【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量学案理 23页

专题 08 平面向量 高考侧重考查正、余弦定文与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一 般为中档题，各种题型均有可能出现．高考仍将以正、余弦定文的综合应用为主要考点，重 点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力． 1．向量的基本概念 (1)既有大小又有方向的量叫做向量． (2)零向量的模为 0，方向是任意的，记作 0. (3)长度等于 1 的向量叫单位向量． (4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量． (5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行． 2．共线向量定文 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa. 3．平面向量基本定文 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且 只有一对实数 λ1、λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. 4．两向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，在平面上任取一点 O，作OA→ ＝a，OB→ ＝b，则∠AOB＝ θ(0°≤θ≤180°)叫作 a 与 b 的夹角． 5．向量的坐标表示及运算 (1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)． (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB → ＝(x2－x1，y2－y1)． 6．平面向量共线的坐标表示 已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2， y2)， 当且仅当 x1y2－x2y1＝0 时，向量 a 与 b 共线． 7．平面向量的数量积 设 θ 为 a 与 b 的夹角． (1)定义：a·b＝|a||b|cosθ. (2)投影： a·b |b| ＝|a|cosθ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影． 8．数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0； (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地， a·a＝|a|2； (3)|a·b|≤|a|·|b|； (4)cosθ＝ a·b |a|·|b|. 9．数量积的坐标表示、模、夹角 已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|a|＝ x21＋y21； (3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0； (4)cosθ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22. 【误区警示】 1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0 与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0 与〈a，b〉 为钝角不等价． 2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别． 3．a 在 b 方向上的投影为 a·b |b| ，而不是 a·b |a| . 4．若 a 与 b 都是非零向量，则 λa＋μb＝0⇔a 与 b 共线，若 a 与 b 不共线，则 λa＋ μb＝0⇔λ＝μ＝0. 考点一　平面向量的概念及线性运算 例 1．【2017 山东，文 11】已知向量 a=（2,6）,b= ,若 a||b,则 . 【答案】-3 【解析】由 a||b 可得 【变式探究】已知向量 a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且 a∥b，则 m＝________. ( 1, )λ− λ = 1 6 2 3.λ λ− × = ⇒ = − 【答案】－6 【解析】基本法：∵a∥b，∴a＝λb 【方法技巧】平面向量线性运算的两种技巧 (1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用 三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算． (2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向 量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当 b≠0 时，a∥b⇔存在唯一实数 λ，使 得 a＝λb)来判断． 【变式探究】(1)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC→ ＝(－4，－3)，则向量BC→ ＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　　　B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 【答案】A 【解析】基本法：设 C(x，y)，则AC→ ＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以Error!