专题13 创新型问题备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区） 17页

专题13 创新型问题 专题点拨 ‎1.创新型数学问题，主要涉及两大类：一类是创造性地综合运用已有的数学知识经验解决新情境问题或陌生的问题；另一类是发现新问题(或提出新问题)并解决提出的新问题.‎ 不论是哪一类创新型数学问题，都需要强化阅读理解,充分研究问题的条件和结论之间的联系，运用数学知识方法，发现解题策略，展开充分的数学推理，完成数学问题提出的研究目标．‎ ‎2．创新型数学问题常见的问题类型：‎ ‎(1)构造型问题：一般需要构造不等式、方程、代数式、函数、图形等加以解决的问题；‎ ‎(2)归纳猜想型问题：通过归纳--猜想---证明实现从特殊到一般的推理论证；‎ ‎(3)新概念型问题：问题情境给出新定义、新法则(公式、原理)，考察学习者的及时学习能力，一般需要先理解新概念，再运用新概念解决问题；‎ 存在判断型：这类问题常见的有：①探究给定的结论是否成立；②探究符合条件的数学对象是否存在；③类比已有结论探索获得的新命题是否成立；‎ ‎(4)探究性问题：探究一类问题的解题策略，或是探究给定命题是否正确，或可否进一步推广．‎ 总之，解决创新型数学问题，既需要阅读理解问题情境,也需要综合运用逻辑思维与直觉思维、演绎推理与合情推理，需要运用特殊与一般、归纳与类比等数学思维方式解决问题． ‎ 例题剖析 ‎【例1】称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：数列甲：x1，x2，…，x5为递增数列，且（i＝1，2，…，5）；数列乙：y1，y2，y3，y4，y5满足yi∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，5）‎ 则在甲、乙的所有内积中（　　）‎ A．当且仅当x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝7，x5＝9时，存在16个不同的整数，它们同为奇数 ‎ B．当且仅当x1＝2，x2＝4，x3＝6，x4＝8，x5＝10时，存在16个不同的整数，它们同为偶数 ‎ C．不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数 ‎ D．存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，取特例x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5时，此时内积可能为：，16个都是奇数，所以A 不对，‎ 对于B，取特例x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝6时，此时内积可能为：，16个都是偶数，所以B不对，‎ 对于C，由A，B可知存在16个整数，要么同为奇数，要么同为偶数，所以C不对，‎ 故选：D．‎ ‎【例2】已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是20，接下来的两项是20、21，再接下来的三项是20、21、22，以此类推，若N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，则N的最小值为（　　）‎ A．440 B．330 C．220 D．110‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知：第一项，1＝20；‎ 第二项，20，21；‎ 第三项，20，21，22；‎ ‎…；‎ 第n项，20，21，22，…，2n﹣1；‎ 根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：‎ ‎21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1；‎ 每项含有的项数为：1，2，3，…，n；‎ 总共的项数为N＝1+2+3+…+n；‎ 所有项数的和为Sn＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21+22+23+…+2n）﹣nn＝2n+1﹣2﹣n，‎ 由题意可知：2n+1为2的整数幂，只需将﹣2﹣n消去即可，‎ 则①1+2+（﹣2﹣n）＝0时，解得n＝1，总共有2＝3项，不满足N＞100，‎ ‎【例3】在投票评选活动中，经常采用简单多数原则或积分原则．简单多数原则指n个评委对k个候选人进行一次表决，各自选出认为最佳的人选，按每个候选人所得票数不同决定不同名次；积分原则指每个评委先对k个候选人排定顺序，第一名得k分，第二名得k﹣1分…，依此类推，最后一名得1分，每个候选人最后的积分多少决定各自名次．右表是33个评委对A、B、C、D四名候选人做出的选择，则按不同原则评选，名次不相同的候选人是　　‎ ‎【答案】A、C ‎【解析】按简单多数原则排名，A的得票数为：7+3＝10，‎ B的得票数为：9，C的得票数为：6+5＝11，‎ D的得票数为：3，‎ ‎∴第一名为C，第二名为A，第三名为B，第四名为D；‎ 按积分原则排名，A的得分为：6×3+7×4+5×1+3×4+9×3+3×3＝99，‎ B的得分为：6×2+7×2+5×2+3×2+9×4+3×1＝81，‎ C的得分为：6×4+7×3+5×4+3×1+9×1+3×2＝83，‎ D的得分为：6×1+7×1+5×3+3×3+9×2+3×4＝67，‎ ‎∴第一名为A，第二名为C，第三名为B，第四名为D．‎ ‎∴按不同原则评选，名次不相同的候选人是A、C．‎ 故答案为：A、C．