2018-2019学年江苏省泰州市姜堰区高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版） 13页

‎2018-2019学年江苏省泰州市姜堰区高二下学期期中考试数学（文）试题 一、填空题 ‎1．集合,则___________.‎ ‎【答案】{1}‎ ‎【解析】根据交集运算的规则可得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：因为集合，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交集运算问题，属于基础题.‎ ‎2．命题“”是________命题．（选填“真”、“假”）‎ ‎【答案】真.‎ ‎【解析】根据函数的图像，可以得出命题“” 的真假性.‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数的图像恒在轴上方，‎ 故恒成立，‎ 故“”是真命题 ‎【点睛】‎ 本题考查了全称命题的真假性，解题的关键是要能准确作出函数的图像.‎ ‎3．函数的定义域是____________.‎ ‎【答案】(1,+∞)‎ ‎【解析】∵，∴．‎ ‎4．有5个数据分别为2，4，5，6，8，则这5个数据的平均数是___________.‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】根据平均值公式求解.‎ ‎【详解】‎ 解：这5个数据的平均数为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平均数的问题，求解的关键是熟练运用公式.‎ ‎5．袋中有形状、大小都相同的3只球，其中1只白球，1只红球，1只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色为一红一黄的概率为_______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】先列举出一次随机摸出2只球的所有事件，然后再从中找出颜色为一红一黄的事件，根据古典概型公式求解其概率.‎ ‎【详解】‎ 解：从袋中一次随机摸出2只球的事件为：（白，红），（白，黄），（红，黄）共有3种，‎ 满足颜色为一红一黄的事件为（红，黄）只有一种，‎ 故这2只球颜色为一红一黄的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查是古典概型，当所有事件数比较少时，可采用列举的方法解题，解题的难点在于，在列举过程中要做到 “不重不漏”.‎ ‎6．某校高一年级有学生850人，高二年级950人，高三年级1400人，现采用分层抽样抽取容量为64的一个样本，那么在高三年级应抽取的人数为______.‎ ‎【答案】28.‎ ‎【解析】根据分层抽样的公式求解即可得到.‎ ‎【详解】‎ 解：因为采用分层抽样抽取容量为64的一个样本，‎ 所以，‎ 故在高三年级应抽取的人数为28人.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分层抽样的问题，理解分层抽样的公式是解题的关键.‎ ‎7．如图，程序执行后输出的结果为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得a=5，S=1‎ 满足判断框内的条件，执行循环体，S=5，a=4‎ 满足判断框内的条件，执行循环体，S=20，a=3‎ 满足判断框内的条件，执行循环体，S=60，a=3‎ 此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为60．‎ 故答案为：60．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎8．计算__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】运用对数、指数的运算公式求解.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数、指数的运算，解题的关键是正确运用对、指数运算公式.‎ ‎9．“”是“函数为R上的增函数”的_______.（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中的一个）‎ ‎【答案】充分不必要条件.‎ ‎【解析】先从充分性进行研究，再从必要性角度研究，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解：当时，故函数为R上的增函数，满足充分性，‎ 当函数为R上的增函数时，可以得到，故不满足必要性，‎ 故本题的答案是充分不必要条件.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件，解题此类问题首先要搞清楚什么是条件，什么是结论，由条件得出结论满足充分性，由结论推出条件满足必要性.‎ ‎10．已知函数是偶函数，且当时，，则_________.‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】由于函数是偶函数，故求解即为求解，然后根据解析式求解结果.‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数是偶函数，‎ 所以，‎ 因为当时，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性，利用函数性质对目标进行转化是解题的关键.