从而BC→ ＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选 A. 速解法：∵AB→ ＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC→ ＝AC→ －AB→ ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两 向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解． (2)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB→ ＋FC→ ＝(　　) A.AD→ B. 1 2AD→ C.BC→ D. 1 2BC→ 【答案】A 【解析】基本法一：设AB→ ＝a，AC→ ＝b，则EB→ ＝－ 1 2b＋a，FC→ ＝－ 1 2a＋b，从而EB→ ＋FC→ ＝ (－ 1 2b＋a)＋(－ 1 2a＋b)＝ 1 2(a＋b)＝AD→ ，故选 A. 基本法二：如图，EB→ ＋FC→ ＝EC→ ＋CB→ ＋FB→ ＋BC→ ＝EC→ ＋FB→ ＝ 1 2(AC→ ＋AB→ ) ＝ 1 2·2AD→ ＝AD→ . 考点二　平面向量数量积的计算与应用 例 2．【2017 课标 3，文 13】已知向量 ，且 ，则 m= . 【答案】2 【解析】由题意可得： . 【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量BA→ ＝(1 2， 3 2 )，BC→ ＝( 3 2 ， 1 2)，则 ∠ABC＝(　　) A．30°　　　　　　　　B．45° C．60° D．120° 【答案】A ( 2,3), (3, )a b m= − =  a b⊥  2 3 3 0, 2m m− × + = ∴ = 【变式探究】(1)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】基本法：因为 2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，所 以(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.故选 C. 速解法：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3， 从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.故选 C. 【方法规律】 1．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2＝a2，将模的平 方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利 用公式“cos〈a，b〉＝ a·b |a|·|b|”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决． 2．求解向量数量积最值问题的两种思路 (1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值． (2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值． 【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义 法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有 向线段可用坐标表示，计算向量较简单． (2)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则AE→ ·BD→ ＝________. 【答案】2 B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)， ∴AE→ ＝(1,2)，BD→ ＝(－2,2)， ∴AE→ ·BD→ ＝1×(－2)＋2×2＝2. 1.【2017 课标 II，文 4】设非零向量 ， 满足 则 A. ⊥ B. C. ∥ D. 【答案】A 【解析】由 平方得 ，即 ， 则 ，故选 A. 2.【2017 山东，文 11】已知向量 a=（2,6）,b= ,若 a||b,则 . 【答案】-3 【解析】由 a||b 可得 3.【2017 北京，文 12】已知点 P 在圆 上，点 A 的坐标为(-2,0)，O 为原点， 则 的最大值为_________． 【答案】6 【解析】 所以最大值是 6. 4.【2017 课标 3，文 13】已知向量 ，且 ，则 m= . 【答案】2 【解析】由题意可得： . 5.【2017 天津，文 14】在△ABC 中， ，AB=3，AC=2.若 ， （ ），且 ，则 的值为 . 【答案】 a b + = -b ba a a b = ba a b > ba | | | |a b a b+ = −    2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )a ab b a ab b+ + = − +      0ab = a b⊥  ( 1, )λ− λ = 1 6 2 3.