高考数学复习专题模拟：第二章 函数与基本初等函数 第二节 基本初等函数 85页

‎【数学】2014版《6年高考4年模拟》‎ 第二节 基本初等函数I 第一部分 六年高考荟萃 ‎2013年高考题 一、选择题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若,则函数的两个零点分别位于区间( )‎ A.和内 B.和内 ‎ C.和内 D.和内 答案：A ‎【命题立意】本题考查二次函数的图像与性质以及函数零点的判断。因为，，，又，所以，即函数的两个零点分别在和内，选A.‎ ．（2013年高考四川卷（理））设函数(,为自然对数的底数).若曲线上存在使得,则的取值范围是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 答案：A ‎ 曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈[﹣1，1]‎ 考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项 当a=0时，，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0，1]时f（f（y0））=y0是否成立 由于是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）=＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确 当a=e+1时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确 综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））设,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 答案：D 因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，‎ 因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，‎ 因为，，‎ 所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选D．‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知为正实数,则 A. B. C. D.‎ 答案：D ‎ ‎：因为as+t=as•at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D．‎ ．（2013年高考四川卷（理））函数的图象大致是( )‎ 答案：C ‎ 当x＜0时，x3＜0，3x﹣1＜0，所以，故排除B；‎ 对于C，由于函数值不可能为0，故可以排除C；‎ 因为y=3x﹣1与y=x3相比，指数函数比幂函数，随着x的增大，增长速度越大，‎ 所以x→+∞，→0，所以D不正确，A正确，故选A．‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））若函数有极值点,,且,则关于的方程的不同实根个数是 ‎(A)3 (B)4 (C) 5 (D)6‎ 答案： A ‎ 使用代值法。‎ 设.‎ ‎.‎ 所以选A ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））函数的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ 答案：B ‎ 在同一坐标系中作出函数与的图象，由图象可知零点个数为2个，选B.‎ ．（2013年高考北京卷（理））函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y=ex关于y轴对称,则f(x)=‎ A. B. C. D. ‎ 答案：D ‎ 函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，‎ 而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称，‎ 所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．‎ 故选D．‎ 二、填空题 ．（2013年高考上海卷（理））方程的实数解为________‎ 答案：. ‎ ‎【解答】原方程整理后变为．‎ ．（2013年高考上海卷（理））设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为________‎ 答案：. ‎ ‎【解答】，故；当时，‎ 即，又，故．‎ 三、解答题 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分,第3小题满分6分.‎ 已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”.‎ ‎(1)将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;‎ ‎(2)求函数 图像对称中心的坐标;‎ ‎(3)已知命题:“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数 是偶函数”.判断该命题的真假.‎ 如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).‎ ‎(1)平移后图像对应的函数解析式为, 整理得, 由于函数是奇函数, 由题设真命题知,函数图像对称中心的坐标是. (2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数. 设则,即. 由不等式的解集关于原点对称,得. 此时. 任取,由,得, 所以函数图像对称中心的坐标是. (3)此命题是假命题. 举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数. 修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”. ‎ ‎2012年高考题 ‎1. [2012·福建卷] 设函数D(x)＝则下列结论错误的是(　　)‎ A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数 答案：C　[解析] 考查分段函数的奇偶性、单调性、值域等，解决本题利用定义、图象等解决．若当x为无理数时，x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)；故f(x)是周期函数，故C错误；‎ 若x为有理数，则－x也为有理数，则f(－x)＝f(x)；若x为无理数，则－x也为无理数，则f(－x)＝f(x)；故f(x)是偶函数，故B正确；结合函数的图象，A选项D(x)的值域为{0,1}，正确；且D(x)不是单调函数也正确，所以C错误．‎ ‎2.[2012·重庆卷] 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(　　)‎ A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．