数学理卷·2017届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期第五次适应性考试（期末）（2017 20页

‎ 2017届高三年级第五次适应性考试数学（理）试卷2017.1‎ ‎ 命题人： 姚会珍 审题人：张海玲 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合M={x|x>-2},则下列选项正确的是 A．{0}∈M B．Φ∈M C.{0}⊆M D．0 ⊆M ‎2．已知复数，其中为虚数单位，则 ‎ A. B. C. D.2‎ 3． 已知向量，，且，则 A．5 B． C． D．‎ 4． 如图是一名篮球运动员在最近5场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这5场比赛中的得分的中位数为12，则该运动员这5场比赛得分的平均数不可能为 A． B． C．14 D．‎ ‎5．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现，书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为 A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 ‎6．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为 A． B． C．1 D． ‎ ‎7．已知函数,且则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知实数，执行如图所示的流程图，则输出 的不小于63的概率为 A． B． C． D．‎ ‎9．若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，在切点的横坐标等于 A． B． C． D．‎ ‎11．设在圆上运动，且，点在直线上运动，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎12．设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，‎ 当时，.若，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ 二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．已知，且，则 ‎ ‎14．若实数满足，则的最大值是 ．‎ ‎15．若的展开式中各项系数的和2，则该展开式中的常数项为__________．‎ ‎16．对于函数，有下列4个命题：‎ ‎①任取，都有恒成立；‎ ‎②，对于一切恒成立；‎ ‎③函数有3个零点；‎ ‎④对任意，不等式恒成立． ‎ 则其中所有真命题的序号是___________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，角所对的边分别为，设，，记.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若与的夹角为，，，求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知四棱柱的底面是边长为的菱形，且，平面，，设为的中点 ‎（1）求证：平面 ‎（2）点在线段上，且平面，求平面和平面所成锐角的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对号 扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金．（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：；（单位：岁），其猜对歌曲名称与否人数如图所示．‎ ‎（1）写出列联表：判断是否有的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？‎ 说明你的理由．（下面的临界值表供参考）‎ ‎（2）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为，，，，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎（参考公式其中）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的右焦点为，短轴长为2，点为椭圆上一个动点，且的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点的坐标为，点为椭圆上异于点的不同两点，且直线平分，求直线的斜率.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）若，且在上单调递增，求实数的取值范围 ‎（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．‎ 请考生在22题，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线 ‎．‎ ‎（1）写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围. ‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．‎ ‎（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线，试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值．