2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§2-1 函数的概念及表示（讲解部分） 19页

考点一　函数的概念及表示方法 考点清单 考向基础 1.函数与映射概念的比较 函数 映射 两集合 A 、 B 设 A 、 B 是两个 非空数集 设 A 、 B 是两个 非空集合 对应关系 f : A → B 如果按照某种确定的对应关 系 f ,使对于集合 A 中的 任意 一个 数 x ,在集合 B 中都有 唯一确定 的 数 f ( x )和它对应 如果按某一个确定的对应关 系 f ,使对于集合 A 中的 任意 一个 元素 x ,在集合 B 中都有唯一确定 的元素 y 与之对应 名称 称 f : A → B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数 称对应 f : A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法 y = f ( x ), x ∈ A 对应 f : A → B 由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射, 要注意构成函数的两个集合 A 、 B 必须是非空数集. 2.函数的三要素: 定义域、值域、对应关系. 3.函数的定义域、值域 在函数 y = f ( x ), x ∈ A 中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,与 x 的 值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{ f ( x )| x ∈ A }叫做函数的值域. 4.求函数值域常用的方法 (1) 分离常数法 形如 y =   ( a ≠ 0)的函数的值域,经常使用“分离常数法”求解. (2) 配方法 配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,求形如 F ( x )= a [ f ( x )] 2 + bf ( x )+ c ( a ≠ 0)的函数的值域问题,均可使用配方法,求解中要注意 f ( x )整体的取值 范围. (3) 换元法 ①代数换元.形如 y = ax + b ±   ( a , b , c , d 为常数, ac ≠ 0)的函数,可设   = t ( t ≥ 0),转化为二次函数求值域.若有单调性,则用单调性更简捷,如 y = x +   . ②三角换元.如 y = x +   ,可令 x =cos θ , θ ∈[0,π], 则 y =cos θ +sin θ =   sin   , θ ∈[0,π]. 用换元法求值域,一定要注意新元的范围对值域的影响. (4)判别式法 把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x , y )=0,通过方程有实根,即判别式 Δ ≥ 0, 求得原函数的值域,形如 y =   ( a 1 , a 2 不同时为零)的函数的值域常 用此法求解. 用判别式法求值域的注意事项:①函数的定义域为R; ②分子、分母没有公因式. (5)有界性法 形如sin α = f ( y ), x 2 = g ( y ), a x = h ( y )等的函数,由|sin α | ≤ 1, x 2 ≥ 0, a x >0可解出 y 的范 围,从而求出其值域. (6)数形结合法 若函数解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合的方法求 解值域. (7) 基本不等式法 利用基本不等式: a + b ≥ 2   ( a >0, b >0)求函数的值域. 用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”,如:利用 a + b ≥ 2 求某些函数的值域时,应满足三个条件:① a >0, b >0;② a + b (或 ab )为定值; ③取等号的条件是 a = b .三个条件缺一不可. (8) 单调性法 若 y = f ( x )在[ a , b ]上单调递增,则 y min = f ( a ), y max = f ( b ); 若 y = f ( x )在[ a , b ]上单调递减,则 y min = f ( b ), y max = f ( a ). 5.相等函数 若两个函数的 定义域 相同,并且 对应关系 完全一致,则这两个函数为相等函 数. 6.函数的表示方法 表示函数的常用方法: 解析式法 、图象法、列表法. 考向　求函数定义域 考向突破 例1　函数 y =   +log 2 (tan x -1)的定义域为 　　　     . 解析　要使函数 y =   +log 2 (tan x -1)有意义, 需1- x 2 ≥ 0,tan x -1>0,且 x ≠ k π+   ( k ∈Z), ∴-1 ≤ x ≤ 1且   + k π< x < k π+   , k ∈Z,∴   < x ≤ 1, 故函数的定义域为   . 答案       考向基础 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式 子来表示,则这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的 值域的 并集 ,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是 一个函数 . 考点二　分段函数 考向突破 考向　分段函数求值及解不等式 例2　设函数 f ( x )=   则满足 f ( x )+ f ( x -1)>1的 x 的取值范围是 　　          . 解析　①当 x ≤ 0时, x -1 ≤ -1,∴ f ( x )+ f ( x -1)= x +1+( x -1)+1=2 x +1>1,即 x >0,此时 无解. ②当0< x ≤ 1时, x -1 ≤ 0, ∴ f ( x )+ f ( x -1)=2 x +( x -1)+1=2 x + x , ∵2 x >2 0 =1,∴此时 f ( x )+ f ( x -1)>1恒成立. ③当 x >1时, x -1>0, ∴ f ( x )+ f ( x -1)=2 x +2 x -1 =3·2 x -1 , ∵2 x -1 >2 0 =1, ∴此时 f ( x )+ f ( x -1)>1恒成立. 综上所述,满足 f ( x )+ f ( x -1)>1的 x 的取值范围是(0,+ ∞ ). 答案　(0,+ ∞ ) 方法1 　函数定义域的求法 1.