高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：1_4直角三角形的射影定理 29页

1.4 　直角三角形的射影定理 理解射影定理，能应用射影定理解决简单几何问题． 1 ． 所谓射影，就是正射影．其中，从一点向一条直线所引垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的 _________ ．一条线段的两个端点在一条直线上的正射影间的线段，叫做这条线段在直线上的 __________ ． 2 ．射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 __________ ；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 __________ ． 1 ．正射影　正射影 2 ．比例中项　比例中项 如图所示， AD ⊥ BC ， EF ⊥ BC ，指出点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G 和线段 AB 、 AC 、 AF 、 FG 在直线 BC 上的射影． 解析： 由 AD ⊥ BC ， EF ⊥ BC 可知： A 在 BC 上的射影是点 D ； B 在 BC 上的射影是点 B ，点 C 在 BC 上的射影是点 C ，点 D 在 BC 上的射影是点 D ，点 E 、 F 、 G 在 BC 上的射影都是点 E ； AB 在 BC 上的射影是 DB ， AC 在 BC 上的射影是 DC ， AF 在 BC 上的射影是 DE ， FG 在 BC 上的射影是点 E . 如图所示，已知在 Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°, CD ⊥ AB 于点 D ， DE ⊥ AC 于点 E ， DF ⊥ BC 于点 F . 求证： AE · BF · AB ＝ CD 3 . 分析： 分别在 Rt△ ABC 、 Rt△ ADC 、 Rt△ BDC 中运用射影定理，再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明． 证明 ： ∵在 Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， CD ⊥ AB ， ∴ CD 2 ＝ AD · BD ，∴ CD 4 ＝ AD 2 · BD 2 . 又∵在 Rt△ ADC 中， DE ⊥ AC ，在 Rt△ BDC 中， DF ⊥ BC ， ∴ AD 2 ＝ AE · AC ， BD 2 ＝ BF · BC . ∴ CD 4 ＝ AE · BF · AC · BC . 又∵ AC · BC ＝ AB · CD ， ∴ CD 4 ＝ AE · BF · AB · CD . ∴ AE · BF · AB ＝ CD 3 . 如图所示，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， BC ＝ 7.85 ，斜边上的高 CD ＝ 5.67 ，解这个直角三角形 ( 边长保留 3 个有效数字，角度精确到 1′) ． 1 ．下列命题正确的是 ( 　　 ) A ．所有的直角三角形都相似 B ．所有的等腰三角形都相似 C ．所有的等腰直角三角形都相似 D ．所有的有一个角为 30° 的等腰三角形都相似 C 2. 如图，在矩形 ABCD 中， DE⊥AC,∠ADE= ∠CDE, 则∠ EDB= （ C  ）  A .22.5 ° B .30 ° C .45 ° D .60 ° B C C B 7 ．如图所示，四边形 ABCD 是矩形，∠ BEF ＝ 90° ，①②③④这四个三角形能相似的是 __________ ． 8 ．在△ ABC 中， AC ⊥ BC ， CD ⊥ AB 于点 D ， AD ＝ 27 ， BD ＝ 3 ，则 AC ＝ ______ ， BC ＝ ______ ， CD ＝ ______. ①③ 9 ．如图所示，在矩形 ABCD 中， AB ＝ a ， BC ＝ b ， M 是 BC 的中点， DE ⊥ AM ， E 是垂足．求证： DE ＝ 10 ．如图所示，在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， CD 是 AB 上的高，已知 BD ＝ 4 ， AB ＝ 29 ，试求出图中其他未知线段的长． 解析： 因为 BD ＝ 4 ， AB ＝ 29 ，由直角三角形的射影定理有 BC 2 ＝ BD · AB ＝ 4 × 29 ，即 BC ＝ 2 . AD ＝ AB － BD ＝ 29 － 4 ＝ 25. AC 2 ＝ AD · AB ＝ 25 × 29 ， AC ＝ 5 . CD 2 ＝ BD · AD ＝ 4 × 25 ， CD ＝ 10. 答案： AD ＝ 25 ， BC ＝ 2 ， AC ＝ 5 ， CD ＝ 10. 11. 如图，在 Rt△ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高， DE 是在 Rt△BCD 斜边 BC 上的高，若 BE=6 ， CE=2, 求 AD 的长 . 解析：∵ CD⊥AB ， ∴△ BCD 为 Rt△ ， 即∠ CDB=90° ， ∵ DE⊥BC. 由射影定理可知：  在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90° ， CD⊥AB ， 由射影定理可得： =AD·BD ， 12 ．一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5 m ，面积为 1.5 m 2 ，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学设计的加工方法分别如图 1 、 2 所示．那么哪位同学设计的加工方法符合要求？说说你的理由． ( 加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留 ) 解析： 由 AB ＝ 1.5 m ， S △ ABC ＝ 1.5 m 2 ，得 BC ＝ 2 m. 如图 1 所示，若设甲设计的桌面边长为 x m ，由 DE∥AB ，推出 Rt△ CDE ∽Rt△ CBA ， 13 ．如图所示，已知 BD 、 CE 是△ ABC 的两条高，过点 D 的直线交 BC 和 BA 的延长线于点 G 、 H ，交 CE 于点 F ，且∠ H ＝∠ BCF . 求证： GD 2 ＝ GF · GH . 证明： ∵∠ H ＝∠ BCE ， CE ⊥ BH ， ∴△ BCE ∽△ BHG . ∴∠ BEC ＝∠ BGH ＝ 90° ，∴ HG ⊥ BC . ∵ BD ⊥ AC ，在 Rt△ BCD 中，由射影定理得， GD 2 ＝ BG · CG . ① ∵∠ H ＝∠ BCF ，∠ GFC ＝∠ EFH ， ∴△ FCG ∽△ FHE ，∴∠ FGC ＝∠ FEH ， ∴∠ FGC ＝∠ BGH ＝ 90° ， ∴△ FCG ∽△ BHG ，∴ ＝ ， ∴ BG · CG ＝ GH · FG . ② 由①②，得 GD 2 ＝ GH · FG . △ ACD ∽△ CBD ，有 AD ∶ CD ＝ CD ∶ BD ，转化为等积式，即 CD 2 ＝ AD · BD ； △ ACD ∽△ ABC ，有 AC ∶ AB ＝ AD ∶ AC ，转化为等积式，即 AC 2 ＝ AB · AD ； △ BCD ∽△ BAC ，有 BC ∶ BA ＝ BD ∶ BC ，转化为等积式，即 BC 2 ＝ BA · BD . 直角三角形的射影定理常作为工具用于证明和求值．如图三个直角三角形具有相似关系，于是 Rt△ ABC 的各条线段之间存在着比例关系． 感谢您的使用，退出请按 ESC 键 本小节结束