‎ ‎【例4】和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系O﹣xyz中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程F（x，y，z）＝0．‎ ‎（1）类比平面解析几何中直线的方程，写出①过点P（x0，y0，z0），法向量为的平面的点法式方程；②平面的一般方程；③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（不需要证明）； ‎ ‎（1）求第2行和第3行的通项公式f（2，j）和f（3，j）；‎ ‎（2）证明：数表中除最后2行以外每一行的数都依次成等差数列；‎ ‎（3）求f（i，1）关于i（i＝1，2，…，n）的表达式．‎ ‎【解析】（1）f（2，j）＝f（1，j）+f（1，j+1）＝2f（1，j）+4＝8j+4（j＝1，2，…，n﹣1），f（3，j）＝f（2，j）+f（2，j+1）＝2f（2，j）+8＝2（8j+4）+8＝16j+16（j＝1，2，…，n﹣2）‎ ‎（2）由已知，第一行是等差数列，‎ 假设第i（1≤i≤n﹣3）行是以di为公差的等差数列，则由f（i+1，j+1）﹣f（i+1，j）＝[f（i，j+1）+f（i，j+2）]﹣[f（i，j）+f（i，j+1）]＝f（i，j+2）﹣f（i，j）＝2di（常数）‎ 知第i+1（1≤i≤n﹣3）行的数也依次成等差数列，且其公差为2di．‎ 综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列 ‎（3）由于d1＝4，di＝2di﹣1（i≥2），所以，‎ 所以f（i，1）＝f（i﹣1，1）+f（i﹣1，2）＝2f（i﹣1，1）+di﹣1，‎ 由得f（i，1）＝2f（i﹣1，1）+2i，‎ 于是，即，‎ 又因为，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，，所以f（i，1）＝（i+1）•2i（i＝1，2，…n）‎ 巩固训练 一、 填空题 ‎1.天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．‎ 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；‎ 十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．‎ 天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．‎ 已知2017年为丁酉年，那么到改革开放100年时，即2078年为　 　年．‎ ‎【答案】戊戌 ‎2.类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O点且单位长度相同）称为斜坐标系，在斜坐标系xOy中，若xy（其中、分别为斜坐标系的x轴，y轴正方向上的单位向量，x，y∈R），则点P的坐标为（x，y），若在斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，点M的坐标为（1，2），则点M到原点O的距离为　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得2，‎ 平方可得22+42+4•‎ ‎＝1+4+4×1×17，‎ 可得||，‎ 故答案为：．‎ 二、选择题 ‎ 3.朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2，则（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意13个音的频率成等比数列，记为{an}，设公比为q，‎ 则a13，且a13＝2a1，∴q，‎ ‎∴q4＝（）4．‎ 故选：D．‎ ‎ 4.已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是20，接下来的两项是20、21，再接下来的三项是20、21、22，以此类推，若N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂，则N的最小值为（　　）‎ A．440 B．330 C．220 D．110‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知：第一项，1＝20；‎ 第二项，20，21；‎ 第三项，20，21，22；‎ ‎…；‎ 第n项，20，21，22，…，2n﹣1；‎ 根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：‎ ‎21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1；‎ 每项含有的项数为：1，2，3，…，n；‎ 总共的项数为N＝1+2+3+…+n；‎ 所有项数的和为Sn＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（21+22+23+…+2n）﹣nn＝2n+1﹣2﹣n，‎ 由题意可知：2n+1为2的整数幂，只需将﹣2﹣n消去即可，‎ 则①1+2+（﹣2﹣n）＝0时，解得n＝1，总共有2＝3项，不满足N＞100，‎ ‎②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0时，解得n＝5，总共有3＝18项，不满足N＞100，‎ ‎③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0时，解得n＝13，总共有4＝95项，不满足N＞100，‎ ‎④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0时，解得n＝29，总共有5＝440项，满足N＞100，‎ ‎∴N的最小值为440．