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- 2021-06-11 发布
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单元评估检测（六）
（第六章）
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2012·福州模拟）设0|AB|,则P点的轨迹为椭圆
(B)由a1=1,an=3n-1,求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
(C)由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆=1的面积S=πab
(D)以上均不正确
3．(2012·漳州模拟）已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有( )
（A）最大值为0 （B）最小值为0
（C）最大值为-4 （D）最小值为-4
4.已知集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|2x-1>1},则A∩B=( )
(A){x|x>1} (B){x|x<3}
(C){x|10,b>0，则的最小值是_______.
15．方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数有唯一不动点，且x1＝1 000，则x2 012＝_______.
三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．（10分）已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：.
17.（12分）设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，如果M⊆［1,4］，求实数a的取值范围.
18.（13分）（2012·三明模拟）如图1，OA,OB是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD和曲线段EF分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA,OB平行的栈桥MG、MK，且以MG、MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK.建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD的方程是x+2y=20(0≤x≤20),曲线段EF的方程是xy=200(5≤x≤40),设点M的坐标为(s,t)，记z=s·t.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤不计宽度）
（1）求z的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台MGK的面积S△MGK关于z的函数解析式，并求出该面积的最小值.
19．（13分）（探究题）已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0，其中
k∈R.
（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z=B（其中Z为整数集）. 试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由.
20.（14分）（易错题）已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R),不论α、β为何实数，恒有f(sinα)≥0，f(2+cosβ)≤0.
(1)求证：b+c=-1;
(2)求证：c≥3;
(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b、c的值.
21.（14分）设数列{an}满足:an+1=-nan+1,n=1,2,3,…
（1）当a1=2时，求a2,a3,a4,并由此猜测{an}的一个通项公式；
（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，
（i）an≥n+2;
（ii）.
答案解析
1．【解析】选C.∵y=2x是单调递增函数，且00,
∴x+-2=-［(-x)+］-2
≤=-4,
等号成立的条件是即x=-1.
4.【解析】选C.A={x|-11},所以A∩B={x|10,解得m<-3或m>6.
8．【解析】选D.因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.
9．【解析】选A.平均销售量
当且仅当即t＝4∈［1,30］等号成立，
即平均销售量的最小值为18.
10．【解析】选C.设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n(n∈N*
)张，则足球比赛门票预订(15－2n)张，由题意得.
解得：
又n∈N*，可得n＝5，∴15－2n＝5.
∴可以预订足球比赛门票5张．
11.【解析】函数f(x)的最小正周期为2π，由题设可知g(x)的最小正周期为π.
答案：π
12.【解题指南】本题实际就是分母不等于零恒成立问题,需分m=0或m≠0讨论.
【解析】∵的定义域为R，
∴mx2＋4mx＋3恒不等于0.
当m＝0时，mx2＋4mx＋3＝3满足题意．
当m≠0时，Δ＝16m2－12m<0，
解得
即m∈
答案：［0，)
13.【解析】图象的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为，因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z＝x＋y得，x＝2，y＝3时，有zmax＝5.
答案：
14.【解析】因为
当且仅当即a=b=1时，取“=”. 所以最小值为4.
答案：4
15．【解析】由得ax2＋(2a－1)x＝0.
因为f(x)有唯一不动点，所以2a－1＝0，即
所以f(x)＝
所以
所以
答案：2 005.5
16．【证明】要证，只需证b2－ac<3a2，
∵a＋b＋c＝0，
只需证b2＋a(a＋b)<3a2，
只需证2a2－ab－b2>0，
只需证(a－b)(2a＋b)>0，
只需证(a－b)(a－c)>0.
因为a>b>c，所以a－b>0，a－c>0，
所以(a－b)(a－c)>0，显然成立．
故原不等式成立．
17.【解题指南】此题需根据Δ<0,Δ>0,Δ=0分类讨论，求出解集M，验证即可，不要忘记M=Ø的情况.
【解析】(1)当Δ=4a2-4(a+2)<0，即-10，即a>2或a<-1时，令f(x)=x2-2ax+a+2，要使M⊆［1,4］，
只需
得20，则原方程有实数解⇔t2+at+a+1=0在（0，+∞)上有实根
得
或
得得a≤2-.
方法二：令t=2x（t>0）,则原方程化为
t2+at+a+1=0,变形得
∴a的取值范围是（-∞,］.
18. 【解析】(1)由题意，得M(s,t)在线段CD:x+2y=20(0≤x≤20)上，即s+2t=20,
又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK，
所以5≤s≤10,
所以z的取值范围是
(2)由题意，得
所以
则
因为函数单调递减，
所以当z=50时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米.
19．【解析】（1）当k=0时，A=(-∞,4)；
当k>0且k≠2时，A=(-∞,4)∪(k+,+∞)；
当k=2时，A=(-∞,4)∪(4,+∞)；
当k<0时，A=(k+,4).
（2）由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限；
当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集.
因为k+≤-4，当且仅当k=-2时取等号，所以当k=-2时，集合B的元素个数最少.此时A=(-4,4)，故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.
20.【解题指南】本题考查的是不等式的综合应用问题.在解答时：
（1）充分利用条件不论α、β为何实数，恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0.注意分析sinα、2+cosβ的范围，利用夹逼的办法即可获得问题的解答；
（2）首先利用（1）的结论对问题进行化简化为只有参数c的函数，再结合条件不论β为何实数，恒有f(2+cosβ)≤0，即可获得问题的解答;
（3）首先对函数进行化简配方，然后利用二次函数的性质结合自变量和对称轴的范围即可获得问题的解答.
【解析】(1)∵|sinα|≤1且f(sinα)≥0恒成立，可得f(1)≥0.
又∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ)≤0恒成立，可得f(1)≤0,
∴f(1)=0,∴1+b+c=0,∴b+c=-1.
(2)∵b+c=-1,∴b=-1-c,
∴f(x)=x2-(1+c)x+c=(x-1)(x-c).
又∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ）≤0恒成立，
∴x-c≤0，即c≥x恒成立.
∴c≥3.
（3）∵f(sinα)=sin2α-(1+c)sinα+c=(sinα-)2+c-()2,
∵≥2
∴当sinα=-1时，f(sinα)的最大值为1-b+c.
由1-b+c=8与b+c=-1联立，
可得b=-4,c=3.即b=-4,c=3.
21.【解析】(1)由a1=2,得a2=a12-a1+1=3,
由a2=3,得a3=a22-2a2+1=4,
由a3=4,得a4=a32-3a3+1=5,
由此猜想{an}的一个通项公式：an=n+1(n≥1).
(2)（i）用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1≥3=1+2,不等式成立，
②假设当n=k时不等式成立，即ak≥k+2,那么
ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1=2k+5>k+3.
也就是说，当n=k+1时，ak+1>(k+1)+2.
由①和②得对于所有n≥1，有an≥n+2.
（ii）由an+1=an(an-n)+1及（ⅰ),对k≥2，有
ak=ak-1(ak-1-k+1)+1≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1
…迭代法
ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1(a1+1)-1
于是
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