宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第6次周练卷数学（理）试题 7页

‎2019-2020学年高三年级第二学期数学（理）第6次周测 时间：2020年5月4日 16:25—17:05 命题人 ‎ 班级 _____________ 姓名 ___________ 得分___________‎ 1. 已知函数，为的导数． Ⅰ求曲线在点处的切线方程； Ⅱ证明：在区间上存在唯一零点； Ⅲ设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．‎ ‎2．设函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎3．已知函数，其中.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若时，函数恰有一个零点，求实数的值.‎ ‎（3）已知数列满足，其前项和为，求证：（其中）.‎ ‎4．已知函数（为常数）.‎ ‎（1）若，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若为正整数，函数恰好有两个零点，求的值.‎ ‎2019-2020学年高三年级第二学期数学（理）第6次周测(解析)‎ 时间：2020年5月4日 16:25—17:05 命题人 李庆永 班级 _____________ 姓名 ___________ 得分___________‎ 1. 已知函数，为的导数． Ⅰ求曲线在点处的切线方程； Ⅱ证明：在区间上存在唯一零点； Ⅲ设，若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】解：Ⅰ，所以，， 从而曲线在点处的切线方程为． Ⅱ设，则，． 当时，； 当时，， 所以在单调递增，在单调递减． 又， 故在存在唯一零点． 所以在存在唯一零点． Ⅲ由已知，转化为，且  ． 由Ⅱ知，在只有一个零点， 设为，且当时，； 当时，， 所以在单调递增，在单调递减． 又，， 所以当时，． 所以，即， 因此，a的取值范围是．‎ ‎2．设函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，所以函数的定义域为，‎ 当时，，‎ 令，得或（舍去）.‎ 当时，，当时，，‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）令，，，‎ 令，其中，‎ 则，令，得，‎ 当时，，当时，，‎ 的单调递减区间为，单调递增区间为，‎ ‎， ‎ 又，，且，‎ 由于函数在上有两个零点，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎3．已知函数，其中.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若时，函数恰有一个零点，求实数的值.‎ ‎（3）已知数列满足，其前项和为，求证：（其中）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ 当时，，从而在上单调递增；‎ 当时，，‎ 从而在上单调递增，在上单调递减 ‎（2）由（1）知，当时在上单调递增，在上单调递减，‎ 要使恰有1个零点，只需函数的最小值为0，‎ 即，解得 ‎（3）由（1）知，当时，，即 令，得 则，，，…，，‎ 即 两边取以为底的对数得：‎ ‎4．已知函数（为常数）.‎ ‎（1）若，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若为正整数，函数恰好有两个零点，求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数，其中，‎ 则 因为，则，‎ ‎①当时，则，‎ 当或时，，当时，，‎ 所以在和单调递增，在单调递减；‎ ‎②当时，即，对时，恒成立，在单调递增；‎ ‎③当时，则，‎ 当或时，，当时，，‎ 所以在和单调递增，在单调递减.‎ 综上：①当时，在和单调递增，在单调递减；‎ ‎ ②当时，在单调递增； ‎ ‎ ③当时，在和单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）因为为正整数，‎ 当，则，此时函数，‎ 由（1）知在和单调递增，在单调递减 又，所以在区间内仅有1实根.‎ 由，且 所以在区间内仅有1实根，‎ 此时函数在区间内恰有2实根；‎ 当时，函数在单调递增，至多有1实根.‎ 当时，可得 令，则，则，可得，‎ 所以 由（1）知在单调递减，在和单调递增，‎ 所以，所以在至多有1实根.‎ 综上所述，可得.‎