求具体函数 y = f ( x )的定义域   方法技巧 2.求抽象函数的定义域 (1)若已知函数 f ( x )的定义域为[ a , b ],则函数 f ( g ( x ))的定义域 由 a ≤ g ( x ) ≤ b 求 出 . (2)若已知函数 f ( g ( x ))的定义域为[ a , b ],则 f ( x )的定义域为 g ( x )在 x ∈[ a , b ]时的 值域 . 例1　(1)(2019山东安丘质量检测,3)已知函数 f ( x )的定义域为[0,2],则函数 g ( x )= f   +   的定义域为   (　　) A.[0,3]　    B.[0,2]　     C.[1,2]　    D.[1,3] (2)(2019湖北黄冈元月调研,2)已知函数 f ( x +1)的定义域为(-2,0),则 f (2 x -1)的 定义域为   (　　) A.(-1,0)　    B.(-2,0)　    C.(0,1)　    D.   解析　(1)由题意可知 x 满足   解得0 ≤ x ≤ 3, 故函数 g ( x )的定义域为[0,3],故选A. (2)∵函数 f ( x +1)的定义域为(-2,0),即-2< x <0,∴-1< x +1<1,则 f ( x )的定义域为 (-1,1),由-1<2 x -1<1,得0< x <1,∴ f (2 x -1)的定义域为(0,1).故选C. 答案　(1)A　(2)C 方法2 　求函数解析式的常用方法 1. 配凑法 .已知 f ( h ( x ))= g ( x ),求 f ( x )的问题,往往把右边的 g ( x )整理或配凑成只 含 h ( x )的式子,用 x 将 h ( x )代换. 2. 待定系数法 .前提是已知函数的类型(如一次函数、二次函数),比如二次 函数可设为 f ( x )= ax 2 + bx + c ( a ≠ 0),其中 a 、 b 、 c 是待定系数,根据题设条件列 出方程组,解出待定系数即可. 3. 换元法 .已知 f ( h ( x ))= g ( x ),求 f ( x )时,往往可设 h ( x )= t ,从中解出 x ,代入 g ( x )进 行换元,便可求解. 4. 解方程组法 .已知 f ( x )满足某个等式,这个等式除 f ( x )是未知量外,还有其他 未知量,如 f   等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解 方程组求出 f ( x ). 5. 赋值法 . f ( x )是关于 x , y 两个变量的方程式,可对变量赋值求出 f ( x ). 例2　(1)已知 f ( x )是一次函数,且 f ( f ( x ))=4 x +3,则 f ( x )的解析式为 　　　　     　　　　     ; (2)已知 f (   +1)= x +2   ,则 f ( x )的解析式为 　　　　     ; (3)已知函数 f ( x )满足 f ( x )=2 f   + x ,则 f ( x )的解析式为 　　　　　　     ; (4)已知 f (0)=1,对任意的实数 x , y ,都有 f ( x - y )= f ( x )- y (2 x - y +1),则 f ( x )的解析式为 　　　　　　     .   (1)已知函数类型,用待定系数法求解. (2)用换元法求解,注意新元的范围或用配凑法求解. (3)联立方程可解. (4)用赋值法可解. 解题导引    解析　(1)由题意可设 f ( x )= ax + b ( a ≠ 0),则 f ( f ( x ))= f ( ax + b )= a ( ax + b )+ b = a 2 x + ab + b =4 x +3,∴   解得   或   故所求解析式为 f ( x )=-2 x -3或 f ( x ) =2 x +1. (2)解法一:设 t =   +1( t ≥ 1),则 x =( t -1) 2 ,∴ f ( t )=( t -1) 2 +2( t -1)= t 2 -2 t +1+2 t -2= t 2 -1, ∴ f ( x )= x 2 -1( x ≥ 1). 解法二:∵ x +2   =(   ) 2 +2   +1-1=(   +1) 2 -1, ∴ f (   +1)=(   +1) 2 -1,∴ f ( x )= x 2 -1( x ≥ 1). (3)由 f ( x )=2 f   + x ,得 f   =2 f ( x )+   , 联立得   ①+② × 2得 f ( x )= x +4 f ( x )+   ,则 f ( x )=-   -   x . (4)令 x =0,得 f (- y )= f (0)- y (- y +1)=1+ y 2 - y , ∴ f ( y )= y 2 + y +1, ∴ f ( x )= x 2 + x +1. 答案　(1) f ( x )=-2 x -3或 f ( x )=2 x +1 (2) f ( x )= x 2 -1( x ≥ 1) (3) f ( x )=-   -   x (4) f ( x )= x 2 + x +1 方法3 　分段函数问题的解题策略 1.求函数值.弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的 函数值,要 从最内层逐层向外计算 . 2.求函数最值.分别求出每个区间上的最值,然后比较大小得到最值. 3.解不等式.根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求 解. 4.求参数.“ 分段处理 ”,采用代入法列出各区间上的方程. 例3    (2019皖南八校第三次联考,11)已知函数 f ( x )=   则满足 f (2 x +1)< f (3 x -2)的实数 x 的取值范围是   (　　) A.(- ∞ ,0]　    B.(3,+ ∞ )　    C.[1,3)　    D.(0,1) 解析　由 f ( x )=   可得当 x <1时, f ( x )=1,当 x ≥ 1时,函数 f ( x )在[1, + ∞ )上单调递增,且 f (1)=log 2 2=1, 要使得 f (2 x +1)< f (3 x -2),则   解得 x >3, 故不等式 f (2 x +1)< f (3 x -2)的解集为(3,+ ∞ ),故选B. 答案    B   一题多解    当 x ≥ 1时,函数 f ( x )在[1,+ ∞ )上单调递增,且 f ( x ) ≥ f (1)=1,要使 f (2 x +1)< f (3 x -2)成立,需   或   解得 x >3.故选B.