2020学年高一数学下册期末直线的倾斜角、斜率和方程知识点 5页

2020 学年高一数学下册期末直线的倾斜角、斜率和方程知识点 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成 的角叫做直线 l 的倾斜角． (2)规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0. (3)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 例 1．(2019·辽宁沈阳月考)直线 x＋ 3y＋1＝0 的倾斜角是( ) A．π 6 B．π 3 C．2π 3 D．5π 6 【答案】D [由直线的方程得直线的斜率为 k＝－ 3 3 ，设倾斜角为α，则 tan α＝－ 3 3 ， 所以α＝5π 6 .] 2．斜率公式 (1)定义式：直线 l 的倾斜角为α α≠π 2 ，则斜率 k＝tan α. (2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的斜率 k＝y2－y1 x2－x1 . 3. 求倾斜角的取值范围的 2 个步骤及 1 个注意点 (1)2 个步骤： ①求出斜率 k＝tanα的取值范围； ②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． (2)1 个注意点： 求倾斜角时要注意斜率是否存在． 例 2. (P86A 组 T3 改编)若过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为 ( ) A．1 B．4 C．1 或 3 D．1 或 4 【答案】A [由题意得 m－4 －2－m ＝1，解得 m＝1.] 4. 倾斜角α与斜率 k 的关系 当α∈ 0，π 2 且由 0 增大到π 2 α≠π 2 时，k 的值由 0 增大到＋∞. 当α∈ π 2 ，π 时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π 2 α≠π 2 增大到π(α≠π)时， k 的值由－∞趋近于 0(k≠0)． 例 3．(2019·安徽芜湖检测)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段 有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_____________________. 【答案】(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞) [如图，∵kAP＝1－0 2－1 ＝1，kBP＝ 3－0 0－1 ＝－ 3， ∴k∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．] [变式探究] 若将题 3 中 P(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围． 解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)， ∴kAP＝ 1－0 2－－1＝1 3 ，kBP＝ 3－0 0－－1＝ 3. 如图可知，直线 l 斜率的取值范围为 1 3 ， 3 . 5．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于 x 轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 y－y1 y2－y1 ＝ x－x1 x2－x1 不含直线 x＝x1(x1≠x2) 和直线 y＝y1(y1≠y2) 截距式 x a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴 和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0， A2＋B2≠0 平面内所有直线都适用 6. 求直线方程的两种方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应 注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论． (2)待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将 其代入直线方程． 例 4.（2019 年锦州期中）根据所给条件求直线的方程： (1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y＝－4x 的斜率的1 3 的直线方程； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12. 解 (1)设所求直线的斜率为 k， 依题意 k＝－4×1 3 ＝－4 3 . 又直线经过点 A(1,3)， 因此所求直线方程为 y－3＝－4 3 (x－1)， 即 4x＋3y－13＝0. (2)由题设知纵横截距不为 0，设直线方程为x a ＋ y 12－a ＝1，又直线过点(－3,4)， 从而－3 a ＋ 4 12－a ＝1，解得 a＝－4 或 a＝9. 故所求直线方程为 4x－y＋16＝0 或 x＋3y－9＝0. 练习．(2019·山东滨州月考)如果 A·C<0 且 B·C<0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通 过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C [由已知得直线 Ax＋By＋C＝0 在 x 轴上的截距－C A >0，在 y 轴上的截距－ C B >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．] 练习.(2019 年未央区月考)求满足下列条件的直线方程： (1)经过点 A(－5, 2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程； (2)过 A(2,1)，B(m,3)两点的直线 l 的方程． 解 (1)当直线不过原点时，设所求直线方程为 x 2a ＋y a ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得 a＝－1 2 ， 所以直线方程为 x＋2y＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为 y＝kx，则－5k＝2，解得 k＝－2 5 ，所以直线方程为 y＝ －2 5 x，即 2x＋5y＝0. 故所求直线方程为 2x＋5y＝0 或 x＋2y＋1＝0. (2)①当 m＝2 时，直线 l 的方程为 x＝2； ②当 m≠2 时，直线 l 的方程为y－1 3－1 ＝ x－2 m－2 ， 即 2x－(m－2)y＋m－6＝0. 因为 m＝2 时，代入方程 2x－(m－2)y＋m－6＝0， 即为 x＝2， 所以直线 l 的方程为 2x－(m－2)y＋m－6＝0. 7. 处理直线方程综合应用的 2 大策略 (1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够 看出“动中有定”． (2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利 用基本不等式求解最值． 例 5、(2019·山东济南月考)已知直线 l 过点 M(2,1)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别相交 于 A，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA→ |·|MB→ |取得最小值时直线 l 的方程． 解 设 A(a,0)，B(0，b)，则 a>0，b>0， 直线 l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2 a ＋1 b ＝1. |MA→ |·|MB→ |＝－MA→ ·MB→ ＝－(a－2，－1)·(－2，b－1) ＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5 ＝(2a＋b) 2 a ＋1 b －5＝2b a ＋2a b ≥4， 当且仅当 a＝b＝3 时取等号， 此时直线 l 的方程为 x＋y－3＝0.