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- 2021-06-11 发布
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四川省南充市西南大学南充实验学校2019-2020学年
高二下学期3月线上月考(理)试卷
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一、选择题
1.设函数 的定义域,函数y=ln(1-x)的定义域为,则( )
A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1)
2. 设为虚数单位,,则( )
A. B. C. D.
3. 命题“,使”的否定为( )
A., B.,
C., D.,
4. 设,则“”是“” 的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.设点是椭圆上的一点,是椭圆的两个焦点,若,则( )
A. B.
C. D.
7.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则△OFP的面积为( )
A. B.1 C. D.2
8.已知点在抛物线:上,为坐标原点,点是抛物线准线上一动点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.已知平面,的法向量分别为和(其中),若,则的值为( )
A. B.-5 C. D.5
10.如图所示,在三棱锥P–ABC中,PA⊥平面ABC,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
11. 正方体的棱长为1,点在棱上,且,点在平面上,且动点到直线的距离的平方与点到点的距离的平方的差为,在以、为坐标轴的平面直角坐标系中,动点的轨迹是( )
A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线
12. 己知椭圆的左、右焦点分别为,点,
在椭圆上,其中,,若,,则椭圆
的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13 若复数为纯虚数(为虚数单位),其中,则
____________.
14.圆在点处的切线方程为,类似地,可以求得椭圆
在点处的切线方程为________.
15.设、为双曲线左、右焦点,过的直线交双曲线左、右两支于点、,连接、,若,且,则双曲线的离心率为______.
16.已知椭圆方程为:,,是椭圆上的任意三点(异于椭圆顶点),若存在锐角,使,(O为坐标原点)则直线,的斜率乘积为___.
三、解答题
17.已知。
(1)证明:
(2)分别求;
(3)试根据(1)(2)的结果归纳猜想一般性结论,并证明你的结论.
18.在公差为的等差数列中,,,,且.
(1)求的通项公式;
(2)若,,成等比数列,求数列的前项和.
19. 在新冠肺炎疫情的影响下,南充高中响应“停课不停教,停课不停学”的号召进行线上教学,高二年级的甲、乙两个班中,需根据某次数学测试成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛,已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示,其中甲班5名学生成绩的平均分是83,乙班5名学生成绩的中位数是86.
(1)求出x,y的值,且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、,并根据结
果,你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛?
(2)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名.求至少有1名来自甲班的概率.
20. 如图:在四棱锥中,平面.,
,.点是与的交点,点在线段上且
.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的正切值.
21. 已知抛物线C的顶点为坐标原点O,对称轴为x轴,其准线过点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过抛物线焦点F作直线l,使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为,求
直线l的方程.
22 已知椭圆C:的离心率为,且经过(-1,)。
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点(,0)做直线l与椭圆C交于不同两点A,B,试问在x轴上是否存在点Q,使得直线QA与直线QB关于x轴对称?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【参考答案】
一、选择题(每小题5分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
A
A
D
B
B
D
D
D
B
C
12 设,由,知,
因为在椭圆上,,
所以四边形为矩形,;
由,可得,
由椭圆的定义可得①,
平方相减可得②,
由①②得;
令,令
所以,即,
所以
所以
所以,解得.
二、填空题(每小题5分)
13 . 3 14.
15. 16.
三、解答题
17. 解:(1) ∵
∴
………………………………………………………………………(2分)
(2).………………(4分)
.………………(6分)
(3)由(1)(2)猜想一般结论是: .………………………………(8分)
证明如下: .
.………………………………………………………(10分)
18 .解:(1)∵,,,且,
∴或 ………………………………(3分)
当时,;
当时,. ……………………………………(6分)
(2)∵,,成等比数列,∴,
∴, …………………………………………………………………………(8分)
则,
故.……(12分)
19.(1)甲班的平均分为,
易知.(2分)
;又乙班的平均分为,∴; ……………(4分)
∵,,说明甲班同学成绩更加稳定,故应选甲班参加.…………(6分)
(2)分及以上甲班有人,设为;乙班有人,设为, (8分)
从这人中抽取人的选法有:,共种,其中甲班至少有名学生的选法有种,则甲班至少有名学生被抽到的概率为. (12分)
20.证明:(1)∵在四棱锥中,平面.
,,.
点是与的交点,
,
∴在正三角形中,,
在中,∵是中点,,
,又,
,,
∵点在线段上且,,
平面,平面,
∴平面. ………………………………………………………… (4分)
(2),
分别以为轴,轴,轴建立如图的空间直角坐标系,
,
,,
设平面的法向量,则,
取,得,,
设直线与平面所成角为,则,
故直线与平面所成角的正弦值为; …………………………(8分)
(3)由(2)可知,为平面的法向量,
,
设平面的法向量为,
则,即,
令,解得,
设二面角的平面角为,
则,
故二面角的正切值为.…………………………………………(12分)
21. 解:(1)由题意得,抛物线的焦点在轴正半轴上,
设抛物线C的方程为,
因为准线过点,所以,即.
所以抛物线C的方程为.………………………………………………(4分)
(2)由题意可知,抛物线C的焦点为.
当直线l的斜率不存在时,C上仅有两个点到l的距离为,不合题意;…………(6分)
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,
要满足题意,需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为,
过点P的直线平行直线且与抛物线C相切.
设该切线方程为,代入,可得.
由,得.
由,整理得,………………………………………………(9分)
又,解得,即.
因此,直线l方程为.……………………………………………………(12分)
22.解: