四川省德阳市2020届高三一诊考试理科数学试卷 19页

德阳市高中2017级“一诊”考试数学试卷（理工农医类）‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 先确定集合中的元素，再由交集定义求解．‎ ‎【详解】由题意，∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集的定义是解题基础．‎ ‎2.已知为虚数单位，、，，，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等式去分母化简后根据复数的相等求出，再计算．‎ ‎【详解】∵，∴，即，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算与复数相等，解题关键是利用复数相等的定义求出实数．‎ ‎3.已知向量与向量共线，则实数的值为（ ）‎ A. B. 或0 C. 3 D. 3或0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线的坐标运算可求得值．‎ ‎【详解】由题意，解得或．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，即，则．‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，若输入的，，则输出的结果是（ ）‎ A. 24 B. 28 C. 34 D. 40‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟程序运行，观察变量值的变化情况，判断循环条件，得出结论．‎ ‎【详解】模拟程序运行，，，，判断否；‎ ‎，，判断否；‎ ‎，，判断否；‎ ‎，，判断是；‎ 输出．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，判断循环条件，确定输出结论．‎ ‎5.已知的展开式中的系数是，则实数a的值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出展开式中和的系数，由多项式乘法法则可得结论．‎ ‎【详解】由题意，．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理，考查求二项展开式系数，注意多项式乘法法则的应用．‎ ‎6.为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞争力。某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间（单位：分钟）大致服从的关系为（k、M为常数）．已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是（ ）‎ A. 40分钟 B. 35分钟 C. 30分钟 D. 25分钟 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从函数式可看出，该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，说明，这样由可求得，而，因此与的表达式一样，由此可得．‎ ‎【详解】由已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，及函数的解析式知，∴，又，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的应用．在已知函数模型的情况下，解题关键是求出函数式中的参数．为此可根据函数式提供的性质确定已知条件应该选用的表达式，求出相应参数，本题有求出，实际上还可以再根据求出，再由确定所用表达式．‎ ‎7.已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于P、Q两点，则（是椭圆的右焦点）的周长为（ ）‎ A. B. 24 C. D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由抛物线的准线过椭圆的左焦点求出，得椭圆的长轴长，而的周长等于两倍的长轴长．‎ ‎【详解】由题意抛物线准线为，，∴，解得．‎ ‎∴，，∴的周长为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的准线方程，考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，解题关键是求出值．‎ ‎8.在三棱锥中，PA、PB、PC两两垂直，，Q是棱BC上一个动点，若直线AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得平面，因此当时，直线AQ与平面PBC所成角最大，此时可求得，从而求得，又以为棱的长方体的对角线就是三棱锥外接球直径，从而可求得其表面积．‎ ‎【详解】∵PA与PB、PC垂直，∴平面，‎ ‎∴是在平面内的射影，就是直线与平面所成的角，‎ 由平面得，，要使最大，则最小，‎ 显然当时，最小，此时，‎ 又，∴，而，∴，‎ 由，得，从而，‎ 如图，以为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，外接球直径等于长方体的对角线长，‎ ‎∴球表面积为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查求球表面积，解题关键是要求出球的半径．由于两两垂直，因此以它们为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是球的直径．由此可得解．‎ ‎9.函数与的图象相交于M、N两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程求出坐标，再计算面积．‎ ‎【详解】由得，即，‎ ‎，，∴，‎ ‎∵，∴或，∴，．‎ 由对称性知与轴交点为，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查求三角形面积，求两函数图象交点坐标，实质是考查解三角方程，考查同角间的三角函数关系，考查特殊角的三角函数．解三角形方程要注意角的范围．‎ ‎10.已知H为的垂心，，，M为边BC的中点，则（ ）‎ A. 20 B. 10 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量的线性运算，，，而，代入计算即可．‎ ‎【详解】由题意，，，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是利用向量加减法法则得到，由，这样＝，这两个向量都可以用表示，这就与已知条件建立了联系．