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- 2021-06-11 发布
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2018届高三毕业班摸底联考
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合,集合,则下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得,,所以D对。
2. 已知(是虚数单位),那么复数对应的点位于复平面内的( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】,所以复数所对应点为在第一象限,选A.
3. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A. 100,20 B. 200,20 C. 200,10 D. 100,10
【答案】B
【解析】由图可知总学生数是10000人,样本容量为10000=200人,高中生40人,由乙图可知高中生近视率为,所以人数为人,选B.
4. 若角满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得,选D.
5. 已知满足约束条件,则的最小值为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 4
【答案】A
【解析】由约束条件画出可行域如下图,目标函数变形为y=-2x+z,所以z的最大值,就是截距最大,由图可知,直线过B(3,0)时,截距最大,即,填6.
6. 如图,函数(,)的图象过点,则的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得A=2,f(0)=由所以,,选B.
7. 双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得,所以渐近线方程为,选D.
8. 执行如图的程序框图,那么输出的的值是( )
A. B. C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】由题意可得:初如值S=2,k=2015,
S=-1,k=2016<2018
S=,k=2017<2018
输出2,选C.
9. 在如图所示的正方体中,分别棱是的中点,异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如下图,过E点作EM//AB,过M点作MN//AD,取MN中点G,所以面EMN//面ABCD,EG//BF, 异面直线与所成角,转化为,不妨设正方形边长为2,GE=,,在中,由余弦定理,选D.
10. 已知椭圆的一条弦所在的直线方程是,弦的中点坐标是,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线与椭圆交点为,分别代入椭圆方程,由点差法可知代入k=1,M(-4,1),解得,选C.
11. 设函数,则零点的个数为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】由题意可得,导数零点为,所以函数f(x)在单调递增,在()单调递减,
由,所以函数f(x)在各有一零点,所以零点个数为2个,选B.
【点睛】
函数数零点问题,常根据零点存在性定理来判断,如果函数y=f(x)在区间a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0, 这个c也就是方程f(x)=0的根.
12. 三棱锥中,为等边三角形,,,三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得PA,PB,PC两两相等,底面是正三角形,所以三棱锥P-ABC是正棱锥,P在底面的身影是底面正三角形的中心O,由面PAO,再由,可知面PBC,所以可知,即PA,PB,PC两两垂直,由于是球外接球,所以正三棱锥P-ABC可以看成正方体切下来的一个角,与原正方体共外接球,所以。
【点睛】对于三条侧棱两两垂直的三棱锥求外接球表面积或体积时,我们常把三棱锥补成长(正)方体,利用公式,求得球的半径。
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13. 已知,,向量与的夹角为,则__________.
【答案】
【解析】由题意可得,填。
14. 已知圆截直线所得的弦的长度为,则__________.
【答案】2或6
【解析】试题分析:
由题知:圆心(a,0),半径为2.
圆心到直线的距离为
又因为圆截直线所得的弦的长度为为,
所以或
考点:直线与圆的位置关系圆的标准方程与一般方程
15. 在中,角所对的边分别是,若,,,则__________.
【答案】
【解析】在中,由正弦定理因为,所以,所以,填。
16. 已知函数,,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意可得f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,又==
,所以原不等式可化为,即,
又x>0时,>0,所以f(x)在上单调递增,上式转化为解得,填。
【点睛】
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知等差数列满足,.
(l)求等差数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)设等差数列满的首项为,公差为,代入两等式可解。
(2)由(1),代入得,所以通过裂项求和可求得。
试题解析:(1)设等差数列的公差为,则由题意可得,解得.
所以.
(2)因为,
所以.
所以 .
18. 广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2016年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们年龄分成6段:,,,,,后得到如图所示的频率分布直方图.
(l)计算这40名广场舞者中年龄分布在的人数;
(2)若从年龄在中的广场舞者任取2名,求这两名广场舞者中恰有一人年龄在的概率.
【答案】(1)30;(2).
【解析】试题分析:(1)由题意可知,样本容量为40,由条形图可求得的频率和为,所以n=频率样本容量。(2)由直方图可知,年龄在有2人,分别记为,在有4人,分别记为.采用枚举法,可知总共情况是15种,满足条件的是8种,所以概率为。
试题解析:(1)由表中数据知,这40名广场舞者中年龄分布在的人数为.
(2)由直方图可知,年龄在有2人,分别记为,在有4人,分别记为.
现从这6人中任选两人,共有如下15种选法:,,,,,
,,,,,,,,,,,
其中恰有1人在有8种,
故这两名广场舞者恰有一人年龄在的概率为.
