专题48 抛物线（押题专练）-2018年高考数学（文）一轮复习精品资料 10页

‎1．抛物线x2＝y的焦点坐标为(　　)‎ A.　　　　　　　　B. C. D. 解析：抛物线x2＝y的焦点坐标是.‎ 答案：D ‎2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5。所以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 答案：C ‎3．已知直线l：x－y－m＝0经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，l与C交于A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 解析：因为直线l过抛物线的焦点，所以m＝.‎ 联立得，x2－3px＋＝0.‎ 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，p＝.‎ 答案：B ‎4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ 解析：如图，设点P的坐标为(x0，y0)，‎ 由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，‎ 代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，‎ 所以|y0|＝2，所以S△POF＝|OF||y0|‎ ‎＝××2＝2.‎ 答案：C ‎5．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ A. B．2 C. D．3‎ 答案：B ‎6．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B．2‎ C.＋1 D.－1‎ 解析：由题意，因为两条曲线交点的连线过点F，‎ 所以两条曲线的一个交点为，‎ 代入双曲线方程得－＝1，‎ 又＝c，‎ 所以－4×＝1，化简得c4－6a2c2＋a4＝0，‎ 所以e4－6e2＋1＝0，‎ 所以e2＝3＋2＝(1＋)2，‎ 所以e＝＋1，‎ 故选C。‎ 答案：C ‎7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(a，－2)到焦点的距离为3，则抛物线的方程是________。‎ 解析：由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，抛物线上的点P(a，－2)到焦点的距离即为点P到准线y＝的距离，所以＋2＝3，解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y。‎ 答案：x2＝－4y ‎8．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点。若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________。‎ 答案：[1，＋∞)‎ ‎9．已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是________。‎ 解析：抛物线焦点F(1,0)，由题意05，故e>。‎ 答案：(，＋∞)‎ ‎10．已知曲线C上的动点P(x，y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l：y＝－2的距离小1。‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A，B。直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由。‎ 所以y′＝，所以＝， ‎ 解得：x0＝a±，‎ 所以A，‎ B，‎ 化简直线AB方程得：‎ y－2＝x，所以直线AB恒过定点(0,2)。‎ ‎11．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1)。‎ ‎(1)求抛物线的标准方程。‎ ‎(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程。‎ ‎(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A，B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程。‎ 解析：(1)设抛物线的标准方程为x2＝2py，把点P(2,1)代入可得4＝2p，所以p＝2，故所求的抛物线的标准方程为x2＝4y。‎ ‎(2)①当斜率不存在时，直线方程为x＝2，符合题意；‎ ‎②当斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1，‎ 联立方程可得整理可得x2－4kx＋8k－4＝0。‎ 因为直线与抛物线只有一个公共点，‎ 所以Δ＝16k2－32k＋16＝0，‎ 所以k＝1。‎ 综上可得，直线l的方程为x－y－1＝0或x＝2。‎ ‎(3)由题意可知，AB的斜率存在，设AB的方程为y－1＝k′(x－1)，代入抛物线的标准方程x2＝4y可得x2－4k′x＋4k′－4＝0，所以x1＋x2＝4k′＝2，‎ 所以k′＝，所以AB的方程为y－1＝(x－1)，‎ 即x－2y＋1＝0。‎ ‎12．已知抛物线C：y2＝2px的焦点坐标为F(1,0)，过F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点。‎ ‎(1)求抛物线C的方程。‎ ‎(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值。‎ 解析：(1)由焦点坐标为(1,0)，可知＝1，‎ ‎＝·＝·＝，‎ 综上＝。‎ ‎13．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．‎ 解：由题意，设抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．‎ 设公共弦MN交y轴于A，则|MA|＝|AN|，‎ 且AN＝.‎ ‎∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，‎ ‎∴N(，±2)．‎ ‎∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，‎ 故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.‎ 抛物线x2＝y的焦点坐标为，‎ 准线方程为y＝－.‎ 抛物线x2＝－y的焦点坐标为，‎ 准线方程为y＝.‎ ‎14．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2，0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，·＝12.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．‎ 设AB的中点为M，‎ 则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①‎ 又|AB|＝|y1－y2|＝，②‎ 由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，‎ 解得m2＝3，m＝±，‎ 所以，直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.‎ ‎15．过点P(a，－2)作抛物线C：x2＝4y的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1)证明：x1x2＋y1y2为定值；‎ ‎(2)记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．‎ 直线PB的斜率为k2＝x2.‎ 所以x1x2＝－2，即x1x2＝－8.‎ 又y1y2＝x·x＝(x1x2)2＝4，‎ 所以x1x2＋y1y2＝－4为定值．‎ ‎(2)直线PA的垂直平分线方程为 y－＝－，‎ 由于y1＝x，代入切线方程可得x－8＝2ax1，‎ 所以直线PA的垂直平分线方程为 y－＝－.①‎ 同理直线PB的垂直平分线方程为 y－＝－②‎ 由①②解得x＝a，y＝1＋，‎ 所以点M，‎ 抛物线C的焦点为F(0，1)，则＝，＝(－a，3)，由于·＝－＝0，‎ 所以⊥，所以以PM为直径的圆恒过点F.‎