充要条件 答案：D　[解析] 由于f(x)是R的上的偶函数，当f(x)在[0,1]上为增函数时，根据对称性知f(x)在[－1,0]上为减函数．根据函数f(x)的周期性将f(x)在[－1,0]上的图象向右平移2个周期即可得到f(x)在[3,4]上的图象，所以f(x)在[3,4]上为减函数；同理当f(x)在[3,4]上为减函数时，根据函数的周期性将f(x)在[3,4]上的图象向左平移2个周期即可得到f(x)在[－1,0]上的图象，此时f(x)为减函数，又根据f(x)为偶函数知f(x)在[0,1]上为增函数(其平移与对称过程可用图表示，如图1－1所示)，所以“f(x)为[0,1]上的减函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件，选D.‎ ‎3.[2012·陕西卷] 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)‎ A．y＝x＋1 B．y＝－x‎3C．y＝ D．y＝x|x|‎ 答案：D　[解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D，我们也可利用x>0、x＝0、x<0分类讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求．‎ ‎4.[2012·辽宁卷] 设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为(　　)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ 答案：B　[解析] 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断．解题的突破口为根据函数的性质得到函数f(x)的解析式，结合函数图象求解．‎ f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(2－x)＝f(x－2)，所以函数f(x)为周期为2的周期函数，且f(0)＝0，f(1)＝1，而g(x)＝为偶函数，且g(0)＝g＝g＝g＝0，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在上的零点个数为6.‎ ‎5.[2012·山东卷] 设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)‎ 的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　)‎ A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0‎ C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0‎ 答案：B　[解析] 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，偏难．‎ 当y＝f的图象与y＝g图象有且仅有两个不同的公共点时，a<0时，其图象为 作出点A关于原点的对称点C，则C点坐标为(－x1，－y1)，由图象知－x1y2，故x1＋x2>0，y1＋y2<0，同理当a>0时，有x1＋x2<0，y1＋y2>0，故选B.‎ ‎6.[2012·浙江卷] 设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.‎ 答案：.　[解析] 本题主要考查不等式的恒成立，不等式与方程的转化与应用问题，考查数形结合和转化化归的数学思想．令y1＝x－1，y2＝x2－ax－1，则函数y1＝x－1，y2＝x2－ax－1都过定点P.考查函数y1＝x－1，令y＝0，得M，同时只有a－1>0即a>1时才有可能满足x∈时，y1·y2≥0；‎ 考查函数y2＝x2－ax－1，显然只有过点M时才能满足x∈时，y1·y2≥0，代入得：2－－1＝0，可得2＋a－1＝0,‎2a2－‎3a＝0解得a＝或a＝0，舍去a＝0，得答案：a＝.‎ ‎7.[2012·湖北卷] 已知二次函数y＝f(x)的图象如图1－1所示，则它与x轴所围图形的面积为(　　)‎ 图1－1‎ A. B.C. D. 答案：B　[解析] (解法一)设f(x)＝ax2＋bx＋c.因为函数f(x)的图象过(－1,0)，(1,0)，(0,1)，代入得 解得 故f(x)＝1－x2.‎ 故S＝－1dx＝＝.故选B.‎ ‎(解法二)设f(x)＝a，将x＝0，y＝1代入f(x)＝a，得a＝－1，所以f(x)＝－＝1－x2，所以S＝－1dx＝＝.故选B.‎ ‎(解法三)观察函数图象可知，二次函数f(x)的顶点坐标为(0,1)，故可设f(x)＝ax2＋1，又函数图象过点(1,0)，代入得a＝－1，所以f(x)＝－x2＋1.所以S＝＝＝.故选B.‎ ‎8.[2012·四川卷] 函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)‎ 图1－2‎ 答案：D　[解析] 若a＞1，则f(x)为增函数，排除C、D，而0＜＜1，图象与y轴的交点应该在(0,1)内，A、B也不符合，故a＞1不合题意．‎ 若0＜a＜1，则f(x)为减函数，排除A、B，此时＞1，故图象与y轴的交点应该在负半轴，排除C，选D.‎ B7 对数与对数函数 ‎9． [2012·全国卷] 已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－，则(　　)‎ A．xlne＝1,0e－＝>＝，∴y0时，g′(x)<0，g(x)＝ln(x＋1)－x单调递减 ，所以g(x)0，g(x)＝ln(x＋1)－x单调递增， 所以g(x)0，‎ ‎∵fn(x)在上是单调递增的，∴fn(x)在内存在唯一零点．‎ ‎(2)当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.‎ 对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：‎ ‎①当>1，即|b|>2时，‎ M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾．‎ ‎②当－1≤－<0，即00时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.‎ 答案：　[解析] 本题主要考查不等式的恒成立，不等式与方程的转化与应用问题，考查数形结合和转化化归的数学思想．令y1＝x－1，y2＝x2－ax－1，则函数y1＝x－1，y2＝x2－ax－1都过定点P.考查函数y1＝x－1，令y＝0，得M，同时只有a－1>0即a>1时才有可能满足x∈时，y1·y2≥0；‎ 考查函数y2＝x2－ax－1，显然只有过点M时才能满足x∈时，y1·y2≥0，代入得：2－－1＝0，可得2＋a－1＝0,‎2a2－‎3a＝0解得a＝或a＝0，舍去a＝0，得答案：a＝.‎ ‎2011年高考题 ‎1.（四川理7）若是R上的奇函数，且当时，，则的反函数的图象大致是 ‎【答案】A ‎【解析】当时，函数单调递减，值域为，此时，其反函数单调递减且图象在与之间，故选A．