数学文卷·2018届广东省揭阳市惠来县一中高三下学期第一次阶段考试（2018 11页

惠来一中2017--2018年度第二学期第一次阶段考试 高三文科数学试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1集合，，则A∩B=（　　）‎ A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{2，3，4}‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点位于复平面的（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.下列命题中，为真命题的是 （ ） ‎ A. 若命题：，使得，则：,‎ B. 使得 ‎ C. ‎ D. ‎ ‎4. 执行如图所示的程序框图，输出的的值为( )‎ A. 29 B. 44 C. 52 D. 62 ‎ ‎5．“”是“方程表示椭圆”‎ 的 （ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是BC1、‎ CD1的中点，则下列说法错误的是（　　 ）‎ A．MN∥平面ABCD B．MN∥AB ‎ C．MN⊥AC D．MN⊥CC1 ‎ ‎7.函数的图象大致为（　 　）‎ A. B． ‎ C． D．‎ ‎8.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折起，折后成四面体A﹣BCD，则四面体 A﹣BCD的外接球的体积为（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知实数满足不等式组，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.对于函数，部分与的对应关系如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎8‎ 数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则的值为（　 　）‎ A．4054 B．5046 C．5075 D．6047‎ ‎11.已知双曲线（， ）的右焦点为，过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点，点在第一象限， 为坐标原点，若的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数与的图象上存 在关于直线对称的点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）‎ ‎13.设等差数列的前项和为,若,则 .‎ ‎14. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方=0.5x+45．‎ 零件数x个 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y（min）‎ ‎53‎ ‎60‎ ‎63‎ ‎67‎ 现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为　 　．‎ 15. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问 有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为　 　平万千米．‎ 16. 如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直 线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若， ‎ ‎，则m+n的取值范围为　 　．‎ 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为,,，．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若，求△ABC的面积．‎ ‎18.（本题满分12分）某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120），历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156，一年按364天计．‎ ‎（1）请把频率分布直方图补充完整；‎ ‎（2）已知一台小型发电机，需30万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利润为4000元，若不运行，则每天亏损500元；一台中型发电机，需60万立方米以上的日泄流量才能运行，运行一天可获利10000元，若不运行，则每天亏损800元；根据历年日泄流量的水文资料，水电站决定安装一台发电机，为使一年的总利润值最大，应安装哪种发电机？‎ ‎19.（本题满分12分）如图，△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM，四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，且AB=2BC=2CM=2，平面ADM⊥平面ABCM．‎ ‎（1）求证：AD⊥平面BDM；‎ ‎（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M﹣ADE的体积为？‎ ‎20．（本题满分12分）已知圆O：过椭圆C：（a＞b＞0）的短轴端点，椭圆C的离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．‎ ‎21．（本题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性;‎ ‎（2）当函数有两个不相等的零点时,证明:.‎ 选做题（本题满分10分）请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做 的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎22．选修4－4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程与直线的普通方程；‎ ‎（2）设曲线C与直线相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积 ．‎ 23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若的定义域为，求实数的取值范围．‎ 惠来一中2017--2018年度第二学期第一次阶段考试 高三文科数学参考答案 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 A B A A C B D C C D C A 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）‎ ‎13、12 14、57 15、21 16、[2，+∞）‎ 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. （满分12分）解：（1）∵sinB﹣cosB=1，可得：sin（B﹣）=，‎ ‎∵B∈（0，π），可得：B﹣∈（﹣，），‎ ‎∴B﹣=，可得：B=． …………6分 ‎（2）∵B=，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣ac，‎ 又∵b2=ac，‎ ‎∴a2+c2﹣ac=ac，可得：a=c=2，‎ ‎∴S△ABC===． …………12分 18． ‎（满分12分）‎ 解：（1）在区间[30，60）的频率为，‎ ‎，‎ 设在区间[0，30）上，，‎ 则，‎ 解得，‎ 补充频率分布直方图如右. …………6分（图3分）‎ ‎（2）当日泄流量X≥30（万立方米）时，小型发电机可以运行，则一年中一台小型发电机可运行的天数为：（天）；‎ 当日泄流量X≥60（万立方米）时，中型发电机可以运行，则一年中一台中型发电机可运行的天数为：（天）；‎ ① 若运行一台小型发电机，则一年的总利润值为：‎ ‎（元）‎ ② 若运行一台中型发电机，则一年的总利润值为：‎ ‎（元）‎ 因为，故为使水电站一年的总利润值最大，应安装中型发电机． …………12分 18． ‎（满分12分）‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，AB=2BC=2MC=2，‎ ‎∴BM=AM=，∴BM2+AM2=AB2，即AM⊥BM．‎ ‎∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，‎ ‎∴BM⊥平面DAM，又DA⊂平面DAM，‎ ‎∴BM⊥AD，又AD⊥DM，DM⊂平面BDM，BM⊂平面BDM，DM∩BM=M，‎ ‎∴AD⊥平面BDM． …………6分 ‎（2）解:由（1）可知BM⊥平面ADM，BM=，‎ 设，则E到平面ADM的距离d=．‎ ‎∵△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM，AM=，∴AD=DM=1，‎ ‎∴VM﹣ADE=VE﹣ADM==，即=．‎ ‎∴ ∴E为BD的中点． …………12分 19． ‎（满分12分） 解：（1）∵圆O过椭圆C的短轴端点，∴b=1，又∵，∴a=2.‎ ‎∴椭圆C的标准方程为． …………3分 ‎（2）由题意可设切线MN的方程为y=kx+t，即kx﹣y+t=0，则，得k2=t2﹣1．①‎ ‎ …………5分 联立得方程组，消去y整理得（k2+4）x2+2ktx+t2﹣4=0．…………6分 其中△=（2kt）2﹣4（k2+4）（t2﹣4）=﹣16t2+16k2+64=48＞0，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，…………7分 则．② …………8分 将①代入②得，∴，…………9分 而，等号成立当且仅当，即．…………11分 综上可知：（S△OMN）max=1． …………12分 18． ‎（满分12分）‎ 解:（1）当时，在单调递增； ‎ ‎ …………2分 当时，在单调递增；在单调递减.‎ ‎…………5分 ‎（2）不妨设，由题意得 ‎…………6分 相加，相减得：，要证，只需证 ‎==，只需证 ‎ …………8分 只需证，设，只需证 ‎ …………10分 设，则，，所以原命题成立.‎ ‎…………12分 选做题（本题满分10分）‎ ‎22．（满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解:（1）对于C：由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x；‎ 对于l：由，消去参数t得y＝ （x－5），‎ 即． …………5分 ‎（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，‎ 则弦心距d＝＝，弦长|PQ|＝2＝，‎ 因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积为S＝2d·|PQ|＝．…………10分 ‎23．（满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（1）原不等式等价于,因此不等式的解集为 . …………5分 ‎（2）由于的定义域为,则在上无解.又 ‎,即的最小值为,所以，即.‎ ‎ …………10分