湖北省2020届高三下学期4月月考仿真卷理科数学试题 19页

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ ‎2019-2020学年下学期高三4月月考仿真卷 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，则，‎ 又，所以，‎ 故选B．‎ ‎2．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（ ）‎ A． B．‎2 ‎C． D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的渐近线方程为，‎ 可得，，则，的焦距为．‎ 故选D．‎ ‎3．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：‎ 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（ ）‎ A．522 B．‎324 ‎C．535 D．578‎ ‎【答案】A ‎【解析】第6行第6列开始的数为808（不合），436，789（不合），535，577，348，994（不合），837（不合），522，‎ 则满足条件的5个样本编号为436，535，577，348，522，则第5个编号为522．‎ 故选A．‎ ‎4．在等差数列中，，则此数列的前13项的和等于（ ）‎ A．16 B．‎26 ‎C．8 D．13‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴，∴，‎ ‎∴，故选D．‎ ‎5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．‎ 现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，‎ 基本事件总数，‎ 所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数，‎ 则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为，‎ 故选B．‎ ‎6．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据图像：，故，故，．‎ ‎，，故，‎ 故．‎ 当时，，满足条件，故，‎ 故选A．‎ ‎7．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，通项，‎ ‎，故选A．‎ ‎8．已知：，，且，若恒成立，则实数 的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题，因为，，，‎ 所以，‎ 当且仅当，即，时等号成立，‎ 因为恒成立，则，即，解得，‎ 故选A．‎ ‎9．的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】中，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ 又，∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，解得或（不合题意，舍去），‎ ‎∴的面积为，‎ 故选B．‎ ‎10．设，分别是椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为F1是椭圆的左焦点，直线过F1交y轴于C点，‎ 所以，即，‎ 因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 在三角形AF‎1F2中，，，，‎ 根据余弦定理可得，‎ 代入得，化简得，‎ 所以离心率为，‎ 所以选A．‎ ‎11．在三棱锥中，，且，，，分别是棱，的中点，下面四个结论：‎ ‎①；‎ ‎②平面；‎ ‎③三棱锥的体积的最大值为；‎ ‎④与一定不垂直．‎ 其中所有正确命题的序号是（ ）‎ A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】设的中点为，连接，则，，‎ 又，所以平面，所以，故①正确；‎ 因为，所以平面，故②正确；‎ 当平面与平面垂直时，最大，最大值为，故③错误；‎ 若与垂直，‎ 又因为，所以平面，所以，‎ 又，所以平面，所以，‎ 因为，所以显然与不可能垂直，故④正确，‎ 故选D．‎ ‎12．已知定义在上的奇函数，满足，当时，，‎ 若函数，在区间上有10个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可知函数的图象关于点成中心对称，‎ 且，所以，‎ 所以，函数的周期为，‎ 由于函数为奇函数，则，则，‎ 作出函数与函数的图象如下图所示：‎ ‎，则，‎ 于是得出，，‎ 由图象可知，函数与函数在区间上从左到右个交点的横坐标分别为、、、、、、、、、，第个交点的横坐标为，‎ 因此，实数的取值范围是，故选A．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知平面向量，满足，，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为平面向量，满足，，，‎ 所以，‎ 故答案为．‎ ‎14．已知函数（）．若存在，使得成立，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，‎ 设，则存在，使得成立，‎ 即成立．所以成立，所以成立，‎ 又令，，所以时，，单调递增，‎ 当时，有最小值，‎ 所以实数a的取值范围是，故答案为．‎ ‎15．函数的部分图象如图所示，点，是最高点，点是最低点，若是直角三角形，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图可得，，，‎ 根据对称性，是直角三角形，‎ 所以为等腰直角三角形，直角三角形斜边中线等于斜边长的一半，‎ ‎，，，所以，故答案为．‎ ‎16．如图，多面体，，，两两垂直，，，，则经过，，，的外接球的表面积是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据，，两两垂直构造如图所示的长方体，‎ 则经过，，，的外接球即为长方体的外接球，‎ 故球的直径为长方体的体对角线的长．