‎ ‎【答案】（1）直线：，曲线：；‎ ‎（2）点P（），此时．‎ 试题解析：（1） 由题意知，直线的直角坐标方程为：， ‎ ‎ ∵曲线的直角坐标方程为：，‎ ‎ ∴曲线的参数方程为：． ‎ ‎（2）设点P的坐标，则点P到直线的距离为：‎ ‎ ， ‎ ‎∴当sin（600－θ）=-1时，点P（），此时．‎ 选修4—5：不等式选讲 ‎23.已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围. ‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ 试题解析：（1）当时，不等式可化为 ‎①当时，不等式为，解得，故；‎ ‎②当时，不等式为，解得，故；‎ ‎③当时，不等式为，解得，故； ‎ 综上原不等式的解集为 ‎ ‎（2）因为的解集包含 不等式可化为， ‎ 解得，‎ 由已知得， ‎ 解得 所以的取值范围是.‎ ‎2017届高三年级第五次适应性考试数学（理）试卷参考答案 ‎1．C ‎【解析】‎ 试题分析：由于，所以集合M中含有0，所以{0}⊆M 考点：集合间的关系 ‎2．C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，∴，故选C.‎ 考点：复数的运算.‎ ‎3．D ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：若平均数为，可得，中位数为，合题意；若平均数为，可得，中位数为，合题意；若平均数为，可得，中位数为，合题意；若平均数为，可得，中位数为，不合题意；所以该运动员这场比赛得分的平均数不可能为，故选D. ‎ 考点：1、茎叶图的应用；2、中位数与平均值的性质.‎ ‎4．B ‎【解析】‎ 试题分析：设每天增加的数量尺，则一个月织布尺数依次构成等差数列如下，由等差数列前项公式得，故选B.‎ 考点：1、阅读能力及等差数列定义；2、等差数列的求和公式.‎ ‎5．A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，，，所以所以 ‎，故选A. ‎ 考点：1、向量的模及垂直向量的性质；2、平面向量的数量积公式.‎ ‎6．A ‎【解析】此题考查三视图 解：根据三视图还原出原图形如图,BCDE为直角梯形AE⊥平面BCED，AE=BE=BC=1,ED=2,所以几何体的体积V=选A.‎ 答案：A ‎ ‎7．D ‎【解析】‎ 试题分析：由得，，．故选D．‎ 考点：分段函数．‎ ‎8．B ‎【解析】‎ 试题分析：运行该程序框图，第一次循环；第二次循环；第三次循环；推出循环输出，由得，由几何概型概率公式可得输出的不小于的概率为，故选B.‎ 考点：1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎9．D ‎【解析】‎ 试题分析：设的中点为，‎ 由平行四边形法则可知 所以当且仅当三点共线时，取得最小值，此时直线，‎ 因为圆心到直线的距离为，‎ 所以取得最小值为 故答案选D 考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离；平面向量.‎ ‎10．A ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数为偶函数，可得 ‎，曲线在的一条切线的斜率是，即，解方程可得，切点的横坐标等于，故选A.‎ 考点：1、函数的奇偶性；2、利用导数求曲线切线斜率.‎ ‎11．A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，使得成立”是假命题，所以“使得成立”是真命题，对于恒成立，，当且仅当时取等号，，故选A.‎ 考点：1、特称命题与全称命题；2、不等式恒成立问题.‎ ‎12．A ‎【解析】‎ 试题分析：∵，设，则 ‎，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，‎ ‎∴，解得.‎ 考点：导数在函数单调性中的应用.‎ ‎【思路点睛】因为，设，则，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，且 所以 所以 由二倍角公式得 考点：三角恒等变换 ‎14．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，依题可看成，即原点与可行域内（包括边界）各点连线的斜率，的最大值就是连接O，A两点直线的斜率，易求得，此时即为所求.‎ 考点：线性规划基本知识，数形结合思想.‎ ‎15．40‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，因此该展开式中的常数项为 考点：二项式定理 ‎【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ ‎16．①③④‎ ‎【解析】‎ 试题分析：的图象如图所示，①的最大值为，最小值为，所以任取，都有恒成立，正确；②，故不正确；③如图所示，函数有个零点；④由题意，可得，，，．证明，即证明，构造，则，所以，所以对任意，不等式 恒成立，所以对任意，不等式恒成立正确．故答案：①③④.‎ 考点：分段函数的应用.‎ ‎【方法点晴】本题以分段函数为背景综合考查了函数的最值问题，对应法则，零点问题以及不等式恒成立问题，属于中档题.第一问体现在图像上就是最高点与最低点的垂直距离问题；第二问问题比较抽象棘手时，往往从特例中找感觉，规律就蕴含在特例中；第三问零点个数问题基本上是转化为两个简单函数图像的交点个数问题；第四问恒成立问题转化为最值问题.