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- 2021-06-11 发布
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专题09+指数函数
1.函数y=a|x|(a>1)的图像是( )
解析 y=a|x|=当x≥0时,与指数函数y=ax(a>1)的图像相同;当x<0时,y=a-x与y=ax的图像关于y轴对称,由此判断B正确.
答案 B
2.已知函数f(x)=,则f(9)+f(0)=( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析 f(9)=log39=2,f(0)=20=1,
∴f(9)+f(0)=3.
答案 D
3.不论a为何值时,函数y=(a-1)2x-恒过定点,则这个定点的坐标是 ( ).
A. B.
C. D.
解析 y=(a-1)2x-=a-2x,令2x-=0,得x=-1,则函数y=(a-1)2x-恒过定点.
答案 C
4.定义运算:a*b=如1*2=1,则函数f(x)=2x *2-x的值域为( ).
A.R B.(0,+∞)
C.(0,1] D. [1,+∞)
解析 f(x)=2x*2-x=∴f(x)在(-∞,0]上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,∴01,b>0,且ab+a-b=2,则ab-a-b的值为( )
A. B. 2或-2
C.-2 D.2
解析 (ab+a-b)2=8⇒a2b+a-2b=6,
∴(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.
又ab>a-b(a>1,b>0),∴ab-a-b=2.
答案 D
6.若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga(x+k)的图象是下图中的 ( ).
7.已知函数f(x)=
满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是________.
解析 对任意x1≠x2,都有<0成立,说明函数y=f(x)在R上是减函数,则00,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________.
解析 令ax-x-a=0即ax=x+a,
若01,y=ax与y=x+a的图象如图所示.
答案 (1,+∞)
10.已知f(x)=x2,g(x)=x-m,若对∀x1∈[-1,3],∃x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________.
解析 x1∈[-1,3]时,f(x1)∈[0,9],x2∈[0,2]时,g(x2)∈,即g(x2)∈,要使∀x1∈[-1,3],∃x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),只需f(x)min≥g(x)min,即0≥-m,故m≥.
答案
11.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求证f(x)在R上为增函数.
12.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x);
(2)若不等式()x+()x-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
解析(1)把A(1,6),B(3,24)代入f(x)=b·ax,得
结合a>0且a≠1,解得
∴f(x)=3·2x.
(2)要使()x+()x≥m在(-∞,1]上恒成立,
只需保证函数y=()x+()x在 (-∞,1]上的最小值不小于m即可.
∵函数y=()x+()x在(-∞,1]上为减函数,
∴当x=1时,y=()x+()x有最小值.
∴只需m≤即可.
∴m的取值范围(-∞,]
13.已知函数f(x)=ax2-4x+3.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值.
(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=h (x),
由于f(x)有最大值3,
所以h(x)应有最小值-1,
因此必有解得a=1.
即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.
14.已知定义在R上的函数f(x)=2x-.
(1)若f(x)=,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
解 (1)当x<0时,f(x)=0,无解;
当x≥0时,f(x)=2x-,
由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,
看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或-,
∵2x>0,∴x=1.
(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1),
∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1),
∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],
故m的取值范围是[-5,+∞).