‎ ‎2.（四川文4）函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是 ‎【答案】A ‎【解析】图象过点，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点且单调递减，选A．‎ ‎3.（安徽文5）若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是 ‎（A）（，b） (B) (‎10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)‎ ‎【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.‎ ‎【解析】由题意，，即也在函数 图像上.‎ ‎4.（天津文6）设，，，则（　　　）．‎ ‎　　Ａ．　　　　　　　Ｂ． ‎ ‎　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，，，‎ 所以，‎ 所以，故选Ｄ．‎ ‎5.（重庆理5）下列区间中，函数=在其上为增函数的是 ‎ ‎（A）（- （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎6. (重庆文6)设,,,则,,的大小关系是 ‎(A)　　　　　　　　　　(B)‎ ‎(C)　　　　　　　　　　(D)‎ ‎【答案】B ‎7. (重庆文15)若实数,,满足,，则的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎8.（四川理13）计算_______．‎ ‎【答案】－20*copoyright:x.k.100.com*‎ ‎【解析】．‎ ‎9.（陕西文11）设，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】由算起，先判断的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．‎ ‎【解析】∵，∴，所以，即．‎ ‎10.（陕西文4） 函数的图像是 （ ） ‎ ‎【答案】B ‎【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．‎ ‎【解析】 取，，则，，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．‎ ‎2010年高考题 一、选择题 ‎1.（2010全国卷2理）（2）.函数的反函数是 （A） ‎ （B）‎ ‎（C） （D）‎ 答案 D ‎【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。‎ ‎【解析】由原函数解得，即，又；‎ ‎∴在反函数中，故选D.‎ ‎2.（2010陕西文）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是 ‎ ‎（A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数 答案 C ‎【解析】本题考查幂的运算性质 ‎ ‎ ‎ ‎3.（2010辽宁文）（10）设，且，则 ‎（A） （B）10 （C）20 （D）100‎ 答案 A ‎【解析】选A.又 ‎4.（2010全国卷2文）（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 ‎（A）y=-1(x>0) (B) y=+1(x>0) ‎ ‎(C) y=-1(x R) (D）y=+1 (x R)‎ 答案 D ‎【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴ ‎ ‎5.（2010安徽文）（7）设，则a，b，c的大小关系是 ‎（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a 答案 A ‎【解析】在时是增函数，所以，在时是减函数，所以。‎ ‎【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.‎ ‎6.（2010安徽文）（6）设,二次函数的图像可能是 答案 D ‎【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合 ‎【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.‎ ‎7.（2010浙江文）2.已知函数 若 =‎ ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)3‎ 答案 B ‎【解析】+1=2，故=1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题 ‎8.（2010山东文）(3)函数的值域为 A. B. C. D. ‎ 答案 A ‎9.（2010北京文）(6)给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 ‎（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④‎ 答案 B ‎10.（2010北京文）⑷若a,b是非零向量，且，，则函数是 ‎ （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 ‎ （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 答案 A ‎11.（2010四川理）（3）2log510＋log50.25＝‎ ‎（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4‎ 解析：2log510＋log50.25‎ ‎＝log5100＋log50.25‎ ‎＝log525‎ ‎＝2‎ 答案 C ‎12.（2010天津文）(6)设 ‎(A)af(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).‎ ‎【解析2】由0‎ 的是 A．= B. = ‎ C .= D.‎ 答案 A 解析 依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。‎ ‎9. （2009辽宁卷文）已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝‎ ‎，则＝‎ A. B. C. D.‎ 答案 A 解析 ∵3＜2＋log23＜4,所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4‎ ‎∴＝f(3＋log23)‎ ‎＝‎ ‎10.（2009四川卷文）函数的反函数是 ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 答案 C 解析 由，又因原函数的值域是，‎ ‎∴其反函数是 ‎11.