‎ ‎17．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由向量数量积的坐标表示，可将函数求出，根据角的范围即函数的定义域利用三角函数的图象和性质可确定函数的值域，即求出的取值范围；（2）由向量数量积的定义和坐标表示可求出的大小，问题就是一个解三角形的问题，可用正弦定理求解.‎ 试题解析：（1）因为=， 3分 ‎，，，‎ 的取值范围是； 7分 ‎（2）∵的夹角为，∴，即，,或（舍去），， 10分 又，，‎ 由正弦定理知，即，解得. 14分 考点：平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、解三角形.‎ ‎18．（1）证明略；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知该四棱柱为直四棱柱，且为等边三角形，，所以平面，故，在中的三边长分别为，所以,所以，故平面；‎ ‎（2）取中点，则由为等边三角形，知，从而，以为坐标轴，建立空间直角的坐标系，求得平面和平面的法向量，即可求得平面和平面所成锐角的余弦值．‎ 试题解析：（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且为等边三角形，‎ 所以平面，而平面，故 因为的三边长分别为，故为等腰直角三角形 所以，结合知：平面 ‎（2）解：取中点，则由为等边三角形 知，从而 以为坐标轴，建立如图所示的坐标系 此时,‎ ‎，设 由上面的讨论知平面的法向量为 由于平面，故平面 故，故 设平面的法向量为，‎ 由知，取，故 设平面和平面所成锐角为，则 即平面和平面所成锐角的余弦值为 考点：线面垂直；二面角.‎ ‎19．(1)列联表见解析，有的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关；(2)分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)借助题设条件运用列联表中的与临界值表进行比对，确定结果；(2)借助题设运用数学期望的计算公式探求.‎ 试题解析：‎ ‎（1）根据所给的二维条形图得到列联表，‎ 根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到，‎ ‎，有的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．‎ ‎（2）的所有能取值分别为：，，，，‎ 则，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 的分布列如下表：‎ 数学期望．‎ 考点：列联表及数学期望的计算公式等有关知识的综合运用．‎ ‎20．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知，，，得；（2）设直线的方程为，点，的坐标分别为，，联立椭圆方程，得，故，因为直线平分，所以直线，的倾斜角互补，斜率互为相反数，可得，由两点斜率公式可得.‎ 试题解析：（1）,，由得，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设点，的坐标分别为，，由题意可知直线的斜率存在，‎ 设直线的方程为，由得，‎ ‎，‎ 因为，所以 又因为直线平分，所以直线，的倾斜角互补，斜率互为相反数.‎ 同理可得：，‎ ‎.‎ 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎21．（1）；（2）实数是存在的，且.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）原题等价于在时恒成立，即恒成立，分离参数得，只需求得函数在区间值域即可；‎ ‎（2）利用反证法假设存在这样的实数，则在时恒成立，且可以取到等号，故，即，利用导函数求得函数的最小值，最后令最小值等于1，可求出参数的范围.‎ 试题解析：（1）‎ 由已知在时恒成立，即恒成立 分离参数得，‎ 因为 所以 所以正实数的取值范围为：‎ ‎（2）假设存在这样的实数，则在时恒成立，且可以取到等号 故，即 从而这样的实数必须为正实数，当时，由上面的讨论知在上递增，，此时不合题意，故这样的必须满足，此时：‎ 令得的增区间为 令得的减区间为 故 整理得 即，设，‎ 则上式即为，构造，则等价于 由于为增函数，为减函数，故为增函数 观察知，故等价于，与之对应的 综上符合条件的实数是存在的，且 考点：利用导函数研究函数的单调性；存在性问题；恒成立问题.‎ ‎【名师点睛】对恒成立与存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论.‎ ‎22．（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）通过曲线的参数方程为（为参数），解得方程组得，结合，消去得曲线的普通方程；‎ ‎（2）由知，化为普通方程为，由直线与圆的相交的弦长公式即可求得.‎ 试题解析：（1）由已知，结合，消去得：‎ 普通方程为，化简得 ‎（3）由知，化为普通方程为 圆心到直线的距离，‎ 由垂径定理 考点：参数方程；极坐标方程；直线与圆的位置关系.‎ ‎23．（1）；（2）2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）原式等价于，两边同时平方，解不等式即可；‎ ‎（2）利用绝对值不等式和柯西不等式即可.‎ 试题解析：（1）‎ 解得，故原不等式的解集为 ‎（2）‎ 由柯西不等式：‎ 从而，即，取等条件为 故的最小值为 考点：绝对值不等式的解法；绝对值不等式性质；柯西不等式.‎