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- 2021-06-11 发布
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如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢?
生活中的椭圆
一
.
课题引入:
行星运行的轨道
我们的太阳系
2.1.1
椭圆及其标准方程
问题
1
:圆的几何特征是什么?
平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆。
圆的形成
问题
2
:如果我们将圆定义中的一个定点改变成两个定点,动点到定点距离的定长改变成动点到两定点的距离之和为定长。那么,将会形成什么样的轨迹曲线呢?
数 学 实 验
(1)
取一条细绳,
(2)
把它的两端
固定在板上的两
点
F
1
、
F
2
(3)
用铅笔尖
(
M
)把细绳拉
紧,在板上慢慢
移动看看画出的
图形
F
1
F
2
(
1
)在画出一个椭圆的过程中,
F
1
、
F
2
的位置是固定的还是运动的?
(
2
)在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么?
(
3
)在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系?
想一想
F
1
F
2
M
︳F
1
F
2
︱=2c
︱MF
1
︳+︱MF
2
︳=2a
2a>2c
思考
若
2a<2c
,则轨迹为____。
若
2a=2c
,则轨迹为____。
线段
不存在
平面内到两定点
F
1
、
F
2
的距离之和等于常数
(
大于
|F
1
F
2
|)
的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点,
两焦点的距离叫做焦距.
椭圆的定义
F
1
F
2
M
椭圆的定义
平面内与两个定点
F
1
、
F
2
的
__________________________
的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的
_____
,
_______________
叫做椭圆的焦距.
想一想
:
在椭圆定义中,将
“
大于
|
F
1
F
2
|”
改为
“
等于
|
F
1
F
2
|”
或
“
小于
|
F
1
F
2
|”
的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?
自学导引
1
.
距离之和等于常数
(
大于
|
F
1
F
2
|)
焦点
两焦点间的距离
小结(
1
):满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆?
平面上
----
这是大前提
动点
M
到两个定点
F
1
、
F
2
的距离之和是常数
2a
常数
2a
要大于焦距
2C
(2a>2c)
探究
:
感悟
:
(1)
若
|MF
1
|+|MF
2
|>|F
1
F
2
|,M
点轨迹为椭圆
.
(1)
已知
A(-3,0),B(3,0),M
点到
A,B
两点的距离和为
10
,
则
M
点的轨迹是什么
?
(2)
已知
A(-3,0),B(3,0),M
点到
A,B
两点的距
离和为
6
,
则
M
点的轨迹是什么
?
(3)
已知
A(-3,0),B(3,0),M
点到
A,B
两点的距
离和为
5
,
则
M
点的轨迹是什么
?
椭圆
线段
AB
不存在
(3)
若
|MF
1
|+|MF
2
|<|F
1
F
2
|,M
点轨迹不存在
.
(2)
若
|MF
1
|+|MF
2
|=|F
1
F
2
|,M
点轨迹为线段
.
化 简
列 式
设 点
建 系
标准方程的推导
♦
探讨建立平面直角坐标系的方案
建立平面直角坐标系通常遵循的原则:
“
对称”、“简洁”
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F
1
F
2
方案一
O
x
y
方案二
F
1
F
2
M
O
x
y
化 简
列 式
设 点
建 系
F
1
F
2
x
y
以
F
1
、
F
2
所在直线为
x
轴,线段
F
1
F
2
的垂直平分线为
y
轴建立直角坐标系.
P
(
x
,
y
)
设
P
(
x
,
y
)
是椭圆上任意一点
设
|
F
1
F
2
|=2
c
,则有
F
1
(-
c
,
0)
、
F
2
(
c
,
0)
F
1
F
2
x
y
P
(
x
,
y
)
椭圆上的点满足
|
PF
1
|+|
PF
2
|
为定值,设为
2
a
,则
2
a
>2
c
则:
设
得
即:
O
标准方程的推导
b
2
x
2
+a
2
y
2
=a
2
b
2
它表示:
① 椭圆的焦点在
x
轴
②
焦点坐标为
F
1
(
-C
,
0
)、
F
2
(
C
,
0
)
③
c
2
= a
2
- b
2
椭圆的标准方程
⑴
F
1
F
2
M
0
x
y
椭圆的标准方程
⑵
它表示
:
①
椭圆的焦点在
y
轴
② 焦点是
F
1
(
0
,
-c
)、
F
2
(
0
,
c
)
③
c
2
= a
2
- b
2
x
M
F
1
F
2
y
O
观察下图,你能从中找出表示
c,a,
的线段吗?