（2009陕西卷文）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,则的值为 A. B. C. D.1‎ 答案 B 解析 对,令得在点（1，1）处的切线的斜率,在点 ‎（1，1）处的切线方程为,不妨设,‎ 则, 故选 B.‎ ‎12.（2009全国卷Ⅰ文）已知函数的反函数为，则 ‎（A）0 （B）1 （C）2 （D）4‎ 答案 C 解析 由题令得，即，又，所以，故选择C。‎ ‎13.(2009湖南卷理)若a＜0，＞1，则 ( )‎ A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜‎0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0‎ 答案 D 解析 由得由得，所以选D项。‎ ‎14.（2009四川卷理）已知函数连续，则常数 的值是 ( )‎ Ａ.２　　 Ｂ.３　　 　Ｃ.４　　 　Ｄ.５ ‎ ‎【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。‎ 答案 B 解析 由题得，故选择B。‎ 解析2：本题考查分段函数的连续性．由，，由函数的连续性在一点处的连续性的定义知 ‎，可得．故选B．‎ ‎15.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是 A. B. ‎ C. D. ‎ 答案 A 解析 的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因 为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。‎ 二、填空题 ‎16.（2009江苏卷）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= . ‎ 解析 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。‎ 由得，；由知，所以4。‎ ‎17.(2009山东卷理)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .‎ 答案 ‎ 解析 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是 ‎【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.‎ ‎18.（2009重庆卷文）记的反函数为，则方程的解 ．‎ 答案 2‎ 解法1 由，得，即，于是由，解得 解法2因为，所以 ‎2008年高考题 一、选择题 ‎1.（2008年山东文科卷）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是 （ ）‎ O y x A． B．‎ C． D．‎ 答案 A ‎ 解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。‎ 由图易得取特殊点 ‎ .‎ ‎2. (07山东)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值 为 （ ）‎ A.1,3 B.-1,‎1 ‎ C.-1,3 D.-1,1,3 ‎ 答案 A ‎ ‎3.(07天津)设均为正数，且，，.‎ 则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 答案 A ‎ 二、填空题 ‎4.（2008年山东文科卷）已知，则 的值等于 ．‎ 答案 2008‎ 解析 本小题主要考查对数函数问题。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第二部分 四年联考汇编 ‎2013-2014年联考 一．基础题组 ‎1. 【2014福建三明】已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． 　　 C． 　　 D．‎ ‎2.【2014福建南安】下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.【2014年“皖西七校”高三年级联合考试】设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是（ ）‎ A. B. C.2 D.4‎ ‎4.【2014安徽涡阳蒙城】函数在上是增函数，则实数的范围是（ ）‎ A． ≥ B． ≥ C．≤ D．≤‎ ‎5.【2014安徽涡阳蒙城】若，则的表达式为（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：令，于是有 ，分别用 、 替换中的 、得： ‎ 最后仍用 作自变量，得 故选D.‎ 考点：1、指数、对数式的互化；2、换元法求函数的解析式.‎ ‎6. 【2014福建三明】函数的定义域为 .‎ ‎7.【2014福建南安】已知函数的零点所在的一个区间是（ ）‎ A．（－2，－1）　B．（－1,　0）　C．（0,　1）　D．（1,　2）‎ ‎8. 【2014福建三明】（本小题满分6分）计算：.‎ 二．能力题组 ‎9. 【2014福建三明】已知函数的对应关系如下表，函数的图像是如下图的曲线，其中则的值为（ ）‎ ‎ ‎ A.　3　 　B. 　‎2　 ‎C.　1 　 D.　0‎ ‎10. 【2014福建三明】我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图像大致为（ ）‎ ‎11. 【2014福建三明】已知函数。若，则的值（ ）‎ A．一定是 B．一定是 　C．是中较大的数 D．是中较小的数 ‎12. 【2014福建三明】已知函数在时取得最大值，在时取得最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．　　 C． 　　　 D．‎ ‎13．【2014福建安溪八中12月月考数学理】已知函数是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称,若函数,则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数是定义在R上的奇函数所以可得f(-x)=-f(x).又因为它的图像关于直线x=1对称所以可得f(x)=f(2-x).由上面两式可得f(2-x)=-f(-x).由此可递推得f(2-x)=-f(-x)=f(-2-x).所以函数f(x)周期为4.所以 ‎.故选C.‎ 考点：1.函数的奇偶性以对称性的结合.2.函数的周期性.3.化归转化思想.‎ ‎14.【2014宿州一模】下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎15.【2014安徽涡阳蒙城】已知函数，那么的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎16.【2014安徽涡阳蒙城】已知 , ,则函数 的图象必定不经过（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎ ‎17.【2014安徽涡阳蒙城】设，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎18．