2019高三数学文北师大版一轮重点强化训练4+直线与圆 7页

重点强化训练(四)　直线与圆 ‎(对应学生用书第271页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2018·西安五校联考)命题p：“a＝－2”是命题q：“直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直”成立的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A　[两直线垂直的充要条件是6a＋3×4＝0，解得a＝－2，命题p是命题q成立的充要条件．]‎ ‎2．(2018·深圳模拟)已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(　　) 【导学号：00090287】‎ A．2　　　　 B．－2‎ C．1 D．－1‎ D　[因为曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.]‎ ‎3．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　[圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d＝＝，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点．]‎ ‎4．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D． D　[因为l与圆x2＋y2＝1有公共点，则l的斜率存在，设斜率为k，所以直线l的方程为y＋1＝k(x＋)，‎ 即kx－y＋k－1＝0，‎ 则圆心到l的距离d＝.‎ 依题意，得≤1，解得0≤k≤.‎ 故直线l的倾斜角的取值范围是.]‎ ‎5．(2017·重庆一中模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，y轴被圆C截得的弦长与直线y＝2x＋b被圆C截得的弦长相等，则b＝(　　)‎ A．－ B．± C．－ D．± D　[在(x－1)2＋(y－2)2＝2中，令x＝0，得(y－2)2＝1，解得y1＝3，y2＝1，则y轴被圆C截得的弦长为2，所以直线y＝2x＋b被圆C截得的弦长为2，所以圆心C(1,2)到直线y＝2x＋b的距离为1，‎ 即＝1，解得b＝±.]‎ 二、填空题 ‎6．经过两条直线3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是__________．‎ ‎2x－y－7＝0　[由得即两直线的交点坐标为(3，－1)，又所求直线的斜率k＝2.‎ 则所求直线的方程为y＋1＝2(x－3)，即2x－y－7＝0.]‎ ‎7．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝__________. 【导学号：00090288】‎ ‎2　[因为点P(2,2)为圆(x－1)2＋y2＝5上的点，‎ 由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直．‎ 因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k＝2，故过点P(2,2)的切线斜率为－，‎ 所以直线ax－y＋1＝0的斜率为2，因此a＝2.]‎ ‎8．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为__________．‎ ‎0或6　[由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形．故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为.由点到直线的距离得＝，‎ 解得a＝0或a＝6.]‎ 三、解答题 ‎9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.‎ ‎(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；‎ ‎(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程.‎ ‎ 【导学号：00090289】‎ ‎[解]　将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. 2分 ‎(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－. 5分 ‎(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，‎ 得 8分 解得a＝－7或a＝－1.‎ 故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0. 12分 ‎10．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．‎ ‎[解]　曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3，－2，0)， 2分 设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，‎ 则有 解得 故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0. 6分 所以＝，＝，‎ 整理得 又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上， 10分 所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.‎ 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆(因为O，M，P三点不共线，所以应除去两点和. 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[将直线l的方程化为一般式得kx－y＋1＝0，‎ 所以圆O：x2＋y2＝1的圆心到该直线的距离d＝.‎ 又弦长为2＝，‎ 所以S△OAB＝··＝＝，‎ 解得k＝±1.‎ 因此可知“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．]‎ ‎2．过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________．‎ x＋y－2＝0　[设过P点的直线为l，当OP⊥l时，过P点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分的面积之差最大．‎ 由点P(1,1)知kOP＝1，‎ 所以所求直线的斜率k＝－1.‎ 由点斜式得，所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.]‎ ‎3．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5,3)．‎ ‎(1)求直线l1的方程；‎ ‎(2)若直线l2：x＋y＋b＝0与圆C相交，求b的取值范围；‎ ‎(3)是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．‎ ‎[解]　(1)圆C的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9，于是圆心C(3,2)，半径r＝3. 1分 若设直线l1的斜率为k，则k＝－＝－＝－2.‎ 所以直线l1的方程为y－3＝－2(x－5)，即2x＋y－13＝0. 3分 ‎(2)因为圆的半径r＝3，所以要使直线l2与圆C相交，则有<3，5分 所以|b＋5|<3，‎ 于是b的取值范围是－3－5