重庆市育才中学2020届高三下学期入学考试数学（理）试题 9页

重庆市育才中学高2020届2019-2020学年下学期入学考试 ‎ 数学试题（理） 2020.4‎ 注意事项：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎2．答卷前，请考生将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上。‎ ‎3．作答时，请将答案写在答题卡指定的区域，超出答题区域或写在试题卷、草稿纸上无效。‎ ‎4. 做选考题时，按要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎2. 已知数列为等差数列，为其前项和，，则 A． B． C． D．‎ ‎3. 设，满足约束条件则的最小值是 A．－15 B．－‎9 ‎C．1 D．9‎ ‎4. 若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 函数的图象可能是 A． B． C． D．‎ ‎6. 已知函数的最小正周期为，且对，恒成立，若函数在上单调递减，则的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎7.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知两圆和恰有三条公切线，若，，且 ‎，则的最小值为 A．3 B．‎1 ‎C． D．‎ ‎9．双曲线：，的左、右焦点分别为，.为双曲线左支上一点，且（为坐标原点），，则双曲线的离心率为 A．5 B． C． D．‎ ‎10．已知外接圆的圆心为，若,，则的值是 A．18 B．‎36 ‎C．72 D．144‎ ‎11．已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎12. 如图，在长方体中，，，，分别是 ‎，棱靠近点的三等分点，是棱靠近的三等分点，是底面内 一个动点，若直线与平面平行，则周长的最小值为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知复数是纯虚数，则的值为__________.‎ ‎14．在中，角所对的边分别为，已知则__________.‎ ‎ ‎ ‎15. 函数,若，则 __________.‎ ‎16．如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是 ____________（用数字作答）.‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 已知数列满足，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和为．‎ ‎18．（12分）‎ ‎ 在新冠肺炎疫情的影响下，重庆市教委响应“停课不停教，停课不停学”的号召进行线上教学，某校高三年级的甲、乙两个班中，根据某次数学测试成绩各选出5名学生参加数学建模竞赛，已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．‎ ‎（1）求出，的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛，并说明你的理由.‎ ‎（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名，用表示来自甲班的人数，求随机变量X的分布列与数学期望.‎ ‎19．（12分）‎ 在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.‎ ‎20．（12分）‎ 已知点，点是直线上的动点，过作直线，，线段的垂直平分线与交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若点，是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线的斜率为，求的取值范围.‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有2个不同的极值点，，求证：.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所选的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点是直线的一点，过点作曲线的切线，切点为，求的最小值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲] （10分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若不等式有解，求实数的最大值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若正实数，满足，证明：.‎ 重庆育才中学2020届高三下入学考试 理科数学参考答案 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1．B 2．C 3．A 4．C 5．D ‎6．B 7．D 8．B 9．A 10．C ‎11．A 12．A 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17. （12分）‎ 解析：（1） ①‎ 当时 ‎ 当时，令 则 ②‎ ‎① ② 可得 ，‎ 经检验当时，所以数列的通项公式为 ‎（2）因为 所以.‎ ‎18. （12分）‎ 解析：（1）甲班的平均分为，由乙班中位数为86．从而，； ‎ ‎∵，，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加． ‎ ‎（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．‎ P（X=k）=（k=0，1，2）． ‎ 所以，随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 随机变量X的数学期望．‎ ‎19．（12分）‎ 解析：（1）证明：取中点为，连接． 是等边三角形，所以．‎ 因为且相交于，所以平面，所以．‎ 因为，所以．因为在平面内，所以．所以． ‎ ‎（2）以为原点，过作的平行线，分别以, ，分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系．设，则，，，． ‎ 因为在棱上，可设，‎ 所以．‎ 设平面的法向量为，因为，‎ 所以 令，可得，即．‎ 设直线与平面所成角为，所以．‎ 可知当时， 取最大值；‎ ‎20．（12分）‎ 解析：（1）因为点，点是直线上的动点，‎ 过作直线，，线段的垂直平分线与交于点，‎ 所以点到点的距离等于它到直线的距离，‎ 所以点的轨迹是以点F为焦点，直线为准线的抛物线，‎ 所以曲线的方程为.‎ ‎（2）设，点，点，‎ 直线的方程为：，‎ 化简得，‎ 因为的内切圆的方程为，‎ 所以圆心到直线的距离为，即，‎ 整理得：，‎ 由题意得，所以上式化简得，‎ 同理，有.‎ 所以是关于的方程的两根，‎ ‎，.‎ 所以，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 直线的斜率，则，‎ 所以，因为函数在单调递增，‎ 所以，，所以0.‎ 即的取值范围是.‎ ‎21. （12分）‎ 解析:（1）因为.‎ ‎ 所以 ，‎ ①当时，时，，单调递增，时，，单调递减；‎ ②当时，时，，单调递增，或时，，单调递减；‎ ③当时，，在单调递减；‎ ④当时，时，，单调递增，或时，，单调递减；‎ 综上可得：当时，时，单调递增，时，单调递减；当时，时，单调递增，或时，单调递减；当时，在单调递减；当时，时，单调递增，或时，单调递减；‎ ‎（2）证明：因为=.‎ 所以， 有2个 不同的极值点，，则，是方程的两个根，所以 ，即，‎ 则，，所以 设， ‎ ‎，所以在是增函数，所以，‎ 即.‎ ‎22. （10分）‎ 解析: （1）将的参数方程（为参数）消去参数，得.‎ 因为，，‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）知曲线是以为圆心，3为半径的圆，设圆心为，‎ 则圆心到直线的距离，所以与圆相离.‎ 连接，在中，，‎ 所以，，即的最小值为.‎ ‎23. （10分）‎ 解析（1）若不等式有解，只需的最大值即可.‎ 因为，所以，解得，‎ 所以实数的最大值.‎ ‎（2）根据（1）知正实数，满足，由柯西不等式可知，所以，，因为，均为正实数，‎ 所以(当且仅当时取“=”).‎