2019-2020学年山东新高考质量测评联盟高二上学期10月联考数学试题（解析版） 18页

‎2019-2020学年山东新高考质量测评联盟高二上学期10月联考数学试题 一、单选题 ‎1．命题“，”的否定是（）‎ A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据命题“，”是全称命题，其否定为特称命题，将“任意”改为“存在”，“＞”改为“≤”即可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵命题“，”是全称命题，‎ ‎∴命题的否定为：，，‎ 故答案为B．‎ ‎【点睛】‎ 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里要注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定为特称命题，“存在”对应“任意”．属基础题．‎ ‎2．在数列中，，，，则（）‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎【答案】C ‎【解析】判断数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴数列为等差数列，设其公差为d.‎ ‎∵，，‎ ‎∴公差d=2，‎ ‎∴an=2+2(n−1)=2n，则.‎ 所以本题答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的定义和判断，考查等差数列的通项公式的基本运算，属基础题.‎ ‎3．已知数列是正项等比数列，若是和的等比中项，则的值是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等比中项的定义可得，再由下标和的性质即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据等比中项的定义可得，‎ 且数列是正项等比数列，则，‎ 由下标和的性质，，‎ 所以.‎ 所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质和等比中项的定义，注意仔细审题，认真计算，属基础题.‎ ‎4．在实数范围内，下列命题正确的是（）‎ A.若，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，则 ‎【答案】D ‎【解析】根据不等关系，结合举反例排除的方法依次判断即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ A项，如果，，，则，故A项错误；‎ B项，如果，，，，则，故B项错误；‎ C项，如果，，则，故C项错误；‎ D项，因为，则，不等式两边同除以c2即可得到结果，故D项正确.‎ 故本题正确答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等关系和不等式，关键在于运用举反例的方法进行排除，属基础题.‎ ‎5．已知数列的通项公式是，其前n项和为，则当取最小值时，n的值是（）‎ A.5 B.6 C.5或6 D.6或7‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先观察出数列是等差数列，由an=3n-18≤0解得n的范围即可分析得到结论.‎ ‎【详解】‎ 依题意，数列是等差数列，由an=3n-18≤0，解得n≤6，‎ ‎∴其前n项和Sn取最小值时，n的值为5，或6.‎ 所以本题答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的函数性质，考查其前n项和的最小值问题，注意仔细审题，认真计算，属基础题.‎ ‎6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）.‎ A．24里 B．12里 C．6里. D．3里 ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．‎ ‎【详解】‎ 解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，‎ 由，得，解得：，‎ ‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前项和，是基础的计算题．‎ ‎7．若数列的通项公式是，则（）‎ A.15 B.19 C.-19 D.-16‎ ‎【答案】C ‎【解析】通过观察数列的通项公式可知，数列每相邻的两项的和为常数，进而可求解.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知，，， . 故答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列求和，对于摇摆数列，常用的方法就是隔项取值，找出规律，属中档题.‎ ‎8．不等式的解集为，则不等式的解集为（）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于不等式的解集为，可得：，3是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系可把不等式化为二次不等式即可解出.‎ ‎【详解】‎ 不等式的解集为, ，3是一元二次方程的两个实数根，并且， ，， ‎ 不等式化为， ，即， 化为，解得或， 不等式的解集为：或.‎ 所以本题答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎9．若方程的一个根在内，另一个根在内，则实数a的取值范围是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据方程和函数之间的关系设，根据一元二次方程根的分布，建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 设函数，‎ ‎∵方程的一个根在内，另一个根在内，如图：‎ ‎∴，∴，解得：2<<4.‎ 所以本题答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次方程根的分布，考查函数与方程的关系，注意数形结合思想的运用，属中档题.‎ ‎10．