【2014福建安溪八中12月月考数学理】已知函数，设，若，则的取值范围是 ___ . ‎ 考点：1.分段函数的知识.2.函数的单调性.‎ ‎19.【2014安徽涡阳蒙城】函数的定义域为，且对其内任意实数均有：，则在上是 ‎ ‎20.【2014安徽涡阳蒙城】对于每一个实数 ,取，，三个值中最小的值，则的最大值为_______‎ 考点：1、基本初等函数的图象；2、数形结合.‎ ‎21. 【2014福建三明】（本小题满分12分）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图像，当时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点，过点；当时，图像是线段，其中，根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.‎ ‎（1）试求的函数关系式；‎ ‎（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）老师在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.‎ ‎22.【2014宿州一模】（本小题满分13分）已知函数满足，当时；当时.‎ ‎(Ⅰ)求函数在（-1,1）上的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若，求函数在上的零点个数.‎ 三．拔高题组 ‎23.【2014福建南安】已知是函数的一个零点.若，则 ( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎24.【2014福建三明】函数有如下性质：若常数，则函数在上是减函数，在 上是增函数。已知函数（为常数），当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是 .‎ ‎25.【“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考2013-2014学年上学期第三次月考】对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心. 给定函数，请你根据上面探究结果，计算+…+‎ ‎+= __________ .‎ ‎26.【2014安徽省六校教育研究会高三2月联考数学理】对于函数，若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“好区间”．给出下列4个函数：‎ ‎①；②；③；④．‎ 其中存在“好区间”的函数是　 　． （填入所有满足条件函数的序号）‎ ‎②对于函数，该函数在上是增函数由幂函数的性质我们易得，时， ，所以为函数的一个“好区间”.‎ ‎27. 【2014福建三明】（本小题满分14分）设函数的定义域是，对于任意的，有，且当时，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断函数的奇偶性；‎ ‎（3）用函数单调性的定义证明函数为增函数；‎ ‎（4）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）奇函数；（3）详见解析；（4）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）采用附值法，令代入即可求出；（2）先说明函数的定义域关于原点对称，然后令得到，然后可化成，可判断函数为奇函数；（3）设，则，所以，从而利用单调性的定义证出函数在上为增函数；（4）先将不等式转化成，再由函数的单调递增性，又转化为，再分离参数得不等式 ‎，该不等式恒成立等价于，求出的最小值即可求出的取值范围.‎ ‎28.【2014安徽涡阳蒙城】（满分12分）‎ 已知函数f(2x)‎ ‎（I）用定义证明函数在上为减函数。‎ ‎（II）求在上的最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎（I）见解析 ‎（II）-3‎ ‎【解析】‎ ‎29.【2014安徽涡阳蒙城】（满分13分）‎ 若非零函数对任意实数均有，且当时， ．‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求证：为减函数；‎ ‎（3）当时，解不等式 ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎2012-2013年联考 ‎1【云南省玉溪一中2013届高三第四考次月理】函数 ， 则下列结论错误的是 ( )‎ ‎ A． 是偶函数 B．方程的解为 ‎ C． 是周期函数 D．方程的解为 ‎【答案】D ‎【解析】则当为有有理数时，，也为有理数，则，； 则当为有无理数时，，也为无理数，则，所以函数为偶函数且为周期函数，所以A,C正确.当为有有理数时, ,即，所以方程的解为，C正确.方程可等价变形为，此时与方程的解为为有理数，故D错误，故选D ‎2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】已知对数函数是增函数,则函数的图象大致是（ ）‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数为增函数，所以，又函数为偶函数。当时，，当时，，选B.‎ ‎3【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据奇偶性定义知，A、C为偶函数，B为奇函数，D定义域为不关于原点对称，故选D.‎ ‎4【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】若是偶函数，且当 的解集是（ ）‎ ‎ A．（－1，0） B．（－∞，0）（1，2） C．（1，2） D．（0，2）‎ ‎【答案】D ‎【解析】 根据函数的性质做出函数的图象如图.把函数向右平移1个单位，得到函数，如图，则不等式的解集为，选D. ‎ ‎5【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】已知在函数（）的图象上有一点，该函数的图象与 x轴、直线x＝－1及 x＝t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（ ）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，当时，面积原来越大，但增长的速度越来越慢.当时，S的增长会越来越快，故函数S图象在轴的右侧的切线斜率会逐渐增大，选B．‎ ‎6【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】定义在上的函数满足且时，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可知函数为奇函数，且，所以函数的周期为4，，，即，所以，因为，所以，所以，选C.‎ ‎7【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】函数的零点所在的区间是 ‎ A． B． C．（1，2） D．