‎ 故选：A．‎ 三、解答题 ‎ 5.已知集合．‎ ‎（1）用列举法写出集合P4；‎ ‎（2）是否存在自然数n，使得2019∈Pn，若存在，求出n的值，并写出此时集合P的元素个数；若不存在，请说明理由．‎ ‎6.阅读下面材料：‎ 根据两角和与差的正弦公式，有 sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①‎ sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②‎ 由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）＝2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③‎ 令α+β＝A，α﹣β＝B 有α，β 代入③得 sinA+sinB＝2sincos．‎ 类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：‎ cosA﹣cosB＝﹣2sinsin．‎ ‎【解析】证明：因为cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①‎ cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ②‎ ‎①﹣②得cos（α+β）﹣cos（α﹣β）＝﹣2sinαsinβ③…‎ 令α+β＝A，α﹣β＝B有α，β，‎ 代入③得cosA﹣cosB＝﹣2sin sin．‎ ‎7.绝对值|x﹣1|的几何意义是数轴上的点x与点1之间的距离，那么对于实数a，b，‎ ‎|x﹣a|+|x﹣b|的几何意义即为点x与点a、点b的距离之和．‎ ‎（1）直接写出|x﹣1|+|x﹣2|与|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值，并写出取到最小值时x满足的条件；‎ ‎（2）设a1≤a2≤…≤an是给定的n个实数，记S＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣an|．试猜想：若n为奇数，则当x∈　　时S取到最小值；若n为偶数，则当x∈　　时，S取到最小值；（直接写出结果即可）‎ ‎（3）求|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|的最小值．‎ ‎【解析】（1）|x﹣1|+|x﹣2|的最小值为1，当且仅当x∈[1，2]时，取最小值；‎ ‎|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值2，当且仅当x＝2时，取最小值；‎ ‎（2）设a1≤a2≤…≤an是给定的n个实数，记S＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣an|．‎ 归纳可得：‎ 若n为奇数，则当x∈{}时S取到最小值；‎ 若n为偶数，则当x∈[，]时，S取到最小值；‎ ‎（3）|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|＝|x﹣1|+2|x|+3|x|+…+10|x|，‎ 共55项，其中第28项为|x|，‎ 故x时，|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|取最小值： 0，‎ 故答案为：{}，[，]‎ ‎ 8.定义：若对任意x1、x2∈（a，b）恒有f（）成立，则称函数f（x）在（a，b）上为凹函数．已知凹函数具有如下性质：对任意的xi∈（a，b）（i＝1，2，…，n），必有f（）成立，其中等号当且仅当x1＝x2＝…＝xn时成立．‎ ‎（1）试判断y＝x2是否为R上的凹函数，并说明理由；‎ ‎（2）若x、y、z∈R，且x+y+2z＝8，试求x2+y2+2z2的最小值并指出取得最小值时x、y、z的值．‎ ‎【解析】（1）f（）＝（）2，‎ ‎（）2，‎ ‎∴对任意x1、x2∈（a，b）恒有f（）成立，‎ ‎∴y＝x2是R上的凹函数；‎ ‎（2）∵（x2+y2+2z2）（12+122）≥（x+y+2z）2＝64，‎ ‎∴x2+y2+2z2≥16，当且仅当x＝yz时取等号，‎ ‎∵x+y+2z＝8，∴x＝y＝4（1），z＝4+2． ‎ ‎∴x2+y2+2z2的最小值为16，此时x＝y＝4（1），z＝4+2．‎ ‎9.由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r），‎ ‎（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；‎ ‎（2）问3725是否为“五边形数列”中的项，若是，为第几项；若不是，说明理由；‎ ‎（3）试推导P（n，r）关于n、r的解析式．‎ ‎【解析】（1）由题意得：P（3，r），‎ 令36，‎ 即r2+r﹣72＞0，‎ 解得r＞8，‎ ‎∴最小的r＝9．‎ ‎（2）“五边形数列”中的项，P（5，r）＝r，‎ 令r3725，r为正整数，‎ 解得：r＝50，‎ 故3725是“五边形数列”中的第50项，‎ ‎10.如果数列{an}同时满足：（1）各项均为正数，（2）存在常数k，对任意n∈N*，an+12＝anan+2+k都成立，那么，这样的数列{an}我们称之为“类等比数列”．由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列”．