(
课本
33
页思考
)
P
F
1
F
2
O
x
y
因为
c
2
=a
2
-
b
2
所以
c
a
b
思考:当椭圆的焦点在
y
轴上时
,
它的标准方程是怎样的呢
椭圆的标准方程
1
2
y
o
F
F
M
x
y
x
o
F
2
F
1
M
定 义
图 形
方 程
焦 点
F(±c
,
0)
F(0
,
±c)
a,b,c
之间的关系
c
2
=a
2
-b
2
|MF
1
|+|MF
2
|=2a
小 结:
椭圆的标准方程
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
标准方程
_________
________
__________
________
焦点坐标
_______________
______________
a
、
b
、
c
的关系
c
2
=
______
(
a
>
b
>
0)
(
a
>
b
>
0)
(
-
c
,
0)
,
(
c
,
0)
(0
,-
c
)
,
(0
,
c
)
a
2
-
b
2
2
.
自学引导
椭圆的标准方程的再认识:
(
1
)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是
1
;
(
2
)椭圆的标准方程中三个参数
a
、
b
、
c
始终满足
c
2
= a
2
-b
2
(不要与勾股定理
a
2
+b
2
=c
2
混淆);
(
3
)由椭圆的标准方程可以求出三个参数
a
、
b
、
c
的值;
(
4
)椭圆的标准方程中,
x
2
与
y
2
的分母哪一个大,则焦点在
哪一个轴上
.
椭圆标准方程的特点
(1)
a
、
b
、
c
三个基本量满足
a
2
=
b
2
+
c
2
且
a
>
b
>0
,
其中
2
a
表示椭圆上的点到两焦点的距离之和,
可借助如图所示的几何特征理解并记忆.
(2)
利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小,即看
x
2
,
y
2
的分母的大小,
哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上.较大的分母是
a
2
,较小的分母是
b
2
.
2
.
名师点睛
判定下列椭圆的焦点在?轴,并指明
a
2
、
b
2
,写出焦点坐标
答:在
X
轴。(
-
3
,
0
)和(
3
,
0
)
答:在
y
轴。(
0
,
-
5
)和(
0
,
5
)
答:在
y
轴。(
0
,
-
1
)和(
0
,
1
)
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则:
焦点在分母大的那个轴上。
巩固概念
应用举例
a>3
00
是常数
)
.
又
∵
|
PQ
|
=
|
PF
2
|
,
∴
|
PF
1
|
+
|
PQ
|
=
2
a
,即
|
QF
1
|
=
2
a
.
∴
动点
Q
的轨迹是以
F
1
为圆心,
2
a
为半径的圆,故选
A.
答案
A
10
.椭圆 的两个焦点为
F
1
和
F
2
,点
P
在椭圆上,线段
PF
1
的中点在
y
轴上,那么
|
PF
1
|
是
|
PF
2
|
的
________
倍.
解析
依题意,不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为
F
1
(
-
3
,
0)
,
F
2
(3
,
0)
,设
P
点的坐标为
(
x
1
,
y
1
)
,
由线段
PF
1
的中点的横坐标为
0
,知 =
0
,
∴
x
1
=
3.
把
x
1
=
3
代入椭圆方程 ,
得
y
1
=
±
,即
P
点的坐标为
(3
,
± )
,
∴
|
PF
2
|
=
|
y
1
|
=
.
由椭圆的定义知
|
PF
1
|
+
|
PF
2
|
=
4
,
∴
|
PF
1
|
=
4
-
|
PF
2
|
=
即
|
PF
1
|
=
7|
PF
2
|.
答案
7