【数学】2019届一轮复习人教A版理选修4－5第2节　不等式的证明教案 10页

第二节　不等式的证明 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．‎ ‎(对应学生用书第206页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．基本不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．‎ ‎2．柯西不等式 ‎(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．‎ ‎(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．‎ ‎(3)柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，‎ 则＋≥.‎ ‎(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．‎ ‎3．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等．‎ ‎(1)比较法：‎ ‎①比差法的依据是：a－b>0⇔a>b步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．‎ ‎②比商法：若B>0，欲证A≥B，只需证≥1.‎ ‎(2)综合法与分析法：‎ ‎①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．‎ ‎②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．(　　)‎ ‎(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．(　　)‎ ‎(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(　　)‎ ‎(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　)‎ A．x＞y　　　　　　 B．x＜y C．x≥y D．x≤y A　[x－y＝a＋－ ‎＝a－b＋＝.‎ 由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，‎ 所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.]‎ ‎3．若a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b A　[“分子”有理化得a＝，b＝，c＝，∴a>b>c.]‎ ‎4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________. ‎ ‎【导学号：97190403】‎ ‎4　[由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，‎ ‎∴＋＝(a＋b)＝2＋＋ ‎≥2＋2＝4，‎ 当且仅当a＝b＝时等号成立．]‎ ‎5．已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.‎ ‎[证明]　因为x＞0，y＞0，‎ 所以1＋x＋y2≥3＞0,1＋x2＋y≥3＞0，‎ 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)‎ ‎≥3·3＝9xy.‎ ‎(对应学生用书第207页)‎ 比较法证明不等式 ‎　已知a＞0，b＞0，求证：＋≥＋.‎ ‎[证明]　法一：∵－(＋)‎ ‎＝＋＝＋ ‎＝＝≥0，‎ ‎∴＋≥＋.‎ 法二：由于＝ ‎＝ ‎＝－1‎ ‎≥－1＝1.‎ 又a＞0，b＞0，＞0，‎ ‎∴＋≥＋.‎ ‎[规律方法]　作差比较法证明不等式的步骤：(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.‎ 注：作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第(3)步要判断商与“1”的大小.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·南京、盐城、连云港二模)设a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2)．‎ ‎[证明]　因为a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2)‎ ‎＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2‎ ‎＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4.‎ 又a≠b，所以(a－b)4>0，‎ 所以a4＋6a2b2＋b4>4ab(a2＋b2)．‎ 综合法证明不等式 ‎　(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；‎ ‎(2)a＋b≤2.‎ ‎[证明]　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6‎ ‎＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)‎ ‎≤2＋(a＋b)＝2＋，‎ 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.‎ ‎[规律方法]　1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒”.‎ ‎2.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.‎ ‎[跟踪训练]　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：‎ ‎(1)＋＋≥8；‎ ‎(2)≥9.‎ ‎[证明]　(1)∵a＋b＝1，a>0，b>0，‎ ‎∴＋＋＝＋＋ ‎＝2＝2 ‎＝2＋4≥4＋4＝8‎ ‎(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，‎ ‎∴＋＋≥8.‎ ‎(2)∵＝＋＋＋1，由(1)知＋＋≥8.‎ ‎∴≥9.‎ 用分析法证明不等式 ‎　(1)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥；‎ ‎(2)设x≥1，y≥1，求证x＋y＋≤＋＋xy. 【导学号：97190404】‎ ‎[证明]　(1)因为a，b，c>0，‎ 所以要证a＋b＋c≥，‎ 只需证明(a＋b＋c)2≥3.‎ 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，‎ 而ab＋bc＋ca＝1，‎ 故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)‎ ‎≥3(ab＋bc＋ca)．‎ 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．‎ 所以原不等式成立．‎ ‎(2)由于x≥1，y≥1，‎ 要证x＋y＋≤＋＋xy，‎ 只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.‎ 因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]‎ ‎＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]‎ ‎＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)‎ ‎＝(xy－1)(xy－x－y＋1)‎ ‎＝(xy－1)(x－1)(y－1)，‎ 因为x≥1，y≥1，‎ 所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，‎ 从而所要证明的不等式成立．‎ ‎[易错警示]　分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·广州综合测试(二))(1)已知a＋b＋c＝1，证明：(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥；‎ ‎(2)若对任意实数x，不等式|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[证明]　(1)法一：因为a＋b＋c＝1，‎ 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2＝a2＋b2＋c2＋2(a＋b＋c)＋3＝a2＋b2＋c2＋5.‎ 所以要证(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥，‎ 只需证a2＋b2＋c2≥.‎ 因为a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)‎ ‎≥(a＋b＋c)2－2(a2＋b2＋c2)，‎ 所以3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2.‎ 因为a＋b＋c＝1，所以a2＋b2＋c2≥.‎ 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥.‎ 法二：因为a＋b＋c＝1，‎ 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2＝a2＋b2＋c2＋2(a＋b＋c)＋3＝a2＋b2＋c2＋5.‎ 所以要证(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥，‎ 只需证a2＋b2＋c2≥.‎ 因为a2＋≥a，b2＋≥b，c2＋≥c，‎ 所以a2＋b2＋c2＋≥(a＋b＋c)．‎ 因为a＋b＋c＝1，‎ 所以a2＋b2＋c2≥.‎ 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥.‎ 法三：因为(a＋1)2＋≥(a＋1)，‎ ‎(b＋1)2＋≥(b＋1)，‎ ‎(c＋1)2＋≥(c＋1)，‎ 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2＋≥[(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)]．‎ 因为a＋b＋c＝1，‎ 所以(a＋1)2＋(b＋1)2＋(c＋1)2≥.‎ ‎(2)设f(x)＝|x－a|＋|2x－1|，‎ 则“对任意实数x，不等式|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立”等价于“f(x)min≥2”．‎ 当a<时，f(x)＝ 此时f(x)min＝f＝－a，‎ 要使|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立，‎ 必须－a≥2，‎ 解得a≤－.‎ 当a＝时，f(x)＝＋|2x－1|＝3≥2，即≥不可能恒成立．‎ 当a>时，f(x)＝ 此时f(x)min＝f＝a－，‎ 要使|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立，‎ 必须a－≥2，‎ 解得a≥.‎ 综上所述，实数a的取值范围为∪.‎ ‎ ‎ 柯西不等式的应用 ‎　已知x，y，z均为实数．‎ ‎(1)若x＋y＋z＝1，求证：＋＋≤3；‎ ‎(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．‎ ‎[解]　(1)证明：因为(＋＋)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27.‎ 所以＋＋≤3.‎ 当且仅当x＝，y＝，z＝0时取等号．‎ ‎(2)因为6＝x＋2y＋3z≤·，‎ 所以x2＋y2＋z2≥，‎ 当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时，x2＋y2＋z2有最小值.‎ ‎[规律方法]　1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.,2.利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a＋a＋…＋a≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.‎ ‎[跟踪训练]　(2017·江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.‎ ‎[证明]　由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．‎ 因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，‎ 所以(ac＋bd)2≤64，‎ 因此ac＋bd≤8.‎