山东省济南市市中区实验中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 18页

山东省实验中学2018-2019学年第二学期期中 高一数学试题 说明:本试卷满分150分，分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分:第I卷为第1页至第2页，选择题答案请用2B铅笔填涂到答题卡上；第Ⅱ卷为第3页至第4页，第Ⅱ卷答案请用‎0.5mm黑色签字笔书写在答题卡规定位置上，考试时间120分钟 第I卷(共60分)‎ 一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)‎ ‎1.=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用诱导公式计算得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式，属于简单题.‎ ‎2.已知，则=（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二倍角公式计算得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.若，且为第二象限角，则=（ ）‎ A. 7 B. C. -7 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，故，，再利用和差公式计算得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 为第二象限角，故，，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎4.函数的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据周期得到，计算得到，得到答案.‎ ‎【详解】根据图像：，故，故，.‎ ‎，，故，故.‎ 当时，，满足条件，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据三角函数图像求解析式，意在考查学生对于函数图像的理解和掌握.‎ ‎5.已知函数，若将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像对应函数是偶函数，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数平移得解析式，由函数为偶函数得，从而得.进而结合条件的范围可得解.‎ ‎【详解】将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像对应函数是：.‎ 由此函数为偶函数得时有：.‎ 所以.即.‎ 由，得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】解答三角函数图象变换的注意点：‎ ‎（1）进行图象变换时，变换前后的三角函数名称一样，若名称不一样，则先要根据诱导公式统一名称．‎ ‎（2）在进行三角函数图象变换时，可以“先平移，后伸缩”，也可以“先伸缩，后平移”，无论是哪种变换，切记每一个变换总是对而言的，即图象变换要看“变量”发生了多大的变化，而不是“角”变化多少．‎ ‎6.设，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：分别对a，b，c化简，最后利用余弦函数的单调性比较大小即可.‎ 详解：，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 又在上单调递减，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：C 点睛：本题考查了辅助角公式、二倍角公式、半角公式、诱导公式的灵活运用，以及利用函数性质比较大小的方法.‎ ‎7.已知函数，则的最小正周期和一个单调递减区间分别为（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将f（x）进行化简，结合正弦函数图像的性质求解即可.‎ ‎【详解】由f（x）＝2sin2x+2sinxcosx＝sin2x﹣cos2x+1＝sin（2x﹣）+1‎ ‎∴f（x）的最小正周期T＝，‎ 当时函数单调递减，‎ 解得：，（k∈Z）‎ 当k＝0时，得f（x）的一个单调减区间．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查正余弦二倍角公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数图像的性质，属于基础题.‎ ‎8.若锐角满足，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，故，得到答案.‎ ‎【详解】，故.‎ 故，故.‎ 锐角，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎9.若函数满足且的最小值为，则函数f(x)的解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，根据题意得到的最小值为，解得，得到答案.‎ ‎【详解】，故的最小值为，‎ 故，，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了辅助角公式，求三角函数表达式，根据最值确定函数周期是解题的关键.‎ ‎10.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先整理函数的解析式，然后结合最小正周期公式求解的值即可.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，‎ 则满足题意时有：，‎ 结合最小正周期公式可得：，解得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数的周期公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：两边平方可得，左边化切并整理得即，所以，故选B．‎ 考点：同角三角函数基本关系式、三角求值．‎ ‎12.已知且是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两实根，下列命题正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，，根据计算得到，再依次判断每个选项得到答案 ‎【详解】根据题意：，解得，，，‎ ‎，解得.‎ ‎，故，故错误；‎ ‎，正确；‎ ‎，故，，‎ ‎，故，错误；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，韦达定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题(本题包括4个小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.定义运算：.若，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义得到，计算，，得到，得到答案.‎ ‎【详解】，‎ ‎，故，.‎ ‎，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，变换是解题的关键.‎ ‎14.