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- 2021-06-11 发布
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考点规范练65 坐标系与参数方程
考点规范练A册第46页
基础巩固
1.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=4sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=1+tcosα,y=2+tsinα(t为参数).
(1)求C和l的普通方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
解:(1)曲线C的普通方程为x24+y216=1.
当cosα≠0时,l的普通方程为y=tanα·x+2-tanα,
当cosα=0时,l的普通方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程
(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0,①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,
所以①有两个解,设为t1,t2,
则t1+t2=0.
又由①得t1+t2=-4(2cosα+sinα)1+3cos2α,
故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.
2.(2019云南曲靖沾益四中高三三模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-1+22t,y=-2+22t(t为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少?
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解:(1)将x=-1+22t,y=-2+22t消去参数t,
得直线l的普通方程为x-y-1=0.
∵曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0,
即ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x.
(2)联立y2=4x,x-y-1=0,
得x2-6x+1=0,Δ=36-4=32>0,
设直线l与抛物线C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=6,x1x2=1,
故直线l被曲线C截得的弦长为|AB|
=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+1)×(36-4)=8.
3.(2019江苏,21B)在极坐标系中,已知两点A3,π4,B2,π2,
直线l的方程为ρsinθ+π4=3.
(1)求A,B两点间的距离;
(2)求点B到直线l的距离.
解:(1)设极点为O.
在△OAB中,A3,π4,B2,π2,
由余弦定理,得
AB=32+(2)2-2×3×2×cosπ2-π4=5.
(2)因为直线l的方程为ρsinθ+π4=3,
则直线l过点32,π2,倾斜角为3π4.
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又B2,π2,所以点B到直线l的距离为(32-2)×sin3π4-π2=2.
4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
解:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.
综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.
5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=4t2,y=4t (t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+π4=22.
(1)把曲线C1的参数方程化为普通方程,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若曲线C1,C2相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点,求|PE|·|PF|的值.
解:(1)消去参数可得C1:y2=4x,
C2:x-y-1=0.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB的中点为P(x0,y0),
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联立y2=4x,x-y-1=0可得x2-6x+1=0.
∴x1+x2=6,x1x2=1,∴x0=x1+x22=3,y0=2.
∴AB中垂线的参数方程为
x=3-22t,y=2+22t(t为参数).①
y2=4x.②
将①代入②中,得t2+82t-16=0,
∴t1·t2=-16.
∴|PE|·|PF|=|t1·t2|=16.
能力提升
6.(2019全国Ⅰ,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1-t21+t2,y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+3ρsin θ+11=0.
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
解:(1)因为-1<1-t21+t2≤1,且x2+y22=1-t21+t22+4t2(1+t2)2=1,所以C的直角坐标方程为x2+y24=1(x≠-1).
l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.
(2)由(1)可设C的参数方程为x=cosα,y=2sinα(α为参数,-π<α<π).
C上的点到l的距离为|2cosα+23sinα+11|7=4cosα-π3+117.
当α=-2π3时,4cosα-π3+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为7.
7.已知直线C1:x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数),圆C2:x=cosθ,y=sinθ(θ为参数).
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(1)当α=π3时,求C1被C2截得的线段的长;
(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,当α变化时,求点A轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
解:(1)当α=π3时,C1的普通方程为y=3(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.
联立方程组y=3(x-1),x2+y2=1,解得C1与C2的交点坐标为(1,0)与12,-32.
故C1被C2截得的线段的长为1-122+0+322=1.
(2)将C1的参数方程代入C2的普通方程得t2+2tcosα=0,
设直线C1与圆C2交于M,N两点,M,N两点对应的参数分别为t1,t2,
则点A对应的参数t=t1+t22=-cosα,
故点A的坐标为(sin2α,-cosαsinα).
故当α变化时,点A轨迹的参数方程为x=sin2α,y=-sinαcosα(α为参数).
因此,点A轨迹的普通方程为x-122+y2=14.
故点A的轨迹是以12,0为圆心,半径为12的圆.
高考预测
8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-4+22t(t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若|PA|·|PB|=|AB|2,求a的值.
解:(1)∵ρsin2θ=acosθ(a>0),
∴ρ2sin2θ=aρcosθ(a>0),
即y2=ax(a>0).
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直线l的参数方程消去参数t,得普通方程为y=x-2.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a>0)中,
得t2-2(a+8)t+4(a+8)=0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=2(a+8),t1·t2=4(a+8).
∵|PA|·|PB|=|AB|2,
∴t1·t2=(t1-t2)2.
∴(t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1·t2=5t1·t2,
即[2(8+a)]2=20(8+a),
解得a=2或a=-8(不合题意,应舍去),
∴a的值为2.
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