问：‎ ‎（1）若数列{an}为“类等比数列”，且k＝（a2﹣a1）2，求证：a1、a2、a3成等差数列；‎ ‎（2）若数列{an}为“类等比数列”，且k＝0，a2、a4、a5成等差数列，求的值；‎ ‎（3）若数列{an}为“类等比数列”，且a1＝a，a2＝b（a、b为常数），是否存在常数λ，使得an+an+2＝λan+1对任意n∈N*都成立？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】（1）证明：当时，在中，令n＝1得，‎ 即．‎ ‎∵a1＞0，∴a3﹣2a2+a1＝0，即a2﹣a1＝a3﹣a2•‎ 故a1，a2，a3成等差数列； ‎ ‎（2）解：当k＝0时，，‎ ‎∵数列{an}的各项均为正数∴数列{an}是等比数列，‎ ‎ 设公比为q（q＞0），‎ ‎∵a2，a4，a5成等差数列，∴a2+a5＝2a4，‎ 即．∵a1＞0，q＞0，‎ ‎∴q3﹣2q2+1＝0，（q﹣1）（q2﹣q﹣1）＝0，‎ 解得q＝1或（舍去负值）．‎ ‎∴或；‎ ‎（3）存在常数，使an+an+2＝λan+1．‎ ‎（或从必要条件入手）‎ 证明如下：∵，∴，‎ ‎∴，即，‎ 由于an＞0，此等式两边同除以anan+1，得，‎ ‎∴，‎ 即当n∈N*都有，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎∴对任意n∈N*都有an+an+2＝λan+1，‎ 此时．‎ ‎11.若数列{an}满足：对任意n∈N*，都有2，则称{an}为“紧密”数列．‎ ‎（1）设某个数列为“紧密”数列，其前5项依次为1、、、x、，求x的取值范围．‎ ‎（2）若数列{bn}的前项和Sn（n2+3n）（n∈N*），判断{bn}是否为“紧密”数列，并说明理由．‎ ‎（3）设{∁n}是公比为q的等比数列，前n项和为Tn，且{∁n}与{Tn}均为“紧密”数列，求实数q的取值范围．‎ ‎【解析】（1）由题意得：2，2，‎ 解得x；‎ ‎（2）由Sn（n2+3n）（n∈N*），‎ n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1（n2+3n）[（n﹣1）2+3（n﹣1）]n，‎ n＝1时，a1＝S1＝1，对于上式也成立．‎ 因此ann．‎ ‎∴1．‎ 因为对任意n∈N*，0，即1＜1，‎ ‎∴2（n∈N*），‎ 即数列{an}是“紧密数列”；‎ ‎（3）由{∁n}是公比为q的等比数列，得q，‎ ‎∵{∁n}是“紧密数列”，∴2，‎ ‎①当q＝1时，Tn＝nC1， 1，‎ ‎∵1＜12，‎ ‎∴q＝1时，数列{Tn}为“紧密数列”，故q＝1满足题意．‎ ‎②当q≠1时，Tn，‎ 则，‎ ‎∵数列{Tn}为“紧密数列”，‎ ‎∴2，对任意n∈N*恒成立．‎ ‎（ⅰ）当q＜1时，（1﹣qn）≤1﹣qn+1≤2（1﹣qn），‎ 即，对任意n∈N*恒成立． ‎ ‎∵0＜qn≤q＜1，0≤2q﹣1＜1，q﹣2＜﹣1，‎ ‎∴qn（2q﹣1）＜q＜1，qn（q﹣2）≥q（q﹣2）（）1，‎ ‎∴当q＜1时，，对任意n∈N*恒成立．‎ ‎（ⅱ）当1＜q≤2时，（qn﹣1）≤qn+1﹣1≤2（qn﹣1），‎ 即，对任意n∈N*恒成立．‎ ‎∵qn≥q＞1，2q﹣1＞1，﹣1＜q﹣2≤0．‎ ‎∴，解得q＝1，‎ 又1＜q≤2，此时q不存在．‎ 综上所述，q的取值范围是[，1]．‎ ‎12.给定整数n（n≥4），设集合A＝{a1，a2，…，an}．记集合B＝{ai+aj|ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}．‎ ‎（1）若A＝{﹣3，0，1，2}，求集合B；‎ ‎（2）若a1，a2，…an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，求证：集合B中的元素个数为2n﹣1；‎ ‎（3）若a1，a2，…，an构成以3为首项，3为公比的等比数列，求集合B中元素的个数及所有元素之和．‎ ‎【解析】（1）A＝{﹣3，0，1，2}，由题意可得集合B＝{﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}；‎ ‎（2）证明：若a1，a2，…an构成以a1为首项，d（d＞0）为公差的等差数列，‎ 可得等差数列{an}为递增数列，‎ 由等差数列的性质am+an＝ap+aq，可得B中的元素个数为n2n﹣1；‎ 则B中元素的和为2（3+32+…+3n）+（n﹣1）（3+32+…+3n）＝（n+1）（3+32+…+3n）‎ ‎＝（n+1）•．‎ ‎13.将n个数a1，a2，…，an的连乘积a1•a2•…•an记为ai，将n个数a1，a2，…，an的和a1+a2+…+an记为，n∈N*）‎ ‎（1）若数列{xn}满足x1＝1，xn+1＝xxn，n∈N*，设Pn，Sn．‎ 求P5+S5；‎ ‎（2）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]＝2，[3.4]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．若数列{xn}满足x1＝1，xn+1＝x xn，n∈N*，求[]的值； ‎ ‎【解析】（1）数列{xn}满足x1＝1，xn+1＝xxn，n∈N*，设Pn，Sn，‎ 可得xn+1＝xxn＝xn（1+xn），‎ 即有，‎ ‎，‎ 即有，‎ 可得P5+S5•‎ ‎11；‎ ‎（2）x1＝1，xn+1＝xxn，n∈N*，可得11﹣（），‎ 可得2009﹣（）‎ ‎＝2019﹣12018，‎ 由x1＝1，xn+1＝xxn＞1，可得∈（0，1），‎ 即有[]＝2018；‎ 由12+22+32+42+…+1822109，‎ 由2109﹣90＝2019，90÷18＝5，‎ 可得当n18×（18+1）﹣5＝166时，满足2019．‎