数学文卷·2017届云南省师大附中高三高考适应性月考卷（四）（2016 12页

文科数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎2.若，则（ ）‎ A． B． C．1 D．-1‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若实数满足，则的最小值为（ ）‎ A．5 B．3 C．2 D． 1‎ ‎5. 某算法的程序框图如图1所示，执行该程序后输出的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知，为单位向量，且在上的投影为，则（ ）‎ A．1 B． C． D． 3‎ ‎7.如图2，网格纸上小方格的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）‎ A．216 B．180 C.144 D．72‎ ‎8. 玲玲到丽江旅游，打电话给大学同学珊珊，忘记了电话号码的最后两位，只记得最后一位是6,8,9中的一个数字，则玲玲输入一次号码能够成功拨对的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，四点不共面，若球的体积为，则三棱锥的最大值为（ ）‎ A．36 B．48 C. 64 D．144‎ ‎10.已知双曲线经过点，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.设函数若对任意给定的，函数有唯一零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.给出下列四个命题，其中真命题的个数是（ ）‎ ‎①若组数据的散点都在上，则相关系数；‎ ‎②“”是“直线与直线互相垂直”的充分条件；‎ ‎③函数的单调递增区间是；‎ ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于原点对称.‎ A．1 B．2 C.3 D．4‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，则曲线在点处的切线方程为 ．‎ ‎14.已知过抛物线焦点，且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为4，则该抛物线的准线方程为 ．‎ ‎15.已知数列满足，，则的最小值为 ．‎ ‎16.在中，已知，，且，则的面积 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知等差数列的公差为，，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，证明：.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图3，在直三棱柱中，，是棱的中点，‎ ‎.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某种价值每台5万元的设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这一批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：‎ 年份（年）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 维护费（万元）‎ ‎1.1‎ ‎1.5‎ ‎1.8‎ ‎2.2‎ ‎2.4‎ ‎（1）已知关于的线性回归方程为．根据上表，求的值，并计算使用年限为5年时，每台设备每年的平均费用；‎ ‎（2）甲认为应该使用满五年换一次设备，乙认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程、焦点坐标和离心率；‎ ‎（2）设椭圆的两焦点分别为，过焦点的直线与交于两点，当直线平分时，求的面积.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立（其中为的导函数），求整数的最大值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，动抛物线（其中）顶点的轨迹为曲线，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求直线被曲线截得的弦长.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集为，，求的最小值.‎ 云南师大附中2017届高考适应性月考卷（四）‎ 文科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A D C B C C D A B D D ‎【解析】‎ ‎1．因为，，所以，故选B．‎ ‎2．，故选A．‎ ‎3．，故选D．‎ ‎4．作出可行域，目标函数可化为，则为该直线在轴上的截距，当直线过时，截距取得最大值，此时取得最小值为2，故选C．‎ ‎5．第一次循环：，，；第二次循环：，，；…，第十次循环：，，，结束循环，故选B．‎ ‎6．由题意，故，于是，所以，故选C．‎ ‎7．该多面体是棱长为的正方体，截 去左前上角和右后上角两个体积相等的三棱锥得到的几何体，则该多面体的体积为，故选C．‎ ‎8．拨打电话的所有可能结果共有种，所以玲玲输入一次号码能够成功拨对的概率是，故选D．‎ ‎9．设球的半径为，则，．如图1，当点位于垂直于平面的直径的端点时，三棱锥的体积最大，，故选A．‎ ‎10．由题意，，解得，从而，则该双曲线的离心率为，故选B． ‎ ‎11．当时，值域为，当时，值域为．‎ 因为，所以在上是增函数，则在上的值域为．由题意知，，解得，故正实数的取值范围是，故选D．‎ ‎12．①②显然正确；，由，得，令，得函数的增区间为，故③正确；的图象向左平移个单位得到函数的图象，显然为奇函数，其图象关于原点对称，故④正确，故选D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎9‎ ‎【解析】‎ ‎13．，则，又，所以切线方程为．‎ ‎14．设，两点的纵坐标分别为，，由得，于是，，所以，该抛物线的准线方程为．‎ ‎15．，则 ‎，当且仅当时取等号，所以的最小值为9．‎ ‎16．设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理得，从而，由余弦定理可知，，即，得，所以．‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，‎ 故 ‎．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴． ……………………………………………………‎ ‎（12分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：如图2，∵是棱中点，‎ ‎∴．‎ 在中，，∴，‎ 同理，故，∴．‎ 又，，‎ ‎∴平面，又平面，∴． ………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，又，‎ ‎∴平面，从而平面平面，‎ 又，∴平面，‎ 于是，即为三棱锥的高，‎ ‎∴． …………………………………（12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎∴，‎ 使用年限为5年时，每台设备每年的平均费用为：‎ ‎（万元）． ………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 所以，当使用年限为10年时，每台设备每年的平均费用约为：‎ ‎（万元）．‎ 因为，所以甲更有道理． ………………………（12分）‎ ‎20．（本小题满分12分） ‎ 解：（Ⅰ）把点代入，可得，‎ 所以椭圆的方程为焦点坐标分别为，，离心率为． ‎ ‎ …………………………………………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）直线过焦点，由知轴，‎ 记直线，的斜率分别为，，‎ 当直线平分时，.‎ 设，，‎ 由消去y整理得，，‎ 故，，‎ 所以，‎ 即，‎ 故，解得，‎ 从而，即，‎ ‎∴的面积． …………………（12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域是，，‎ 当时，，；‎ 当时，，；‎ 当时，．‎ ‎∴函数在上单调递减，即为其单调递减区间． ………（5分）‎ ‎（Ⅱ）∵，故，‎ 又，∴． ‎ 令，则，‎ 由，‎ 令，‎ 则当时，，在上单调递增，‎ 且，，‎ 故在上存在唯一零点，‎ 设此零点为，则，，即，‎ 当时，，当时，，‎ 于是，‎ ‎∴，又为整数， ‎ ‎∴的最大值为2． ………………………………………………（12分）‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）动抛物线的顶点坐标为，‎ 则曲线的参数方程为.‎ 由直线的极坐标方程是，‎ 得，‎ 则直线的直角坐标方程为． …………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，曲线的普通方程为，‎ 曲线是以为圆心，2为半径的圆，‎ 则圆心到直线：的距离为，‎ ‎∴直线被曲线截得的弦长为． ……………………………（10分）‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ 解：（Ⅰ）当时，不等式，可化为，‎ ‎∴或 解得或，‎ ‎∴不等式的解集为． ……………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）即，‎ 而的解集为，‎ ‎∴‎ 解得，‎ ‎∴=3()，‎ 从而()，‎ ‎∴（当且仅当，且，即，时等号成立），‎ ‎∴的最小值为． ………………………………（10分）‎