19. 如图,三角形中,,是边长为l的正方形,平面底面,若分别是的中点.
(1)求证:底面;
(2)求几何体的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)通过面面平行证明线面平行,所以取的中点,的中点,连接.只需通过证明HG//BC,HF//AB来证明面GHF//面ABC,从而证明底面。
(2)原图形可以看作是以点C为顶点,ABDE为底的四棱锥,所四棱锥的体积公式可求得体积。
试题解析:(1)取的中点,的中点,连接.(如图)
∵分别是和的中点,
∴,且,
,且.
又∵为正方形,∴,.
∴且.
∴为平行四边形.
∴,又平面,
∴平面.
(2)因为,∴,
又平面平面,平面,∴平面.
∵三角形是等腰直角三角形,∴.
∵是四棱锥,
∴ .
【点睛】
证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行.
20. 已知抛物线上一点到焦点的距离为.
(l)求抛物线的方程;
(2)抛物线上一点的纵坐标为1,过点的直线与抛物线交于两个不同的点(均与点不重合),设直线的斜率分别为,求证:为定值.
【答案】(1);(2)证明见解析.
..................
试题解析:(1)由抛物线的定义可知,则,
由点在抛物线上,则,
∴,则,
由,则,
∴抛物线的方程.
(2)∵点在抛物线上,且.
∴
∴,设过点的直线的方程为,即,
代入得,
设,,则,,
所以.
21. 已知函数,.
(l)求的单调区间;
(2)若函数在区间内存在唯一的极值点,求的值.
【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为.(2)或.
【解析】试题分析:(1)先求得函数定义域为,再利用函数的导数来求函数的单调区间。(2)即在区间上存在唯一零点,且为奇次零点。所以对函数g(x)求导 .由(1)可知函数在上单调递增,在上单调递减.而,所以g(x)最多两个零点,分别位于(0,1)和,所以现在只需在(0,1)和中各找一个,,使得,可找<0,,所以一定有两个零点,因为要找的区间长度为1,所以再找,可求得或.
试题解析:(1)由已知得,.
当时,由,得,
由,得.
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)因为 ,
则 .
由(1)可知,函数在上单调递增,在上单调递减.
又因为,.
所以在上有且只有一个零点.
又在上,在上单调递减;
在上,在上单调递增.
所以为极值点,此时.
又,,
所以在上有且只有一个零点.
又在上,在上单调递增;
在上,在上单调递减.
所以为极值点,此时.
综上所述,或.
【点睛】
本题先把极值点问题转化为,导函数零点问题,即零点存在性定理。利用方程根的存在性定理求解三步曲是:①先移项使方程右边为零,再令方程左边为函数f(x);②求区间(a,b)两端点的函数值f(a)和(b);③若函数在该区间上连续且f(a)f(b)<0,则方程在该区间内必有根.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. 已知曲线的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为:,直线的直角坐标方程为.
(l)求曲线和直线的极坐标方程;
(2)已知直线分别与曲线、曲线交异于极点的,若的极径分别为,求的值.
【答案】(1)答案见解析;(2)3.
(3)
【解析】试题分析:(1)曲线,为圆:,用公式代入,代极坐标方程。直线过原点,且倾斜角为,所以直线的极坐标方程为。(2)曲线均为圆且都过极点O,所以代入,分别求得极径分别为,代入即求解。
试题解析:(1)曲线的参数方程为(为参数),普通方程圆:
极坐标方程为,
∵直线的直角坐标方程为,
故直线的极坐标方程为.
(2)曲线的极坐标方程为:,
直线的极坐标方程为,
将代入的极坐标方程得,
将代入的极坐标方程得,
∴.
23. 已知函数,.
(l)求的解集;
(2)若对任意的,,都有.求的取值范围.
【答案】(1);(2)或.
【解析】试题分析:(1)由两个绝对值的不等式,按绝对值零点分三段讨论,注意解集为先交后并。(2)由题意可得只需转化为恒成立,求参数a的范围,由绝对值不等式分别求得.代入上面不等式可求得a的范围。
试题解析:(1)∵函数,故,等价于.
等价于①,
或②,
或③.
解①求得,解②求得,解③求得.
综上可得,不等式的解集为.
(2)若对任意的,,都有,可得.
∵函数 ,∴.
∵ ,故.
∴,∴,或,求得或.
故要求的的范围为或.
【点睛】对于绝对值不等式的求解,我们常用分段讨论的方法,也就是按绝对值的零点把数轴上的实数分成多段进行分段讨论,要注意分段时不重不漏,分段结果是按先交后并做运算。
对于一次绝对值函数,我们常采用绝对值不等式求函数的最大(小)值。