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- 2021-06-11 发布
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一、选择题（本大题共11个小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.锐角中，角、所对的边长分别为、，若，则角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由，根据正弦定理得，又因为锐角，所以，故选C．
考点：正弦定理．
2.在中，角、、所对的边长分别为，，，且满足，则
的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【解析】
考点：三角函数的性质；正弦定理．
3.在中，，，则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：在中，由正弦定理，即，解得，又因为，所以为锐角，所以，故选D．
考点：正弦定理．
4.在中，角、、所对的边长分别为，，，若，且，
则的值为（ ）
A．5 B．6 C. D．
【答案】B
【解析】
考点：正弦定理．
5.已知等差数列的前9项的和为27，，则（ ）
A．100 B．99 C.98 D．97
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，因为等差数列的前项的和为，所以，又因为，所以，所以，故选C．
考点：等差数列的通项公式．
6.已知函数，且，则（ ）
A．0 B．100 C.5050 D．10200
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，，
所以，故选C．
考点：数列的求和．
7.数列中，，，则此数列前30项的绝对值的和为（ ）
A．720 B．765 C.600 D．630
【答案】B
【解析】
考点：数列的求和．
【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式、绝对值的意义等知识点的考查，着重考查了学生灵活运用等差数列的通项和公式和前项和公式化简求值和学生的推理与运算能力，本题的突破点是令通项公式大于等于，找出此数列从第项开始变为正数是解答的关键．
8.在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．80 B．60 C．40 D．20
【答案】A
【解析】
试题分析：设等差数列的的公差为，则，
又，故选A．
考点：等差数列的通项公式．
9.在数列中，，，则（ ）
A． B． C. 0 D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为，，所以，
，所以数列是以为周期的周期数列，所以，故选D．
考点：数列的性质．
10.数列是一个单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】
【方法点晴】本题主要考查了数列的单调性的应用，其中解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解和恒成立问题中分离参数法的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的考查，本题的解答中，把数列的单调性转化为不等式恒成立是解答的关键，属于中档试题．
11.如图，点列，分别在某锐角的两边上，且，，，
，，，（表示点与不重合），若，为
的面积，则（ ）
A．是等差数列 B．是等差数列
C.是等差数列 D．是等差数列
【答案】A
【解析】
考点：等差数列的定义．
【方法点晴】本题主要考查了等差数列的判定问题，其中解答中涉及到等差数列的等差中项公式、三角巷的面积公式和三角形相似的性质等知识点的考查，其中解答中要注意三角形相似的性质和等差中项公式的灵活运用是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力试题有一定的难度，属于中档试题．
第Ⅱ卷（非选择题共95分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
12.设在的内角的对边分别为，且满足，则
．
【答案】
【解析】
试题分析：在中，由，可利用余弦定理得
,即，
所以，所以.
考点：正弦定理；三角恒等变换的应用．
13.如图，在圆的内接四边形中，，，，，则
.
【答案】
【解析】
考点：与圆有关的比例线段．
14.如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得
，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高 .
【答案】
【解析】
试题分析：在中，由正弦定理，得，在中，
．
考点：三角形的实际应用．
【方法点晴】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、直角三角形的性质、三角函数的定义等知识的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中正确的理解题意，恰当选择三角形，利用正、余弦定理求解是解答的关键．
15.已知对于任意的自然数，抛物线与轴相交于，两点
，则
.
【答案】
【解析】
考点：数列的求和．
【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到一元二次函数、一元二次方程、数列的裂项求和等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中整理理解题意，根据一元二次函数和一元二次方程，求得点的坐标，得到是解得关键，属于中档试题．
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.(本题满分12分)
在中，角对应的三边长分别为，若，．
（1）求的值；
（2）求函数的值域.
【答案】(1)；(2)．
【解析】
试题分析：(1)利用平面向量的数量积的运算，化简，再利用余弦定理列出关系式，将化简结果及的值代入计算即可求出的值；(2)由基本不等式求出的范围，根据，得出，进而利用余弦函数的性质求出角的范围，再化简，即可求出的值域．
考点：正弦定理；余弦定理．
17.（本小题满分12分）
在中，角对应的三边长分别为，点在直线
上．
（1）求角的值；
（2）若，且，求．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
试题分析：(1)已知等式利用正弦定理化简，利用余弦定理表示出，将得到的关系式代入，求出的值，即可求解角的值；(2)利用三角恒等变换的公式，化简得，又由且，得出，即可求解角的大小，从而得出的值．
试题解析：（1）由题得，
由正弦定理得，即,
由余弦定理得，
结合，得．
考点：正弦定理与余弦定理．
18.（本小题满分12分）
如图，在等腰直角中，，点在线段上．
（1）若，求的长；
（2）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面
积的最小值．
【答案】(1)或；(2)时，的面积的最小值为．
【解析】
试题分析：(1)在中，，，
，通过余弦定理，即可求解的长；(2)利用正弦定理求出，表示出的面积，利用两角和与差的三角函数化简函数为，然后利用三角函数的图象与性质，即可得出当时，的面积的最小值．
.
因为，，所以当时，的最大值为1，
此时的面积取到最小值，即时，的面积的最小值为．
考点：解三角形；正弦定理；三角形的面积公式．
19.（本小题满分13分）
某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能减排和
控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5
万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年
的水平不变．
（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列，每年发放电动型汽车牌照数为
构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；
（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？
．
【答案】(1) ；(2)年累计发放汽车牌照超过万张．
【解析】
试题解析：（1）
9
当且，；
当且，，
，
而，∴。
（2）当时，，
当时，
由得，即，得，
到2029年累计发放汽车牌照超过200万张．
考点：数列的实际应用．
20.（本小题满分13分）
已知数列，，记，，
，若对于任意，，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
试题解析：（1）根据题意成等差数列，∴；…………2分
整理得，
∴数列是首项为，公差为3的等差数列．……………………4分
∴．……………………………………6分
（2），记数列的前项和为，
当时，；……………………9分
当时，；………………11分
综上：…………………………13分。
考点：等差、等比数列的通项公式及其求和公式．
【方法点晴】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式及其求和公式的简单应用，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解和等比数列的通项公式的求解，以及等差、等比数列的前项和公式的应用，着重考查了学生的推理与运算能力，本题的解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式是解得基础，属于基础试题．
21.（本小题满分13分）
已知等差数列的前项和为，已知．
（1）求通项；
（2）记数列的前项和为，数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析．
【解析】
（2），，，…………8分
，
，……………………10分
．……………………………………13分
考点：数列的综合应用．
【方法点晴】本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中涉及到等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，以及“裂项求和”方法的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中熟记等差数列通项公式和求和公式，以及灵活变形是解答的关键．
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