（2，3）‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数，在定义域上单调递增，，，，由跟的存在定理可知函数的零点在区间上选A.‎ ‎8【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】已知偶函数 ‎=‎ ‎ A．1 B．—‎1 ‎C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，所以函数的周期是4，所以,选C.‎ ‎9【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】已知函数，则的大小关系是 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数为偶函数，所以，，当时，，所以函数在递增，所以有，即，选B.‎ ‎10【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】在下列区间中，函数的零点所在的区间为 ‎ A、（，0） B、（0，） C、（，） D、（，）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，所以函数的零点在，选C.‎ ‎11【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】 已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为 A. 2 B. －‎1 ‎ C. －1或2 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数为幂函数，所以，即，解得或.因为幂函数在，所以，即，所以.选B.‎ ‎12【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】 已知定义在区间[0,2]上的函数的图象如图所示，则的图象为 ‎【答案】A ‎【解析】当时，,排除B,C,D,选A.‎ ‎13【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】给定函数①，②，③，④，其中在上单调递减的个数为 A. 0 B. 1 个 C. 2 个 D. 3个 ‎【答案】C ‎【解析】①为幂函数，，所以在上递减.②，在上递减，所以函数在，递减.③，在递增.④的周期，，在上单调递增，所以满足条件的有2个，选C.‎ ‎14【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】设，，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，。因为，所以，即。选C.‎ ‎15【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】函数的定义域为R，若与都是奇函数，则 A. 是偶函数 B. 是奇函数 ‎ C. D. 是奇函数 ‎【答案】D ‎【解析】函数，都为奇函数，所以，，所以 函数关于点，对称，所以函数的周期，所以，即，所以函数为奇函数，选D.‎ ‎16【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（理）】设函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则等于 A. 13 B. ‎5 ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】做出函数的图象如图，要使方程有三个不同的实数根，结合图象可知，，所以三个不同的实数解为，所以，选B.‎ ‎17【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】函数的图象是 ‎ 【答案】A ‎【解析】函数为偶函数，图象关于轴对称，所以排除B,D.又，所以，排除C，选A.‎ ‎18【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】设, ,，则 A. af(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) ‎ C.f(π)0，且a1，若函数有最大值，则不筹式的解集为 ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】所以有最小值2，，要使函数有最大值，则指数函数单调递减，则有，由得，即，解得，即不等式的解集为。‎ ‎2011-2012年联考 ‎【2012浙江宁波市期末文】 函数的定义域为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得，解得。‎ ‎【2012安徽省合肥市质检文】若函数为奇函数，当时，，则的值为 ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】。‎ ‎【2012吉林市期末质检文】下列函数中，在区间（0,1）上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因A、B递减，C在（0,1）递增，D在（0,1）上先递减后递增，选C。‎ ‎【2012吉林市期末质检文】设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当 时，，则的值为（ ）‎ A. B. C. 2 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题可知函数的周期为4，故。‎ ‎【2012江西南昌市调研文】函数的值域为 ( )‎ A．[1,+∞) B．(0,1] C．(-∞,1] D．(-∞,1)‎ ‎【答案】C ‎【解析】因，所以，即，选C。‎ ‎【2012广东佛山市质检文】下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题中选项可知，,为偶函数，排除A、C；而在R上递减，故选B。‎ ‎【2012广东佛山市质检文】对任意实数，函数，如果函数，那么函数的最大值等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可知，则在同以坐标系中画出，数形结合可知时，。‎ ‎【2012河南郑州市质检文】函数定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题，解不等式得。‎ ‎【2012河南郑州市质检文】定义在 上的函数 ；当若；则的大小关系为（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，则可得，令，则，即为奇函数，令，则，所以，即递减，‎ 又，因，所以，即，故选B。‎ ‎【2012北京海淀区期末文】已知函数，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎（A）是偶函数，递增区间是 （B）是偶函数，递减区间是 ‎（C）是奇函数，递减区间是 （D）是奇函数，递增区间是 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因，所以是奇函数，排除A、B；又时，在上递减，递增，由奇函数性质可得，C对。