λ λ− × = ⇒ = − 2 2 =1x y+ AO AP⋅  ( 2,3), (3, )a b m= − =  a b⊥  2 3 3 0, 2m m− × + = ∴ = 60A∠ = ° 2BD DC=  AE AC ABλ= −   λ ∈R 4AD AE⋅ = −  λ 3 11 6.【2017 课标 1，文 13】已知向量 a=（–1，2），b=（m，1）．若向量 a+b 与 a 垂直， 则 m=________． 【答案】7 【解析】由题得 ，因为 ，所以 ，解 得 ． 7.【2017 江苏，12】如图,在同一个平面内，向量 , , 的模分别为 1,1, , 与 的夹角为 , 且 tan =7, 与 的夹角为 45°.若 , 则 ▲ . 【答案】3 8.【2017 江苏，16】 已知向量 （1）若 a∥b,求 x 的值； （2）记 ,求 的最大值和最小值以及对应的 的值. 【答案】（1） （2） 时， 取到最大值 3； 时， 取到 ( )1,3a b m+ = − ( ) 0a b a+ ⋅ = ( )1 2 3 0m− − + × = 7m = OA OB OC 2 OA OC α α OB OC OC mOA nOB= +   ( , )m n∈R m n+ = (cos , sin ), (3, 3), [0,π].x x x= = − ∈a b ( )f x = ⋅a b ( )f x x 5π 6x = 0x = ( )f x 5π 6x = ( )f x α A C B O (第 12 题) 最小值 . 【解析】 （1）因为 ， ，a∥b， 所以 . 若 ，则 ，与 矛盾，故 . 于是 . 1.【2016 高考新课标 2 文数】已知向量 ，且 ，则 （ ） （A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8 【答案】D 【解析】向量 ，由 得 ，解得 ，故选 D. 2.【2016 高考江苏卷】如图，在 中， 是 的中点， 是 上的两个 三等分点， ， ，则 的值是 ▲ . 2 3− ( )cos ,sina x x= ( )3, 3b = − 3cos 3sinx x− = cos 0x = sin 0x = 2 2sin cos 1x x+ = cos 0x ≠ 3tan 3x = − (1, ) (3, 2)a m a= − ，= ( )a b b⊥  + m = a b (4,m 2)+ = −  (a b) b+ ⊥   4 3 (m 2) ( 2) 0× + − × − = m 8= ABC∆ D BC ,E F ,A D 4BC CA⋅ =  1BF CF⋅ = −  BE CE⋅  【答案】 【解析】因为 ， ， 因此 ， 3.【2016 年高考四川文数】在平面内，定点 A，B，C，D 满足 = = , = = =-2，动点 P，M 满足 =1， = ，则 的最大值 是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】甴已知易得 .以 为原点，直 7 8 2 2 2 2 1 1 4 36= 42 2 4 4 AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD − −⋅ = − ⋅ − − = =         （ ）（ ） 2 2 1 1 1 1 4 12 3 2 3 4 FD BCBF CF BC AD BC AD −⋅ = − ⋅ − − = = −       （ ）（ ） 2 25 13,8 2FD BC= =  2 2 2 2 1 1 4 16 7.2 2 4 4 8 ED BC FD BCBE CE BC ED BC ED − −⋅ = − ⋅ − − = = =         （ ）（ ） DA DB DC DA ⋅ DB DB ⋅ DC DC ⋅ DA AP PM MC 2 BM 43 4 49 4 37 6 3 4 + 37 2 33 4 + 1 220 , DAADC ADB D DBDC B C∠ = ∠ = = = =∠ =°    D 4.【2016 高考江苏卷】如图，在 中， 是 的中点， 是 上的两个 三等分点， ， ，则 的值是 ▲ . 【答案】 【解析】因为 ， ， 因 此 ， ABC∆ D BC ,E F ,A D 4BC CA⋅ =  1BF CF⋅ = −  BE CE⋅  7 8 2 2 2 2 1 1 4 36= 42 2 4 4 AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD − −⋅ = − ⋅ − − = =         （ ）（ ） 2 2 1 1 1 1 4 12 3 2 3 4 FD BCBF CF BC AD BC AD −⋅ = − ⋅ − − = = −       （ ）（ ） 2 25 13,8 2FD BC= =  2 2 2 2 1 1 4 16 7.2 2 4 4 8 ED BC FD BCBE CE BC ED BC ED − −⋅ = − ⋅ − − = = =         （ ）（ ） 【2015 高考福建，文 9】已知 ，若 点是 所在 平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ） A．13 B． 15 C．19 D．21 【答案】A 【2015 高考湖北，文 11】已知向量 ， ，则 . 【答案】9 【解析】因为 ， ， 所以 . 【2015 高考山东，文 4】已知菱形 的边长为 ， ,则 （ ） （A） （B） （C） （D） 1, ,AB AC AB AC tt ⊥ = =    P ABC∆ 4AB ACAP AB AC = +     PB PC⋅  x y B C A P OA AB⊥  | | 3OA = OA OB• =  OA AB⊥  | | 3OA = OA OB• =  93||||)( 222 ===•+=+• OAOBOAOAABOAOA ABCD a 60ABC∠ =  BD CD⋅ =  23 2 a− 23 4 a− 23 4 a 23 2 a 【答案】D 【解析】因为 故选 D. 