‎ ‎11.已知奇函数满足，则代数式的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数定义求出，确定函数的单调性，化简不等式得满足的关系，再由代数式的几何意义求得取值范围．‎ ‎【详解】∵奇函数，‎ ‎∴当时，，，‎ ‎∴，∴，‎ 即．在上是增函数．‎ 则不等式可化为，‎ ‎∴，，．‎ 满足条件的点在直线的左上方，‎ 而表示点到点间距离的平方，，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查二元一次不等式表示的平面区域，考查两点间的距离与点到直线的距离公式．函数的单调性与奇偶性属于基础应用，代数式是平方和形式时，用其几何意义：两点间距离的平方求解更加方便．‎ ‎12.已知曲线，相邻对称轴之间的距离为，且函数在处取得最大值，则下列命题正确的个数为（ ）‎ ‎①当时，m的取值范围是；②将的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数；③函数的最小正周期为；④函数在区间上有且仅有一个零点．‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把函数化为一个角的一个三角函数形式，利用在处取最大值，可求出的表达式（用表示），①由的范围求出的范围，从而中得的范围，②可举反例；③利用周期函数的性质判断，即周期是，周期是，如果存在，使得，则是的周期．④确定函数解析式后可知在所给区间上零点有无数个．‎ ‎【详解】函数的相邻对称轴之间的距离为，则周期为，∴，‎ ‎，其中，，，‎ 在处取最大值，则，，，‎ ‎①若，则，，，解得，正确．‎ ‎②如，时函数取最大值，将的图象向左平移个单位后得，不是偶函数，错；‎ ‎③中，是最小正周期是，的最小正周期是，但的最小正周期还是，正确；‎ ‎④时，，因此在区间上有无数个零点，错；‎ ‎∴正确的命题有2个．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题时可先把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合三角函数性质一一判断，其中周期函数的性质是：的最小正周期是，的最小正周期是，如果存在，使得，则是的周期．本题考查知识很多，属于难题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：‎ ‎13.国际青年物理学家竞赛（简称IYPT）是当今最受重视的中学生顶级国际物理赛事，某中学物理兴趣小组通过实验对其中一道竞赛题的两个物理量u、v进行测量，得到10组数据,……，通过散点图发现u、v具有较强的线性相关关系，并且利用最小二乘法求得线性回归方程：，由于数据保存失误导致丢失，但被保存，通过所学知识可以求得______．‎ ‎【答案】85‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用回归直线过中心可求解．‎ ‎【详解】由题意，∴，∴．‎ 故答案为：85．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是掌握回归直线一定过数据中心点．‎ ‎14.已知递增等比数列的前n项和为，且满足：，，则______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件求出公比，再求出后可得结论．‎ ‎【详解】设等比数列公比为，则，又数列是递增的，∴，‎ ‎∴，，，．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式，属于基础题．‎ ‎15.已知，若正数a、b满足，且的最小值为1，则实数的值为______．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出满足的关系，然后利用基本不等式求出的最小值，再由最小值为1可得．‎ ‎【详解】∵，,∴，即，‎ ‎∴，当且仅当时等号成立．‎ ‎∴，．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值．解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的定值，然后才可用基本不等式求最值，同时还要注意等号成立的条件，等号成立的条件取不到，这个最值也取不到．‎ ‎16.已知当时，均有不等式成立，则实数a取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可分类讨论，时，恒成立，只要研究即可，这可用导数研究；时，可得与都是增函数，且都有唯一零点，因此只要使它们的零点相同即可满足题意；直接验证．‎ ‎【详解】时，不等式为，不恒成立；‎ 时，，令，，由得，‎ 当时，，递增，时，，递减，‎ ‎∴时，，要使命题成立，则，；‎ 时，函数是增函数，在唯一零点，‎ ‎，，即增函数，，但当时，，所以有唯一零点，要使不等式恒成立，只有，‎ ‎∴，，‎ 综上的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究不等式恒成立问题．解题关键是把不等式中两个式子和分别研究，减少了难度．否则把不等式左边作为一个函数研究将会非常难，甚至不可进行．‎ 三、解答题 ‎17.垃圾分类是改善环境，节约资源的新举措．住建部于6月28日拟定了包括我市在内的46个重点试点城市，要求这些城市在2020年底基本建成垃圾分类处理系统．为此，我市某中学对学生开展了“垃圾分类”有关知识的讲座并进行测试，将所得测试成绩整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求频率分布直方图中a的值，并估计测试的平均成绩；‎ ‎（2）将频率视为相应的概率，如果从参加测试的同学中随机选取4名同学，这4名同学中测试成绩在的人数记为，求的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1），76.5；（2）分布列见解析，2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率分布直方图中所有频率之和为1（即所有小矩形面积之和为1）可计算出，每组中间点值乘以该组频率相加可得估计的平均成绩；‎ ‎（2）由（1）得成绩在的频率为，因此有，的可能取值为：0，1，2，3，4，由二项分布计算出各概率得分布列，由期望公式可计算出期望值．‎ ‎【详解】（1）由题意得：‎ 所以：,‎ 平均成绩为：．‎ ‎（2）易知测试成绩在的频率为 故．