‎ ‎11．已知函数，则_________.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】将自变量代入函数解析式，利用对数中的恒等式进行运算.‎ ‎【详解】‎ 解：因为 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了对数的运算，解题的关键是熟练运用几个对数中的恒等式.‎ ‎12．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足 的的取值范围是____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】偶函数在上单调递增，故得到在上单调递减，结合图像，便可得到不等式的解.‎ ‎【详解】‎ 解：因为偶函数在上单调递增，‎ 因为，即 所以，，‎ 解得，‎ 所以的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性的综合应用，根据函数性质得出关于的不等式时解题的关键，同时还要注意函数的定义域.‎ ‎13．若函数在区间上是增函数，则的取值范围是______ .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据复合函数单调性的性质，可得函数在上是增函数，再根据对数函数的定义域要求得到在上恒成立，从而得出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：因为函数在区间上是增函数，‎ 根据“同增异减”的规则，故函数在上是增函数，‎ 所以，即，‎ 因为函数要有意义，‎ 故在上恒成立，‎ 所以，‎ 因为在上是增函数，‎ 所以，‎ 故，解得，‎ 所以的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合函数的单调性、对数函数的定义域等问题，复合函数的单调性规则为“同增异减”.‎ ‎14．如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结论：‎ ‎①函数存在“线性覆盖函数”；‎ ‎②对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；‎ ‎③为函数的一个“线性覆盖函数”；‎ ‎④若为函数的一个“线性覆盖函数”，则 其中所有正确结论的序号是___________.‎ ‎【答案】②③.‎ ‎【解析】根据题中提供的定义，对每一个选项通过证明或找反例分析对错，从而解得正确选项.‎ ‎【详解】‎ 解：选项①：假设存在，为函数的一个“线性覆盖函数”，此时显然不成立，只有才有可能使得对函数定义域内任意都有成立，即，而事实上，增长的速度比要快很多，当时，的函数值一定会大于的函数值，故选项①不成立；‎ 选项②：如函数，则就是函数的一个“线性覆盖函数”，且有无数个，再如①中的就没有“线性覆盖函数”，所以命题②正确；‎ 选项③：设，‎ 则，‎ 令，解得，‎ 当时，，函数为单调增函数；‎ 当时，，函数为单调减函数；‎ 所以 ‎，‎ 所以在上恒成立，故满足定义，选项③正确；‎ 选项④：若为函数的一个“线性覆盖函数”，‎ 则 在R上恒成立，‎ 即在R上恒成立，‎ 故，‎ 因为开口向下，对称轴为，‎ 所以当时，，‎ 所以，所以选项④错误，‎ 故本题选择②③.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了新定义的函数问题，解决问题的关键是要能将未知的问题向熟悉的问题进行转化，本题还考查了转化与化归的能力.‎ 二、解答题 ‎15．已知全集U=R，集合，．‎ ‎（1）若，求;‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ..(2) .‎ ‎【解析】（1）将的值代入，根据交集与并集运算规则求解，‎ ‎（2）作出数轴图，根据子集运算规则求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，‎ 所以，‎ 故，.‎ ‎（2）因为，‎ 如图所示 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的交、并、子集问题，熟知交、并、子集的运算规则是解决问题的关键.‎ ‎16．已知关于x的方程有实数根.‎ ‎（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若为假命题，为真命题，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】（1）若q为真命题，则得到，从而得出结果；‎ ‎（2）若为假命题，为真命题，故得到P是真命题，为假命题，从而解决问题.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为q为真命题，‎ 即关于x的方程有实数根，‎ 故，‎ 解得.‎ ‎（2）由为假命题，为真命题，‎ 所以P是真命题，为假命题，‎ 所以，‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了常用逻辑用语“或”“且”“非”的问题，解题的关键是要能结合二次方程根的情况、二次函数的图像将其中的参数在真命题的情况下求解出来.‎ ‎17．已知函数，为常数 ‎（1）若，判断并证明函数的奇偶性；‎ ‎（2）若，用定义证明：函数在区间（0，）上是增函数。