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  • 2021-06-11 发布

宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第6次周练卷数学(理)试题

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‎2019-2020学年高三年级第二学期数学(理)第6次周测 时间:2020年5月4日 16:25—17:05 命题人 ‎ 班级 _____________ 姓名 ___________ 得分___________‎ 1. 已知函数,为的导数. Ⅰ求曲线在点处的切线方程; Ⅱ证明:在区间上存在唯一零点; Ⅲ设,若对任意,均存在,使得,求实数的取值范围.‎ ‎2.设函数.‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)若函数在上有两个零点,求实数的取值范围.‎ ‎3.已知函数,其中.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若时,函数恰有一个零点,求实数的值.‎ ‎(3)已知数列满足,其前项和为,求证:(其中).‎ ‎4.已知函数(为常数).‎ ‎(1)若,讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若为正整数,函数恰好有两个零点,求的值.‎ ‎2019-2020学年高三年级第二学期数学(理)第6次周测(解析)‎ 时间:2020年5月4日 16:25—17:05 命题人 李庆永 班级 _____________ 姓名 ___________ 得分___________‎ 1. 已知函数,为的导数. Ⅰ求曲线在点处的切线方程; Ⅱ证明:在区间上存在唯一零点; Ⅲ设,若对任意,均存在,使得,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】解:Ⅰ,所以,, 从而曲线在点处的切线方程为. Ⅱ设,则,. 当时,; 当时,, 所以在单调递增,在单调递减. 又, 故在存在唯一零点. 所以在存在唯一零点. Ⅲ由已知,转化为,且  . 由Ⅱ知,在只有一个零点, 设为,且当时,; 当时,, 所以在单调递增,在单调递减. 又,, 所以当时,. 所以,即, 因此,a的取值范围是.‎ ‎2.设函数.‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)若函数在上有两个零点,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)因为,所以函数的定义域为,‎ 当时,,‎ 令,得或(舍去).‎ 当时,,当时,,‎ 所以的单调递增区间为,单调递减区间为.‎ ‎(2)令,,,‎ 令,其中,‎ 则,令,得,‎ 当时,,当时,,‎ 的单调递减区间为,单调递增区间为,‎ ‎, ‎ 又,,且,‎ 由于函数在上有两个零点,‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎3.已知函数,其中.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若时,函数恰有一个零点,求实数的值.‎ ‎(3)已知数列满足,其前项和为,求证:(其中).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)‎ 当时,,从而在上单调递增;‎ 当时,,‎ 从而在上单调递增,在上单调递减 ‎(2)由(1)知,当时在上单调递增,在上单调递减,‎ 要使恰有1个零点,只需函数的最小值为0,‎ 即,解得 ‎(3)由(1)知,当时,,即 令,得 则,,,…,,‎ 即 两边取以为底的对数得:‎ ‎4.已知函数(为常数).‎ ‎(1)若,讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若为正整数,函数恰好有两个零点,求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,函数,其中,‎ 则 因为,则,‎ ‎①当时,则,‎ 当或时,,当时,,‎ 所以在和单调递增,在单调递减;‎ ‎②当时,即,对时,恒成立,在单调递增;‎ ‎③当时,则,‎ 当或时,,当时,,‎ 所以在和单调递增,在单调递减.‎ 综上:①当时,在和单调递增,在单调递减;‎ ‎ ②当时,在单调递增; ‎ ‎ ③当时,在和单调递增,在单调递减.‎ ‎(2)因为为正整数,‎ 当,则,此时函数,‎ 由(1)知在和单调递增,在单调递减 又,所以在区间内仅有1实根.‎ 由,且 所以在区间内仅有1实根,‎ 此时函数在区间内恰有2实根;‎ 当时,函数在单调递增,至多有1实根.‎ 当时,可得 令,则,则,可得,‎ 所以 由(1)知在单调递减,在和单调递增,‎ 所以,所以在至多有1实根.‎ 综上所述,可得.‎

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