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- 2021-06-11 发布
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2019学年第一学期高三数学期中考试卷
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.不等式≤1的解集是 .
【答案】
【解析】
【详解】,所以解集为
2.函数的最小正周期________.
【答案】
【解析】
分析】
先根据辅助角公式化简函数,再根据正弦函数性质求周期.
【详解】
故答案为:
【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质,考查基本分析求解能力,属基础题.
3.若集合,集合,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
先解分式不等式得集合A,再根据交集定义求结果.
【详解】,
故答案为:
【点睛】本题考查分式不等式以及交集定义,考查基本分析求解能力,属基础题.
4.若函数的图像经过点,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据点坐标求,再根据反函数性质求结果.
【详解】因为函数的图像经过点,所以
令
故答案为:
【点睛】本题考查指数函数解析式以及反函数性质,考查基本分析求解能力,属基础题.
5.若等差数列的前n项和为,,,则数列的通项公式为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件列关于首项与公差的方程组,解得结果代入等差数列通项公式得结果.
【详解】因,,设公差为,
所以,,
解得,
故答案为:
【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式,考查基本分析求解能力,属基础题.
6.在中,若,,,则的面积是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦定理求,再根据三角形面积公式求结果.
【详解】因为,
所以(负值舍去)
因此的面积是
故答案:
【点睛】本题考查余弦定理以及三角形面积公式,考查基本分析求解能力,属中档题.
7.若点为圆的弦的中点,则弦所在直线方程为________.
【答案】
【解析】
试题分析:因为为圆的弦的中点,所以圆心坐标为,,所在直线方程为,化简为,故答案为.
考点:1、两直线垂直斜率的关系;2、点斜式求直线方程.
8.若对任意正实数,不等式恒成立,则实数的最小值为 .
【答案】
【解析】
试题分析:因为对任意正实数,不等式恒成立,所以,因此
考点:不等式恒成立
9.若函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,-<φ<)的部分图象如图所示,则f(0)=________.
【答案】-1
【解析】
由图象可知A=2,f=2,即f=2sin=2,所以sin=1,即+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z.因为-<φ<,所以当k=0时,φ=-,所以f(x)=2sin,即f(0)=2sin=2×=-1.
10.若是椭圆的左、右两个焦点,是椭圆上的动点,则的最小值为_____
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆定义可将所求式子化为,利用基本不等式可求得的最大值,代入即可求得所求式子的最小值.
【详解】由椭圆定义可知:
(当且仅当时取等号)
,即最小值为
故答案为:
【点睛】本题考查椭圆中最值问题的求解,涉及到椭圆定义和基本不等式的应用;关键是能够利用椭圆定义将问题转化为两个焦半径乘积的形式,进而利用基本不等式求得积的最大值.
11.设正项数列的前n项和是,若和都是等差数列,且公差相等,则=_______.
【答案】
【解析】
分析:设公差为d,首项,利用等差中项的性质,通过两次平方运算即可求得答案.
详解:设公差为d,首项,
和都是等差数列,且公差相等,
,
即,
两边同时平方得:,
,
两边再平方得:,
,
,又两数列公差相等,
,
即,
解得:或,
为正项数列,
.
故答案为:.
点睛:本题考查等差数列的性质,考查等差中项的性质,考查化归与方程思想.
12.设,是平面直角坐标系上的两点,定义点A到点B的曼哈顿距离,若点,点B在上,则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据定义列,再根据绝对值定义化简以及二次函数性质求最值
【详解】,
当时,;当时,
因此当时,取最小值,
故答案为:
【点睛】本题考查新定义以及利用二次函数性质求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.下列命题中正确的是( )
A. 函数与互为反函数
B. 函数与都增函数
C. 函数与都是奇函数
D. 函数与都是周期函数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦函数与反正弦函数性质直接可作出判断.
【详解】因为函数与互为反函数,所以A错;
因为函数有增区间与减区间,所以B错;
因为函数与都是奇函数,所以C对;
因为不是周期函数,所以D错;
故选:C
【点睛】本题考查正弦函数与反正弦函数性质,考查基本分析判断能力,属基础题.
14.双曲线(7<λ<9)的焦点坐标为( )
A. (±4,0) B. (±,0)
C. (0,±4) D. (0,±)
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析:∵双曲线(7<λ<9)
∴9-λ>0且7-λ<0,方程化为
由此可得:双曲线焦点在x轴,且
∴双曲线的焦点坐标为
故选:B
考点:双曲线的标准方程.
15.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为,若,则公比q的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据公比q分类讨论,根据等比数列求和公式代入验证极限是否成立,即可判断选择.
