 21 sin 2ρ θ+ = C 2 2 12 x y+ = l 1 cos (sin x t ty t α α = +  = 1 cos sin x t y t α α = +  = 2 2 12 x y+ = ( )2 2 2cos 2sin 2 cos 1 0t tα α α+ + − = ,A B 1 2,t t 1 2 2 2 2 1 1 1 ,1cos 2sin 1 sin 2PA PB t t α α α  = = = ∈ + +   PA PB∴  1 ,12     