已知函数图象对称中心和函数的图象的对称中心完全相同，若，则函数的取值范围是____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，根据对称中心相同得到，故，当，，得到范围.‎ ‎【详解】，,两函数对称中心完全相同，故周期相同，‎ 故，故，‎ 当，，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的对称性，求函数解析式，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎15.一扇形的圆心角为60°，半径为R，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，根据对称性知，设内接圆半径为，则，‎ ‎，计算扇形面积，圆面积，得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：根据对称性知，设内接圆半径为，则，故，故，扇形面积，圆面积，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了扇形和内切圆问题，根据条件确定是解题的关键.‎ ‎16.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则=______，f()＝________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数得到，根据，得到，，故 ‎，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】，函数为奇函数且，故，故.‎ 是边长为2的等边三角形，故，故，，故.‎ ‎，故，.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图像，求解析式，意在考查学生的识图能力和计算能力.‎ 三、解答题(本题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤)‎ ‎17.已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求tan2及sin4‎ ‎【答案】（1）；（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数定义得到，，，化简得到原式等于，计算得到答案.‎ ‎（2），，代入数据得到答案.‎ ‎【详解】（1）终边经过点P，故，，.‎ ‎.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数值的定义，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎18.已知函数 ‎（1）求函数f(x)的最小正周期和最大值，并求出f(x)取得最大值时的x的集合；‎ ‎（2）写出函数f(x)的对称中心，并求出函数f(x)在上的单调增区间.‎ ‎【答案】（1），，；（2）对称中心为，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据解析式直接得到周期和最大值，计算得到答案.‎ ‎（2）计算得到对称中心，计算得到单调区间.‎ ‎【详解】（1），故，‎ 当，时，.‎ 即.‎ ‎（2），故，‎ 故对称中心为，.‎ ‎，解得，‎ 当时，，故单调递增区间为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数周期，对称中心，函数单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎19.如图，摩天轮上一点P在时刻t（单位:分钟)距离地面的高度y(单位:米)满足，已知该摩天轮的半径为‎50米，圆心O距地面的高度为‎60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处.‎ ‎（1）根据条件写出y关于t的函数解析式；‎ ‎（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面的高度超过‎85米?‎ ‎【答案】（1）；（2）分钟 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到，，当时，，解得答案.‎ ‎（2）解不等式得到答案.‎ 详解】（1）根据题意：，故，，，故.‎ 当时，，即，，故.‎ ‎.‎ ‎（2），故，.‎ 解得，解得，‎ 故有分钟长的时间点P距离地面的高度超过‎85米.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎20.已知函数，直线x=是函数f(x)的图象的一条对称轴.‎ ‎（1）求的值及函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎（2）画出函数f(x)在的图像.‎ ‎【答案】（1），；（2）图像见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简得到，根据对称轴得到，解得，再解不等式得到答案.‎ ‎（2）取特殊点，画出函数图像得到答案.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，时，，‎ 故，当时，满足条件，故.‎ 取，解得.‎ 故函数的单调增区间为：.‎ ‎（2）‎ 如图所示：画出函数图像，‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，对称轴，单调性，函数图像，意在考查学生对于三角函数知识的综合运用.‎ ‎21.已知且是方程的两实根.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求值 ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解方程得到，根据，，得到答案 ‎（2）将，代入式子，利用三角恒等变换计算得到答案.‎ ‎【详解】（1），‎ 故 ‎，，故，‎ 故，即；，即.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了解方程，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎22.已知函数f(x)的图象是由函数的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度.‎ ‎（1）求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；‎ ‎（2）已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在内有两个不同的解.‎ ‎①求实数m的取值范围；‎ ‎②证明：.‎ ‎【答案】（1），对称轴方程为：；（2），证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数平移伸缩变换法则直接得到解析式，再求对称轴得到答案.‎ ‎（2）计算，计算得到答案；画出图像，讨论 ‎，两种情况，计算或，计算得到证明.‎ ‎【详解】（1）三角函数平移伸缩变换法则：，‎ 对称轴满足：，故对称轴方程为：.‎ ‎（2）①，故.‎ 其中，在内有两个不同的解，故，故.‎ ‎②，，如图所示：‎ 当时，，‎ ‎；‎ 当时，，‎ ‎.‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数平移伸缩变换，对称轴，方程解的个数求参数，证明等式，意在考查学生的综合应用能力.‎