【2015 高考陕西，文 7】对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【2015 高考四川，文 7】设四边形 ABCD 为平行四边形， ， .若点 M， N 满足 ， ，则 （ ） （A）20 （B）15 （C）9 （D）6 【答案】C 【解析】 ，所以 ，选 C. 【2015 高考安徽，文 8】 是边长为 的等边三角形，已知向量 ， 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】如图， ( )BD CD BD BA BA BC BA⋅ = ⋅ = + ⋅       ( )2 2 2 23cos60 2BA BC BA a a a+ ⋅ = + =   ,a b  | | | || |a b a b⋅ ≤    | | || | | ||a b a b− ≤ −    2 2( ) | |a b a b+ = +    2 2 ( )( )a b a b a b+ − = −      6AB = 4AD = 3BM MC=  2DN NC=  AM NM⋅ =  3 1 1,4 4 3AM AB AD NM CM CN AD AB= + = − = − +        2 21 1 1 1(4 3 ) (4 3 ) (16 9 ) (16 36 9 16) 94 12 48 48AM NM AB AD AB AD AB AD= + − = − = × − × =          C∆ΑΒ 2 a b 2aΑΒ =  C 2a bΑ = +  1b = a b⊥  1a b⋅ = ( )4 Ca b+ ⊥ Β 【2015 高考福建，文 9】已知 ，若 点是 所在 平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ） A．13 B． 15 C．19 D．21 【答案】A 1, ,AB AC AB AC tt ⊥ = =    P ABC∆ 4AB ACAP AB AC = +     PB PC⋅  x y B C A P 【2015 高考天津，文 14】在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则 的最小值为 . 【答案】 【解析】因为 ， ， ， ， 当且仅当 即 时 的最小值为 . 1. 【2014 高考福建卷第 8 题】在下列向量组中，可以把向量 表示出来的是 （ ） A. B . C. D. 【答案】B 【解析】由于平面向量的基本定文可得,不共线的向量都可与作为基底.只有 ABCD / / , 2, 1, 60AB DC AB BC ABC= = ∠ =  E F BC DC 1, ,9BE BC DF DCλ λ= =    AE AF⋅  29 18 1 ,9DF DCλ=  1 2DC AB=  1 1 9 1 9 9 9 18CF DF DC DC DC DC AB λ λ λ λ λ − −= − = − = =       AE AB BE AB BCλ= + = +     1 9 1 9 18 18AF AB BC CF AB BC AB AB BC λ λ λ λ − += + + = + + = +         ( ) 2 21 9 1 9 1 9118 18 18AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λ λ λλ λ λλ λ λ + + +   ⋅ = + ⋅ + = + + + ⋅ ⋅                 1 9 19 94 2 1 cos12018 18 λ λλλ + += × + + × × × ° 2 1 17 2 1 17 2929 2 18 9 2 18 18 λ λλ λ= + + ≥ ⋅ + = 2 1 9 2 λλ = 2 3 λ = AE AF⋅  29 18 BA D C E F ( )2,3=a )2,1(),0,0( 21 == ee )2,5(),2,1( 21 −=−= ee )10,6(),5,3( 21 == ee )3,2(),3,2( 21 −=−= ee 成立.故选 B. 【考点定位】平面向量的基本定文. 2.【2014 高考广东卷文第 5 题】已知向量 ，则下列向量中与 成 的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【考点定位】空间向量数量积与空间向量的坐标运算 3. 【2014 高考湖南卷第 16 题】在平面直角坐标系中, 为原点, 动点 满足 =1，则 的最大值是_________. 【答案】 【考点定位】参数方程、三角函数 4. 【2014 高考江苏卷第 12 题】如图在平行四边形 中，已知 ， ，则 的值是 . )2,5(),2,1( 21 −=−= ee ( )1,0, 1a = − a 60 ( )1,1,0− ( )1, 1,0− ( )0, 1,1− ( )1,0,1− O ( ) ),0,3(),3,0(,0,1 CBA − D CD OA OB OD+ +   1 7+ ABCD 8, 5AB AD= = 3 , 2CP PD AP BP= ⋅ =    AB AD⋅  【答案】22 【解析】由题意， ， ， 所以 ， 即 ，解得 ． 【考点定位】向量的线性运算与数量积． 5. 【2014 陕西高考文第 13 题】设 ，向量 ， 若 ，则 _______. 