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- 2021-06-11 发布
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第30练 正弦定理、余弦定理
[基础保分练]
1.(2019·绍兴模拟)在△ABC中,内角C为钝角,sinC=,AC=5,AB=3,则BC等于( )
A.2B.3C.5D.10
2.(2019·嘉兴模拟)南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式:“以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方,得积.”(即△ABC的面积S=,其中△ABC的三边分别为a,b,c,且a>b>c),并举例“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步.欲知为田几何?”则该三角形沙田的面积为( )
A.82平方里 B.83平方里
C.84平方里 D.85平方里
3.(2019·湖州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a,b,c成等比数列,且a2=c2+ac-bc,则等于( )
A.B.C.D.
4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,b=2,S△ABC=3,则等于( )
A.B.C.4D.
5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosA+acosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为( )
A.7.5B.7C.6D.5
6.(2019·杭州高级中学模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,且sinB=cosC,则下列结论中正确的是( )
A.A= B.c=2a
C.C= D.△ABC是等边三角形
7.(2019·衢州二中模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinC-
cosAcosB=cos2B,则B等于( )
A.B.C.D.
8.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a=4,asinB=bcosA,则△ABC面积的最大值是( )
A.4B.2C.8D.4
9.(2019·金华十校联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,△ABC的面积为,则cosA的值为______,a=______.
10.锐角△ABC中,AB=4,AC=3,△ABC的面积为3,则BC=________.
[能力提升练]
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2acosB=c,sinAsinB(2-cosC)=sin2+,则△ABC为( )
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形
2.若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是( )
A. B.
C. D.
3.(2019·绍兴上虞区模拟)已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.在锐角三角形ABC中,b2cosAcosC=accos2B,则B的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.(2018·全国Ⅲ改编)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为
,则C=______.
6.(2019·丽水模拟)设△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,已知a2+2b2=c2,则=________;tanB的最大值为________.
答案精析
1.A 2.C 3.B 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.- 4 10.
能力提升练
1.B [由正弦定理,得2sinAcosB=sinC.
在△ABC中,A+B+C=π,
∴sinC=sin(A+B),
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,
整理得sinAcosB=cosAsinB,
∴tanA=tanB.
又∵A,B∈(0,π),∴A=B.
∵sinAsinB(2-cosC)=sin2+,
∴sinAsinB=sin2+,
∴sinAsinB=,
∴sinAsinB=.
∵A=B,∴sinA=sinB=.
∵A,B∈(0,π),∴A=B=.
∵A+B+C=π,∴C=,
∴△ABC是等腰直角三角形.]
2.A [设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,
则由正弦定理得a+b=2c.
故cosC==
==-
≥-=,
当且仅当3a2=2b2,即=时等号成立.]
3.D [∵B=2A,∴sinB=sin2A=2sinAcosA,
由正弦定理得b=2acosA,
∴=,
∴==tanA.
∵△ABC是锐角三角形,
∴
解得0,
则tanB=
≤=,
当且仅当tanA=时,等号成立,
所以tanB的最大值为.