‎ ‎【答案】(1) 为奇函数,(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）根据奇偶性的定义求解函数的奇偶性；‎ ‎（2）根据求解单调性的步骤证明函数的单调性.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解: 当时，函数为奇函数，‎ ‎，‎ 对恒成立,‎ 为奇函数. ‎ ‎（2）,‎ ‎，‎ 设任意的,且. ‎ ‎. ‎ ‎,且，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 所以函数在区间上是增函数.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了用定义法解决函数的两大性质：单调性与奇偶性，不论解决函数的什么性质都要遵循“定义域优先”的原则.‎ ‎18．已知函数，为实数，‎ ‎（1）若函数在区间上是单调函数，求实数的范围；‎ ‎（2）若对任意，都有成立，求实数的值；‎ ‎（3）若，求函数的最小值。‎ ‎【答案】(1) (2)-4.(3) 见解析.‎ ‎【解析】（1）函数在区间上是单调函数，故分单调增与单调减两种情况进行讨论求解的取值范围；‎ ‎（2）对任意，都有成立，可以得到二次函数的对称轴，从而解得结果；‎ ‎（3）要求函数的最小值，首先要求出在上单调性，根据题意分情况讨论求解函数的单调性及最值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）函数在区间上是单调函数，‎ 函数的对称轴为，‎ 所以对称轴或 ，所以或.‎ ‎（2）因为函数对任意，都有成立，‎ 所以的图像关于直线对称，‎ 所以，‎ 得． ‎ ‎（3）若即时，‎ 函数在单调递增，‎ 故.‎ ‎ 若即时，‎ 函数在单调递减，‎ 故. ‎ ‎ 若即时，‎ 函数在单调递减，‎ 函数在单调递增，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的图像及性质，根据对称轴与定义域的关系进行分情况讨论是解题的关键，本题还考查了分类讨论、数形结合的思想方法.‎ ‎19．已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，求方程的解；‎ ‎（3）若，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1) ;(2) x=81或x=;(3) 或 ‎【解析】（1）不等式等价于，根据函数的单调性求解；‎ ‎（2）利用对数运算将分程进行化简，然后将log3x视作为整体，求出log3x的值，从而解决问题；‎ ‎（3）根据函数单调性的情况，对进行分情况讨论求解实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当a=2时，f（x）=log2x,‎ 不等式，‎ ‎（2）当a=3时，f（x）=log3x，‎ ‎∴f（）f（3x）‎ ‎=（log327﹣log3x）（log33+log3x）‎ ‎=（3﹣log3x）（1+log3x）=﹣5，‎ 解得：log3x=4或log3x=﹣2，‎ 解得：x=81，x=； ‎ ‎（2）∵f（3a﹣1）＞f（a），‎ ‎①当0＜a＜1时，‎ 函数单调递增，‎ 故0＜3a﹣1＜a，‎ 解得：＜a＜， ‎ ‎②当a＞1时，‎ 函数单调递减，‎ 故3a﹣1＞a，‎ 解得：a＞1， ‎ 综上可得：＜a＜或a＞1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数的单调性，对数函数的定义域等知识，解题的关键是熟知对数函数的图像及性质，本题还考查了整体的思想方法和分类讨论的思想方法.‎ ‎20．设函数， ．‎ ‎（1）解方程．‎ ‎（2）令，求的值．‎ ‎（3）若是定义在上的奇函数，且对任意恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】(1)2.(2)1009.(3) .‎ ‎【解析】（1）将题中的条件代入得，将视作为整体，先求出的值，从而得出的值；‎ ‎（2）根据题意发现规律，由此规律解得结果；‎ ‎（3）根据题意首先求出的值，研究出函数的单调性，将题中的不等式转化为恒成立问题，分离变量构造函数，求解新函数最值，从而得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为 即 ，‎ 即 ，‎ 解得 或 （舍）‎ 故．‎ ‎（2）∵‎ ‎， ‎ ‎=1009.‎ ‎（3）∵是实数集上的奇函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得， ，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 设，‎ 则 因为，，‎ 所以 所以，‎ 所以在上单调递增，‎ 由 得，‎ 又∵是上的奇函数，‎ ‎∴，‎ 又∵在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 即对任意的都成立，‎ 即对任意都成立，‎ 又∵，当且仅当，即时取“=”，‎ ‎∴. ‎ 故实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的性质、最值以及不等式恒成立问题，函数的性质常见的求解方法是根据定义、图像、导数等进行求解，不等式恒成立问题常见解法是通过分离变量转化为函数的最值问题.‎