‎ 的可能取值为：0，1，2，3，4‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，考查二项分布，属于基础题，对学生的数据处理能力有一定的要求．‎ ‎18.已知等差数列的前n项和．‎ ‎（1）求实数b的值及的通项公式；‎ ‎（2）若，且，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）0，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由求出，由时，求出，利用必成等差数列可求得，从而得．‎ ‎（2）由（1）可求得，对裂项为，再相加．‎ ‎【详解】（1）由于 所以当时，‎ 当时，‎ 又数列是等差数列，故，即 所以．‎ 易验证此时数列是以2为首项，2为公差的等差数列，．‎ ‎（2）由题意及（1）知：‎ 所以 从而．,‎ ‎【点睛】考查等差数列的通项公式，考查已知与的关系求数列通项公式，考查裂项相消法求数列的和．已知与的关系求数列通项公式时，要注意只有时才有，不包含，，它们的计算方法不一样，注意验证．‎ ‎19.在中，内角A、B、C的对边分别记为a、b、c，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积，，求的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用诱导公式、降幂公式化简，再用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式化简，最后再由正弦定理化角为边得结论；‎ ‎（2）已知可求得，由面积公式可得，再由余弦定理结合（1）的结论可求得，从而得三角形周长．‎ ‎【详解】（1）由及得：‎ 即 由正弦定理得：‎ 所以，即 所以．‎ ‎（2）由，得：‎ 又，所以 又由余弦定理得：‎ 又由（1）得：，所以 所以的周长．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系、两角和的正弦公式等，考查知识点较多，但也较基本．熟练掌握三角函数的公式是解题基础，根据条件选用恰当的公式是解题关键．‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）求在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（2）在曲线上是否存在点P，使得过点P可作三条直线与曲线相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）当时，，；当时，，；当时，，；（2）存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导数，确定函数的单调性，然后按分类讨论；‎ ‎（2）假设存在符合条件的点，同时设切点为，由导数几何意义得即（*），问题转化为关于的方程（*）存在三个不同实根．然后用导数研究函数的零点．‎ ‎【详解】（1）由题意得：‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 即在单调递增，在单调递减，在单调递增 又的零点分别为，0，‎ 所以当时，，；‎ 当时，，；‎ 当时，，．‎ ‎（2）假设存在符合条件的点，切点设为 所以即（*）‎ 故问题转化为关于的方程（*）存在三个不同实根．‎ 令，则 当时，，在R上单调递增，不合题意；‎ 当时，易知在单调递增，在单调递减，在单调递增 从而，即 解得：‎ 当时，易知在单调递增，在单调递减，在单调递增 从而，即 解得：‎ 综上，存在符合条件的点P，其横坐标的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，考查导数的几何意义，考查方程根的分布与函数零点问题．‎ 掌握基本方法即可解决问题，但对运算求解能力有一定的要求．‎ ‎21.已知函数的极小值为．‎ ‎（1）求实数k的值；‎ ‎（2）令，当时，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导数，研究函数的单调性，得极值，由极小值为求得值；‎ ‎（2）由（1）得，令，同样由（1）可得的单调性（导数利用（1‎ ‎）中结论），这样得到关于u的不等式的解集应是单调递增区间的子集，而，从而，接着要证题中不等式，可先证，这又可设，，换元后同样由导数研究函数的单调性最值，证得不等式成立．‎ ‎【详解】（1）显然，，由题意得：‎ 令得：‎ 若，则当时，；‎ 当时，，此时为极小值点，合题意．‎ 由得：．‎ 若，显然不合题意．‎ 所以．‎ ‎（2）由题意得：，令 由（1）易知在单调递减，且；在单调递增 故关于u的不等式：的解集应是单调递增区间的子集 又，从而 令 ‎．‎ 令，则 所以 显然当时，；当时，‎ 从而在单调递增，在单调递减 所以 又，所以，从而 于是，即 又 故．‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值，用导数解不等式、证明不等式，解不等式实际上是由函数的单调性求解．用导数证明不等式实际上还是转化为求函数的最值、值域问题．这通过设出新的函数，通过研究新函数的性质给出证明．解题时注意适当的变形，注意换元法的应用．本题难度较大，属于困难题．‎ ‎22.在极点为O的极坐标系中，直线上有一动点P，动点M在射线OP上，且满足，记M的轨迹为C．‎ ‎（1）求C的极坐标方程，并说明C是何种曲线；‎ ‎（2）若，，均在曲线C上，求的面积．‎ ‎【答案】（1），C是除去极点的圆；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）既然是求极坐标方程，因此设，，根据已知条件得出它们极坐标的关系，代入已知极坐标方程可得；‎ ‎（2）由曲线的极坐标方程，求出，根据三点的极角求出，从而得，及，，然后可得三角形面积．‎ ‎【详解】（1）设，，由题意得 所以 又，所以 C是除去极点的圆：．‎ ‎（2）由已知，，‎ 因为 所以且 ‎∴‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查求极坐标方程，考查极坐标方程的应用．注意极坐标的意义即可．‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若实数a、b、c满足，求证：．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值三角不等式证明；‎ ‎（2）用柯西不等式证明．‎ ‎【详解】（1）因为 所以．‎ ‎（2）因为，所以由柯西不等式得 ‎（当且仅当时取等号）．‎ ‎【点睛】本题考查绝对值三角不等式和柯西不等式．掌握这两个不等式是解题关键．‎ ‎ ‎