关于x的不等式对于都成立，则实数λ的取值范围是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】将不等式分离参数转化为求最值问题，，构造函数，根据对勾函数的图象与性质即可得解.‎ ‎【详解】‎ 关于x的不等式对于都成立，‎ 即关于x的不等式对于都成立，‎ 则，而是对勾函数，‎ 当时，单调递减，‎ 当时，单调递增，‎ ‎，，所以，‎ 则，所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式恒成立问题，对勾函数的图象和性质等知识点，难度中档；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即可得解.‎ ‎11．在数列中，已知，，且满足，则（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据递推关系依次求出a1 ，a2 ，…，a7， a8，归纳分析可知数列{an}具有周期性，从而根据周期性求值即可.‎ ‎【详解】‎ 由已知得，，‎ 则数列{an}具有周期性，T=6，.‎ 所以本题答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的周期性，考查了归纳推理的方法，根据递推关系求出连续几项的值总结出规律是解本题的关键，属基础题.‎ ‎12．已知x，y为正实数，且满足，则的最大值是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】将整理变形得，又，可得，从而可求的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ 又，，，‎ 当且仅当时，取等号，则的最大值是.‎ 所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用，对条件等式进行适当化简变形使之便于利用基本不等式求最值是解题的关键，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知数列的前n项和，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据计算即可，注意检验是否符合表达式.‎ ‎【详解】‎ 由题意，数列的前项和为，‎ 所以，，‎ 所以时，，‎ 又当时，，‎ 所以.‎ 故本题正确答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据与关系求通项公式，理解并掌握是解题的关键，注意检验是否符合表达式，属基础题.‎ ‎14．在中，D是线段BC上的动点（不包括端点），满足，则的最小值是________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】根据三点共线的性质可得m+n=1，则，从而可利用基本不等式求最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵B，C，D三点共线，满足，‎ ‎∴m+n=1，m，n＞0，‎ 则，‎ 当且仅当，即时，取等号，‎ 所以的最小值是9.‎ 故本题答案为9.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三点共线的性质和基本不等式的应用，运用基本不等式时要注意取等号的条件，本题关键在于根据三点共线得到m+n=1，属中档题.‎ ‎15．在各项均为正数的等比数列中，前n项和为，且，，成等差数列，则的值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，，成等差数列得，可求数列的公比q，又，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ 设等比数列的公比为q(q>0)，‎ 由，，成等差数列可得，，‎ 即，则，解得，‎ 又，‎ 则.‎ 所以本题答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和等比数列的基本运算，利用等差中项的性质求出等比数列的公比q是解题的关键，属中档题.‎ ‎16．给出下列四个命题：‎ ‎①函数的最小值是2；‎ ‎②等差数列的前n项和为，满足，，则当时，取最大值；‎ ‎③等比数列的前n项和为，若，，则；‎ ‎④，恒成立，则实数a的取值范围是．‎ 其中所有正确命题的序号是________________________．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】①对式子变形并利用基本不等式，注意等号成立的条件不成立，从而可判断①错误；②由等差数列的前n项和公式以及下标和性质可得，，从而可判断②正确；③令，可得到一个反例，从而判断③错误；④先考虑时的情况，当时，分离参数可得，化简变形转化为求二次函数的最大值，从而可判断④正确.‎ ‎【详解】‎ ‎①，当且仅当时，等号成立，此时，无解，故①错误；‎ ‎②由，，‎ 则，，即，，‎ 所以当时，取最大值，故②正确；‎ ‎③令，则，，但是，故③错误；‎ ‎④当时，不等式成立，‎ 当时，分离参数可得，‎ 则，又，‎ 所以，故④正确.‎ 所以本题答案为②④.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与数列相关命题的判断，考查了基本不等式的应用，等差数列和等比数列的性质，以及前n项和的性质，综合性强，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．命题p:实数x满足，命题q:实数x满足，p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别解不等式求出命题p，q对应的集合A，B，由p是q的充分不必要条件可得，AÜB，由此建立关于a的不等式组，解之即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由，得，即，‎ 记，‎ 由，得，‎ 记，‎ ‎∵p是q的充分不必要条件，∴AÜB，‎ 则，‎ 即．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件，必要条件，充分不必要条件的概念，考查了根据集合法求解充分不必要条件中的参数问题，注意仔细审题，认真计算，属中档题.‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）当时，解关于x的不等式；‎ ‎（2）当时，解关于x的不等式．‎ ‎【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】（1）将的值代入已知可得，根据已知可得，解之即可得到解集；‎ ‎（2）对变形为，对a讨论，分，，，化简不等式，即可得到所求解集.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，由得．‎ 即，‎ 解得，或，‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）当时，由，得，即．‎ 方程的两根为，．‎ 当，即时，解得，‎ 当，即时，解得或，‎ 当，即时，解得或．‎ 综上所述：当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式和分类讨论的思想运用，利用因式分解法直接求一元二次方程的根是需要掌握的常用方法，属中档题.‎ ‎19．已知数列是等差数列，前n项和记为，，，数列是等比数列：‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，求数列的通项公式．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）法一：根据条件直接列出关于a1和d的方程组，计算求解即可；法二：由可得，，结合下标和性质可得，，再由即可求出a6，从而求出的公差d和通项公式；（2）根据等比数列的的通项公式列出关于b1和q的方程组，消去b1即可求出q，从而得到的通项公式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）法一：设等差数列的公差为d，∵，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴；‎ 法二：设等差数列的公差为d，∵，∴，‎ ‎∴，即，即，∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）设等比数列的公比为q，∵，∴，‎ ‎∴，显然，∴，解得，‎ 由，解得，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和等比数列的基本运算，考查了等差数列的求和公式和下标和性质，注意公式是否正确，属中档题.‎ ‎20．已知数列满足，.‎ ‎（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）‎ ‎【解析】（1）对变形整理可得，即，从而证得结论并求出通项公式；（2）化简，由此利用裂项相消法求和即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵，∴，‎ 整理，得，两边同除以，‎ ‎∴，‎ ‎∴是等差数列，公差是2，首项是，‎ 则，∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据递推关系求数列的通项公式和裂项相消法求和，考查了构造数列的方法运用，要求认真审题，计算准确，属中档题.‎ ‎21．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元．‎ ‎（1）每台充电桩第几年开始获利？（）‎ ‎（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．‎ ‎【答案】（1）公司从第3年开始获利；（2）在第8年时，每台充电桩年平均利润最大 ‎【解析】（1）由题意知每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公差的等差数列，由此可得第n年时累计利润的解析式，则，解之即可；（2）每台充电桩年平均利润为，由基本不等式可求出最大值，注意等号成立的条件.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公差的等差数列，设第n年时累计利润为，‎ ‎，‎ 开始获利即，∴，即，‎ 解得，∵，‎ ‎∴，∴公司从第3年开始获利；‎ ‎（2）每台充电桩年平均利润为 ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立．‎ 即在第8年时每台充电桩年平均利润最大为2400元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的实际应用和利用基本不等式求最值，考查学生分析问题，解决问题的能力，根据条件列出符合题意的表达式是解本题的关键，属中档题.‎ ‎22．数列的前n项和记为，，数列满足：‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，求数列的前n项和；‎ ‎（3）若对任意正整数n都成立，求实数x的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）由可得是等比数列，公比是-2，首项为1，由此可求出的通项公式，再对化简变形即可求出的通项公式；（2）根据错位相减法求出数列的前n项和即可；（3）令，利用作差法研究单调性，分析可知，从而解不等式即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，，‎ ‎∴，，‎ 两式相减，则，即，‎ ‎∴，，‎ ‎∵∴，‎ ‎∴是等比数列，公比是-2，首项为1，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎.‎ ‎∴；‎ ‎（3）令，‎ ‎，‎ 当时，，∴，即，‎ 当时，，∴即，‎ 当时，，∴，‎ ‎∴…，‎ ‎∴当时，．‎ ‎∵对任意正整数n都成立，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ 所以实数x的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查与的关系、错位相减法求和以及不等式恒成立问题，考查学生的逻辑推理能力和转化的思想运用，不等式恒成立问题一般转化为求最值问题，本题综合性较强，属难题.‎