【答案】 【解析】因为 ，所以 ，即 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故答案为 【考点定位】共线定文；三角恒等变换. 6. 【2014 高考安徽卷文第 10 题】在平面直角坐标系 中，已知向量 点 满足 .曲线 ，区域 .若 为两段分离的曲线，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 1 4AP AD DP AD AB= + = +     3 3 4 4BP BC CP BC CD AD AB= + = + = −       1 3( ) ( )4 4AP BP AD AB AD AB⋅ = + ⋅ −      2 21 3 2 16AD AD AB AB= − ⋅ −    1 32 25 642 16AD AB= − ⋅ − ×  22AD AB⋅ =  20 πθ << ( ) ( )1coscos2sin ，，， θθθ ba  = ba  // =θtan 1 2 ba  // 2sin 2 1 cos 0θ θ× − = 2sin 2 cosθ θ= 22sin cos cosθ θ θ= 20 πθ << cos 0θ ≠ 2sin cosθ θ= sin 1tan cos 2 θθ θ= = 1 2 xOy , , 1, 0,a b a b a b= = ⋅ =      Q 2( )OQ a b= +   { cos sin ,0 2 }C P OP a bθ θ θ π= = + ≤ ≤   { 0 , }P r PQ R r RΩ = < ≤ ≤ < C Ω 1 3r R< < < 1 3r R< < ≤ 1 3r R≤ < < 1 3r R< < < A D C B P 【考点定位】平面向量的应用、线性规划. 7. 【2014 高考北京卷文第 10 题】已知向量 、 满足 ， ，且 （ ），则 . 【答案】 【解析】当 ，则 ，于是 ，因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 . 【考点定位】平面向量的模 8. 【2014 高考湖北卷文第 11 题】设向量 ， ，若 ，则实数 . 【答案】 【解析】 【考点定位】平面向量的坐标运算、数量积 10. 【2014 江西高考文第 15 题】已知单位向量 与 的夹角为 ，且 ，向 a b 1|| =a )1,2(=b 0ba =+λ Rλ ∈ | |λ = 5 0=+ baλ ab λ−= |||||| a⋅= λb )1,2(=b 5|| =b 1|| =a 5|| =λ (3,3)a = (1, 1)b = − ( ) ( )a b a bλ λ+ ⊥ −    λ = 3± 1e 2e α 1cos 3 α = 量 与 的夹角为 ，则 = . 【答案】 【解析】因为 所以 【考点定位】向量数量积及夹角 11. 【2014 辽宁高考文第 5 题】设 是非零向量，已知命题 P：若 ， ，则 ；命题 q：若 ，则 ，则下列命题中真命题是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，命题 P 是假命题；命题 q 是真命题，故 为真命题. 【考点定位】命题的真假 12. 【2014 全国 1 高考文第 15 题】已知 为圆 上的三点，若 ，则 与 的夹角为_______． 【答案】 ． 【解析】由 ，故 三点共线，且 是线段 中点，故 是圆 的直径，从而 ，因此 与 的夹角为 【考点定位】平面向量基本定文 13. 【2014 全国 2 高考文第 3 题】设向量 a,b 满足|a+b|= ，|a-b|= ，则 a b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】因为 =10， ，两式相加得： ，所以 ，故选 A. 1 23 2a e e= −   1 23b e e= −   β cos β 2 2 3 2 21 1 19 4 2 3 2 9, 9 1 2 3 1 8, 9 2 9 1 1 8,3 3 3a b a b= + − × × × = = + − × × × = ⋅ = + − × × × =    8 2 2cos .33 2 2 β = = × , ,a b c   0a b• =  0b c• =  0a c• =  / / , / /a b b c    / /a c  p q∨ p q∧ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ ( )p q∨ ¬ p q∨ CBA ,, O ( )ACABAO += 2 1 AB AC 090 1 +2AO AB AC=  （ ） , ,O B C O BC BC O 090BAC∠ = AB AC 090 10 6 ⋅ 2 2| | ( )a b a b+ = + =    2 2 2a b a b+ + ⋅    2 2| | ( )a b a b− = − =    2 2 2 6a b a b+ − ⋅ =    2 2 8a b+ =  1a b⋅ =  【考点定位】本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量 14. 【2014 高考安徽卷文第 15 题】已知两个不相等的非零向量 两组向量 和 均由 2 个 和 3 个 排列而成.记 ， 表示 所有可能取值中的最小值.则下 列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）. ① 有 5 个不同的值. ②若 则 与 无关. ③若 则 与 无关. ④若 ，则 . ⑤若 ，则 与 的夹角为 ，∴ ，∴ ， 故⑤错误.