【详解】当时,;
当时,;
当时,
;
综上:
故选:B
【点睛】本题考查等比数列求和公式以及数列极限,考查综合分析求解能力,属中档题.
16.已知,则如图中函数的图象错误的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先画出的函数图像,再根据图像变换可得正确的选项.
【详解】因为,其图像如图所示:
要得到的图像,只要把的图像向右平移一个单位即可,故A正确;
要得到的图像,只要把的图像关于轴对称即可,故B正确;
要得到的图像,只要把的图像的左边部分去掉,再把右边部分关于对称,左边部分和右边部分合在一起即为所求图像,故C正确;
要得到的图像,只要把的图像在轴下方的图像翻折到上方即可,故D错,
综上,选D.
【点睛】函数的图像变换有平移变换、对称变换等,
(1)平移变换有“左加右减”(水平方向平移),注意是对自变量做加减,比如把的图像向右平移1个单位后,得到的图像对应的解析式为.
(2)对称变换主要有关于坐标轴、关于原点的对称变换,这类变换注意的符号变化规则.
(3)翻折变换有上下翻折和左右翻折,注意对应的函数形式.
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.设函数,.
(1)求其反函数;
(2)解方程.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)先求原函数值域,再根据对数式与指数式关系求反函数;
(2)设,将方程转化为一元二次方程,再求解,最后解指数方程得结果.
【详解】(1)
因此
(2)设,则(负值舍去)
【点睛】本题考查反函数以及解指数方程,考查基本分析求解能力,属基础题.
18.在棱长为1的正方体中,E,G分别为棱和的中点.
(1)求异面直线AE与DG所成的角;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)先平移,将异面直线AE与DG所成的角转化为,再解三角形得结果;
(2)先确定高,再利用锥体体积公式求解
【详解】(1)连,因为E,G分别为棱和的中点,所以,
因此为异面直线AE与DG所成的角或补角,
因为,所以
因此异面直线AE与DG所成的角为,
(2)因为,所以三棱锥的体积为.
【点睛】本题考查异面直线所成的角以及锥体体积公式,考查基本分析求解能力,属基础题.
19.位于处的雷达观测站,发现其北偏东,与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站北偏东()的处,,在离观测站的正南方某处,测得.
(1)求;
(2)求该船的行驶速度(海里/小时)
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)利用同角三角函数的关系求,根据,利用两角差的余弦公式即可求出;(2)利用余弦定理,,求出行驶速度.
试题解析:
(1)
(2)利用余弦定理
该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里,
该船的行驶速度(海里/小时).
20.(1)已知数列的通项公式:,试求最大项的值;
(2)记,且满足(1),若成等比数列,求p的值;
(3)如果,,,且p是满足(2)的正常数,试证:对于任意自然数n,或者都满足,,或者都满足,.
【答案】(1)4(2)(3)见解析
【解析】
【分析】
(1)先确定数列单调性,再求最大项的值;
(2)先写出前三项,再根据等比中项性质求出p的值,最后再根据等比数列定义进行论证;
(3)利用数学归纳法证明.
【详解】(1)单调递减,所以最大项为;
(2)
所以前三项为
因此
当时,,即成等比数列;
当时,,即成等比数列;
综上
(3)
因为,,所以当时,;
当时,;即当时,结论成立;
假设当时,结论成立;即,,或者,.
当时,,
或者
,即当时,结论成立;
综合可得对于任意自然数n,或者都满足,,或者都满足,.
【点睛】本题考查数列单调性、等比数列定义以及数学归纳法,考查综合分析论证与求解能力,属较难题.
21.设抛物线C:的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A、B两点.
(1)若,求线段中点M的轨迹方程;
(2)若直线AB的方向向量为,当焦点为时,求的面积;
(3)若M是抛物线C准线上的点,求证:直线的斜率成等差数列.
【答案】(1);(2) (3)见解析
【解析】
试题分析:
思路分析:(1) 利用“代入法”。
(2) 联立方程组得,,应用弦长公式求
,得到面积。
(3)直线的斜率都存在,分别设为.
点的坐标为.
设直线AB:,代入抛物线得, 确定,
,得到.
解:(1) 设,,焦点,则由题意,即
所求的轨迹方程为,即
(2),,直线,
由得,,
,。
(3)显然直线的斜率都存在,分别设为.
点的坐标为.
设直线AB:,代入抛物线得, 所以,
又,,
因而,
因而
而,故.
考点:等差数列,求轨迹方程,直线与抛物线的位置关系。
点评:中档题,涉及“弦中点”问题,往往利用“代入法”求轨迹方程。涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往通过联立方程组,应用韦达定理,简化解题过程。