‎ ‎【2012广东韶关市调研文】下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可知A不是单调函数，B不是奇函数，D是偶函数，只有C满足。‎ ‎【2012年西安市高三年级第一次质检文】已知函数则=._______‎ ‎【答案】-8‎ ‎【解析】本题主要考查分段函数求值问题. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎【2012黄冈市高三上学期期末考试文】函数，则函数的零点个数有 个。‎ ‎【答案】 2‎ ‎【解析】本题主要考查. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎∵分别作出、的图像，知交点数即零点数为2‎ ‎【2012武昌区高三年级元月调研文】函数的图象如图所示，给出以下说法：‎ ‎ ①函数的定义域是[一l，5]；‎ ‎ ②函数的值域是（一∞，0]∪[2，4]；‎ ‎ ③函数在定义域内是增函数；‎ ‎ ④函数在定义域内的导数 ‎ 其中正确的是 （ ）‎ ‎ A．①② B．①③ C．②③ D．②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查函数的图像与性质. 属于基础知识的考查.‎ 的定义域中含有，①②正确；函数在定义域内不是增函数，因而③④错误。‎ ‎【2012武昌区高三年级元月调研文】若 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查对数的基本运算以及指数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ 由，，所以 ‎【2012厦门期末质检理10】已知函数f(x)＝则下列结论正确的是 A.f(x)在(－1,0)上恰有一个零点　　　B. f(x)在(0,1)上恰有一个零点 C.f(x)在(－1,0)上恰有两个零点　 D. f(x)在(0,1)上恰有两个零点 ‎【答案】A ‎【解析】因为函数f(x)＝在单调增，，选A;‎ ‎【2012厦门期末质检理13】定义区间[x1，x2]( x10时，的大致图象为 （ ）‎ 答案 B ‎3.（2009番禺一模）已知函数 若，则（ ）‎ A． B． C．或 D．1或 答案 C ‎4.（2009临沂一模）已知函数f(x)=，若x0是方程f(x)=0的解，且00时是单调函数，则满足f(2x)=f()的所有x之和为 A、 B、 C、－8 D、8‎ 答案 C ‎7.（2009云南师大附中）若函数 ‎ A. B. C. D. ‎ 答案 B ‎8.（2009青岛一模）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ 答案 D ‎9.（2009日照一模）（6）函数的零点一定位于区间 ‎ A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）‎ 答案 A ‎10.（2009日照一模）（函数的图象如右图所示，则函数的图象大致是 答案 C ‎11.（2009泰安一模）已知函数y=f(x)与互为反函数，函数y=g(x)的图像与y=f(x)‎ 图像关于x轴对称，若g(a)=1,则实数a值为 ‎ （A）-e (B) (C) (D) e 答案 C ‎12.（2009江门一模）函数的定义域是 A. B. C. D.‎ 答案 C ‎13.（2009枣庄一模）已知则关于右图中函数图象的表述正确的是 （ ）‎ ‎ A．是的图象 ‎ ‎ B．是的图象 ‎ C．是的图象 ‎ ‎ D．以上说法都不对 答案 D ‎14.（2009枣庄一模）设函数 （ ）‎ ‎ A．3 B．‎4 ‎C．7 D．9‎ 答案 C ‎15.（2009深圳一模）若函数的图象如右图，其中为常数．则函数的大致图象是 A． B． C． D．‎ 答案 D 二、填空题 ‎1.（2009青岛一模）定义：区间的长度为.已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为_________.‎ 答案 1‎ ‎2.（2009冠龙高级中学3月月考）已知函数，若，则实数的取值范围是 。‎ 答案 ‎ ‎3.（2009闵行三中模拟）若函数的值域是，则函数的值域是 ‎ 答案 ‎ ‎4.（2009上海普陀区）已知函数，是的反函数，若的图像过点，则 . ‎ 答案 2‎ ‎5.（2009上海十校联考）已知函数的值域是，则实数的取值范围是________________．‎ 答案 ‎ ‎6.（2009上海卢湾区4月模考）（2009上海卢湾区4月模考）设的反函数为，若函数的图像过点，且， 则 ．‎ 答案 ‎ ‎7.（2009宣威六中第一次月考）已知函数，则函数f(x)的最小值是 ‎ 答案 0‎ 三、解答题 ‎1、（2009聊城一模）已知函数在区间[－1，1]上最大值为1，最小值为－2。‎ ‎ （1）求的解析式；‎ ‎ （2）若函数在区间[－2，2]上为减函数，求实数m的取值范围。‎ 解：（1）‎ [ ] [ ] ‎.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎,‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎),‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎)‎ ‎0‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎'‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 上为减函数 在 上为增函数 在 得 令 Q Q + - = = - = - = - < - - = - = - = = - > = = = x x x f a a f f f a f a f b f x f a a x x x f ‎ （2）‎ 由，‎ 知 ‎ ‎， 即 ‎ ‎ ‎ ‎2、（2009昆明市期末）已知函数，若x=0，函数f(x)取得极值 ‎ （Ⅰ）求函数f(x)的最小值；‎ ‎ （Ⅱ）已知证明：.‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ 由 x=0是极值点，故,得 ‎ 故 m=1.‎ ‎ 故 ‎ ‎ 当 -1＜x＜0时，函数在（-1，0）内是减函数；‎ ‎ 当 x＞0时，函数f(x)在（0，+∞）内是增函数。‎ ‎ 所以x=0时，f(0)=0，则函数f(x)取得最小值为0.·························6分 ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)≥0，故ex-1≥ln(x+1)。‎ ‎ ∵①··············8分 ‎ 又 ‎ ‎ =‎ ‎ 故 ················································10分 ‎ 故 ②‎ ‎ 由①②得 ···········································12分 ‎3、（2009临沂一模）设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.