所以正确的编号为②④ 【考点定位】平面向量的运算、平面向量的数量积. 15. 【2014 四川高考文第 7 题】平面向量 ， ， （ ），且 与 的夹角等于 与 的夹角，则 （ ） A． B． C． D． ,,ba 54321 ,,,, xxxxx 54321 ,,,, yyyyy a b 5544332211 yxyxyxyxyxS ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= minS S S ,ba ⊥ minS a ,ba∥ minS b ab 4> 0min >S 2 min| | 2 | |, 8| |b a S a= =   a b 4 π 2 2 2 2 min 3 4 ( ) 8| | cos 4 | | 8| |S S a b b a a aθ= = ⋅ + = + =      2cos 1θ = 3 πθ = (1,2)a = (4,2)b = c ma b= +   m R∈ c a c b m = 2− 1− 1 2 【答案】 D. 【解析】 由题意得： ， 选 D. 法二、由于 OA，OB 关于直线 对称，故点 C 必在直线 上，由此可得 【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算. 16. 【2014 浙江高考文第 8 题】记 ， ， 设 为平面向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】Ｄ 【考点定位】向量运算的几何意义. 17. 【2014 重庆高考文第 4 题】已知向量 ，且 ，则实数 =（ ） D. 【答案】C 5 8 8 20 2 5 2 5 c a c b c a c b m m m c a c b a b ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + += ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅               y x= y x= 2m = ,max{ , } , x x yx y y x y ≥=  < ,min{ , } , y x yx y x x y ≥=  < ,a b  min{| |,| |} min{| |,| |}a b a b a b+ − ≤ min{| |,| |} min{| |,| |}a b a b a b+ − ≥ 2 2 2 2min{| | ,| | } | | | |a b a b a b+ − ≥ + 2 2 2 2min{| | ,| | } | | | |a b a b a b+ − ≤ + ( ,3), (1,4), (2,1)a k b c= = =   (2 3 )a b c− ⊥   k 9. 2A − .0B .C 3 15 2 【考点定位】平面向量的坐标运算、平面向量的数量积. 19. 【2014 大纲高考文第 4 题】若向量 满足： 则 （ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B． 【解析】 把①代入② 得 故选 B． 【考点定位】1.向量垂直的充要条件；2. 平面向量的数量积运算． 20. 【2014 高考陕西第 18 题】在直角坐标系 中，已知点 ， 点 在 三边围成的 区域（含边界）上 （1）若 ，求 ； （2）设 ，用 表示 ，并求 的最大值. 【答案】（1） ；（2） ，1. 【解析】（1）因为 所以 ,a b  ( ) ( )1, , 2 ,a a b a a b b= + ⊥ + ⊥       b = 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0, 1 ,, 2 , 1, 2 0, 2 0 a b a a b aa b a a b b a a b b a b b  + ⋅ = ⋅ = − = − + ⊥ + ⊥ = ∴ ∴  + ⋅ =  ⋅ + =                    ① ②. 22 2 2 0, 2, 2,b b b− + = ∴ = ∴ =   xOy )2,3(),3,2(),1,1( CBA ),( yxP ABC∆ 0=++ PCPBPA OP ),( RnmACnABmOP ∈+= yx, nm − nm − 2 2 m n y x− = − 0PA PB PC+ + =    ( ) ( ) ( ) 0OA OP OB OP OC OP− + − + − =       【考点定位】平面向量的线性运算、线性规划. 21.【2014 高考上海文科第 16 题】如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱， 是上底面上其余的八个点，则 的不同值的个 数为（ ） （A）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】A 【解析】如图， 与上底面垂直，因此 ， ． 【考点定位】数量积的定义与几何意义． ,...)2,1( =iPi ...)2,1( =⋅ →→ iAPAB i AB iAB BP⊥ ( 1,2, )i =  cos 1i i iAB AP AB AP BAP AB AB⋅ = ∠ = ⋅ =      22.【2014 高考上海文科第 14 题】已知曲线 C： ，直线 l：x=6.若对于点 A （m，0）,存在 C 上的点 P 和 l 上的点 Q 使得 ，则 m 的取值范围为 . 【答案】 【考点定位】向量的坐标运算． 24x y= − − 0AP AQ+ =   [2,3]