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  • 2021-06-11 发布

高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测:1_4直角三角形的射影定理

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1.4  直角三角形的射影定理 理解射影定理,能应用射影定理解决简单几何问题. 1 . 所谓射影,就是正射影.其中,从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这点在这条直线上的 _________ .一条线段的两个端点在一条直线上的正射影间的线段,叫做这条线段在直线上的 __________ . 2 .射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 __________ ;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 __________ . 1 .正射影 正射影 2 .比例中项 比例中项 如图所示, AD ⊥ BC , EF ⊥ BC ,指出点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G 和线段 AB 、 AC 、 AF 、 FG 在直线 BC 上的射影. 解析: 由 AD ⊥ BC , EF ⊥ BC 可知: A 在 BC 上的射影是点 D ; B 在 BC 上的射影是点 B ,点 C 在 BC 上的射影是点 C ,点 D 在 BC 上的射影是点 D ,点 E 、 F 、 G 在 BC 上的射影都是点 E ; AB 在 BC 上的射影是 DB , AC 在 BC 上的射影是 DC , AF 在 BC 上的射影是 DE , FG 在 BC 上的射影是点 E . 如图所示,已知在 Rt△ ABC 中,∠ ACB = 90°, CD ⊥ AB 于点 D , DE ⊥ AC 于点 E , DF ⊥ BC 于点 F . 求证: AE · BF · AB = CD 3 . 分析: 分别在 Rt△ ABC 、 Rt△ ADC 、 Rt△ BDC 中运用射影定理,再将线段进行代换,就可以实现等积式的证明. 证明 : ∵在 Rt△ ABC 中,∠ ACB = 90° , CD ⊥ AB , ∴ CD 2 = AD · BD ,∴ CD 4 = AD 2 · BD 2 . 又∵在 Rt△ ADC 中, DE ⊥ AC ,在 Rt△ BDC 中, DF ⊥ BC , ∴ AD 2 = AE · AC , BD 2 = BF · BC . ∴ CD 4 = AE · BF · AC · BC . 又∵ AC · BC = AB · CD , ∴ CD 4 = AE · BF · AB · CD . ∴ AE · BF · AB = CD 3 . 如图所示,在 Rt△ ABC 中,∠ ACB = 90° , BC = 7.85 ,斜边上的高 CD = 5.67 ,解这个直角三角形 ( 边长保留 3 个有效数字,角度精确到 1′) . 1 .下列命题正确的是 (    ) A .所有的直角三角形都相似 B .所有的等腰三角形都相似 C .所有的等腰直角三角形都相似 D .所有的有一个角为 30° 的等腰三角形都相似 C 2. 如图,在矩形 ABCD 中, DE⊥AC,∠ADE= ∠CDE, 则∠ EDB= ( C  )  A .22.5 ° B .30 ° C .45 ° D .60 ° B C C B 7 .如图所示,四边形 ABCD 是矩形,∠ BEF = 90° ,①②③④这四个三角形能相似的是 __________ . 8 .在△ ABC 中, AC ⊥ BC , CD ⊥ AB 于点 D , AD = 27 , BD = 3 ,则 AC = ______ , BC = ______ , CD = ______. ①③ 9 .如图所示,在矩形 ABCD 中, AB = a , BC = b , M 是 BC 的中点, DE ⊥ AM , E 是垂足.求证: DE = 10 .如图所示,在 Rt△ ABC 中,∠ C = 90° , CD 是 AB 上的高,已知 BD = 4 , AB = 29 ,试求出图中其他未知线段的长. 解析: 因为 BD = 4 , AB = 29 ,由直角三角形的射影定理有 BC 2 = BD · AB = 4 × 29 ,即 BC = 2 . AD = AB - BD = 29 - 4 = 25. AC 2 = AD · AB = 25 × 29 , AC = 5 . CD 2 = BD · AD = 4 × 25 , CD = 10. 答案: AD = 25 , BC = 2 , AC = 5 , CD = 10. 11. 如图,在 Rt△ABC 中, CD 是斜边 AB 上的高, DE 是在 Rt△BCD 斜边 BC 上的高,若 BE=6 , CE=2, 求 AD 的长 . 解析:∵ CD⊥AB , ∴△ BCD 为 Rt△ , 即∠ CDB=90° , ∵ DE⊥BC. 由射影定理可知:  在 Rt△ABC 中,∠ ACB=90° , CD⊥AB , 由射影定理可得: =AD·BD , 12 .一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5 m ,面积为 1.5 m 2 ,要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,甲、乙两位同学设计的加工方法分别如图 1 、 2 所示.那么哪位同学设计的加工方法符合要求?说说你的理由. ( 加工损耗忽略不计,计算结果中的分数可保留 ) 解析: 由 AB = 1.5 m , S △ ABC = 1.5 m 2 ,得 BC = 2 m. 如图 1 所示,若设甲设计的桌面边长为 x m ,由 DE∥AB ,推出 Rt△ CDE ∽Rt△ CBA , 13 .如图所示,已知 BD 、 CE 是△ ABC 的两条高,过点 D 的直线交 BC 和 BA 的延长线于点 G 、 H ,交 CE 于点 F ,且∠ H =∠ BCF . 求证: GD 2 = GF · GH . 证明: ∵∠ H =∠ BCE , CE ⊥ BH , ∴△ BCE ∽△ BHG . ∴∠ BEC =∠ BGH = 90° ,∴ HG ⊥ BC . ∵ BD ⊥ AC ,在 Rt△ BCD 中,由射影定理得, GD 2 = BG · CG . ① ∵∠ H =∠ BCF ,∠ GFC =∠ EFH , ∴△ FCG ∽△ FHE ,∴∠ FGC =∠ FEH , ∴∠ FGC =∠ BGH = 90° , ∴△ FCG ∽△ BHG ,∴ = , ∴ BG · CG = GH · FG . ② 由①②,得 GD 2 = GH · FG . △ ACD ∽△ CBD ,有 AD ∶ CD = CD ∶ BD ,转化为等积式,即 CD 2 = AD · BD ; △ ACD ∽△ ABC ,有 AC ∶ AB = AD ∶ AC ,转化为等积式,即 AC 2 = AB · AD ; △ BCD ∽△ BAC ,有 BC ∶ BA = BD ∶ BC ,转化为等积式,即 BC 2 = BA · BD . 直角三角形的射影定理常作为工具用于证明和求值.如图三个直角三角形具有相似关系,于是 Rt△ ABC 的各条线段之间存在着比例关系. 感谢您的使用,退出请按 ESC 键 本小节结束

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