‎ （I） 当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;‎ （II） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;‎ （I） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。‎ 解：（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x　即 记，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于.‎ 求得 ‎ 当时;;当时，‎ 故在x=e处取得极小值，也是最小值，‎ 即，故.‎ ‎（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。‎ 令g(x)=x-2lnx,则 当时，,当时，‎ g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数。‎ 故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3‎ ‎∵g(1)>g(3),∴只需g(2)0，解得x>或x<-（舍去）‎ 故时，函数的单调递增区间为(,+∞)‎ 单调递减区间为(0, )而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)‎ 故只需=，解之得m=即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。‎ ‎4、（2009东莞一模）已知，，.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）求在点处的切线与直线及曲线所围成的封闭图形的面积；‎ ‎（3）是否存在实数，使的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎ 解：（1）当.…（1分）‎ ‎ ……（3分）‎ ‎∴的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：，. ‎ ‎……（4分）‎ ‎（2）切线的斜率为， ‎ ‎∴ 切线方程为.……（6分）‎ ‎ 所求封闭图形面积为 ‎. ‎ ‎……（8分）‎ ‎（3）， ……（9分）‎ ‎ 令. ……（10分）‎ 列表如下：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎（0，2－a）‎ ‎2－a ‎(2－a，+ ∞)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎↘‎ 极小 ‎↗‎ 极大 ‎↘‎ 由表可知，. ……（12分）‎ 设，‎ ‎∴上是增函数，……（13分）‎ ‎ ∴ ，即，‎ ‎∴不存在实数a，使极大值为3. ……（14）‎ ‎5、（2009茂名一模）已知，其中是自然常数，‎ ‎（Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎（Ⅰ）， ……1分 ‎∴当时，，此时单调递减 当时，，此时单调递增 ……3分 ∴的极小值为 ……4分 ‎（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1， ∴ ，……5分 令，， ……6分 当时，，在上单调递增 ……7分 ‎∴ ∴在（1）的条件下，……9分 ‎（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，‎ ‎ …9分 ‎① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，‎ 此时无最小值. ……10分 ②当时，在上单调递减，在上单调递增 ‎，，满足条件. ……11分 ‎③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3. ‎ ‎6、（2009昆明一中第三次模拟）已知 （1） 若函数是上的增函数，求的取值范围；‎ （2） 若，求的单调增区间 解：（Ⅰ）， ‎ 是上的增函数，故在上恒成立，‎ 即在上恒成立 的最小值为，故知a的取值范围是 ‎（2）由，得，‎ ‎①当时，，即函数在上单调递增；‎ 时，由判别式可知 ‎②当时，有，‎ 即函数在上单调递增;‎ ‎③当时，有或，‎ 即函数在上单调递增 ‎7、 解: (1) ,两边加得: ,‎ ‎ 是以2为公比, 为首项的等比数列. ……①‎ 由两边减得: 是以 为公比, 为首项的等比数列. ……②‎ ‎①-②得: 所以,所求通项为…………5分 ‎(2) 当为偶数时,‎ 当为奇数时,,,又为偶数 由(1)知, ……………………10分 ‎（3）证明：‎ 又 ‎ ‎……12分 ‎…………14分 ‎8、（2009深圳一模）已知函数（，）．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：（Ⅰ） ………………… 2分 ‎， ‎ 由，得．‎ ‎，，．‎ 又．‎ 函数的单调递增区间为,递减区间为． ………… 6分 ‎ ‎（Ⅱ）【法一】不等式，即为．……………（※）‎ 令，当时，．‎ 则不等式（※）即为． …………………9分 令，， ‎ 在的表达式中，当时，，‎ 又时，，‎ 在单调递增，在单调递减．‎ 在时，取得最大，最大值为． …………………12分 因此，对一切正整数，当时，取得最大值．‎ 实数的取值范围是． ………………………… 14分 ‎【法二】不等式，即为．………………（※）‎ 设，‎ ‎，‎ 令，得或． ………………………… 10分 当时，，当时，．‎ 当时，取得最大值．‎ 因此，实数的取值范围是． ………………………… 14分 ‎9、（2009湛江一模）已知函数.（）‎ ‎（Ⅰ）当时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）当时，，；………………2分 ‎ 对于[1，e]，有，∴在区间[1，e]上为增函数，…………3分 ‎ ∴，.……………………………5分 ‎（Ⅱ）令，则的定义域为（0，+∞）.‎ ‎……………………………………………6分 ‎ 在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间（1，+∞）上恒成立. ‎ ‎∵‎ ‎① 若，令，得极值点，，………………8分 当，即时，在（，+∞)上有，‎ 此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有 ‎∈(，+∞)，不合题意；………………………………………9分 当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有 ‎∈(，+∞)，也不合题意；………………………………………10分 ‎② 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，‎ 从而在区间(1，+∞)上是减函数；……………………………………12分