‎ 设，，，‎ 由题意得，解得，‎ 所以球半径为，‎ 球的表面积为，答案．‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知数列满足：，，．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）设，，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，∴，‎ 则数列是以1为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知，，∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎18．（12分）如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）由图1可知，四边形为菱形，则，‎ 则在图（2）中，，所以，‎ 又，所以，‎ 又，故．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 设，则，‎ 又，所以，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ 则，，‎ 则面的法向量为，‎ 设面的法向量为，‎ 则，则，‎ 令，则，则，‎ 所以，‎ 又由图可知二面角为钝二面角，‎ 故二面角的余弦值为．‎ ‎19．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，且．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点是椭圆上的一个动点，且直线与直线分别交于两点．是否存在点使得以为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在，详见解析．‎ ‎【解析】（1）由已知，得知，，‎ 又因为离心率为，所以．‎ 因为，所以，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）假设存在．‎ 设，，，‎ 由已知可得，，‎ 所以的直线方程为，‎ 的直线方程为，‎ 令，分别可得，，‎ 所以，‎ 线段的中点，‎ 若以为直径的圆经过点，则，‎ 因为点在椭圆上，所以，代入化简得，‎ 所以，而，矛盾，‎ 所以这样的点不存在．‎ ‎20．（12分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；‎ ‎（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：‎ ‎①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84．14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？‎ ‎②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12．14千元的人数最有可能是多少？‎ 附参考数据：，若随机变量X服从正态分布，则，，．‎ ‎【答案】（1）千元；（2）①14．77千元；②978人．‎ ‎【解析】（1）千元，‎ 故估计50位农民的年平均收入为17．40千元．‎ ‎（2）由题意知，‎ ‎①，‎ 所以时，满足题意，‎ 即最低年收入大约为14．77千元．‎ ‎②由，‎ 每个农民的年收入不少于12．14千元的事件的概率为0．9773，‎ 记1000个农民的年收入不少于12．14千元的人数为，‎ 则，其中，‎ 于是恰好有k个农民的年收入不少于12．14千元的事件概率为，‎ 从而由，得，‎ 而，所以，当时，；‎ 当时，，‎ 由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12．14千元的人数最有可能是978人．‎ ‎21．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）若在内单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数有两个极值点分别为，，证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】（1），∴在内单调递减，‎ ‎∴在内恒成立，‎ 即在内恒成立．‎ 令，则，‎ ‎∴当时，，即在内为增函数；‎ 当时，，即在内为减函数，‎ ‎∴的最大值为，∴．‎ ‎（2）若函数有两个极值点分别为，，‎ 则在内有两根，，‎ 由（1），知，‎ 由，两式相减，得．‎ 不妨设，‎ ‎∴要证明，只需证明．‎ 即证明，亦即证明．‎ 令函数，．‎ ‎∴，即函数在内单调递减，‎ ‎∴时，有，∴，‎ 即不等式成立，‎ 综上，得．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 已知曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）射线与曲线交于点，射线与曲线交于点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）由曲线的参数方程(为参数)，‎ 得，即曲线的普通方程为，‎ 又，，‎ 曲线的极坐标方程为，即，‎ 曲线的极坐标方程可化为，‎ 故曲线的直角方程为．‎ ‎（2）由已知，设点和点的极坐标分别为，，其中，‎ 则，，‎ 于是，‎ 由，得，‎ 故的取值范围是．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知定义在R上的函数．‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若，且，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，‎ 所以，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增，‎ 故当时，函数取得最小值．‎ ‎（2）若，且，，即，‎ 当且仅当，即，时，等号成立，‎ 则，‎ 令，，而的开口向上，‎ 对称轴方程为，在上单调递增，‎ 当，取得最小值，‎ 的最小值为．‎