2020-2021年新高三数学一轮复习训练：函数的奇偶性与周期性 12页

2020-2021 年新高三数学一轮复习训练：函数的奇偶性与周期性 判断函数的奇偶性 1.(2018·全国Ⅲ)已知函数 f (x)＝ln( 1＋x2－x)＋1，f (a)＝4，则 f (－a)＝________. 答案 －2 解析 ∵f (x)＋f (－x)＝ln( 1＋x2－x)＋1＋ln( 1＋x2＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2， ∴f (a)＋f (－a)＝2，∴f (－a)＝－2. 2.（1）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y＝x＋sin 2x B.y＝x2－cos x C.y＝2x＋1 2x D.y＝x2＋sin x (2)已知 f(x)＝ x 2x－1，g(x)＝x 2，则下列结论正确的是( ) A.f(x)＋g(x)是偶函数 B.f(x)＋g(x)是奇函数 C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数 解析 (1)对于 A，定义域为 R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对 于 B，定义域为 R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于 C，定义域为 R，f(－x)＝2－x＋ 1 2－x＝2x＋1 2x＝f(x)，为偶函数；对于 D，y＝x2＋sin x 既不是偶函数也不是奇 函数. (2)令 h(x)＝f(x)＋g(x)， 因为 f(x)＝ x 2x－1，g(x)＝x 2， 所以 h(x)＝ x 2x－1＋x 2＝ x·2 x＋x 2（2x－1）， 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 因为 h(－x)＝ －x·2 －x－x 2（2－x－1）＝x（1＋2x） 2（2x－1）＝h(x)， 所以 h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数， 令 F(x)＝f(x)g(x)＝ x2 2（2x－1）， 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 所以 F(－x)＝ （－x）2 2（2－x－1）＝ x2·2 x 2（1－2x）， 因为 F(－x)≠F(x)且 F(－x)≠－F(x)， 所以 F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 答案 (1)D (2)A 函数的周期性及其应用 (1)(2019·南充二模)设 f(x)是周期为 4 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x(1＋x)，则 f －9 2 ＝ ( ) A.－3 4 B.－1 4 C.1 4 D.3 4 (2)(2017·山东卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝f(x－2).若当 x∈[－3，0]时，f(x) ＝6－x，则 f(919)＝________. 解析 (1)∵f(x)是周期为 4 的奇函数， ∴f －9 2 ＝－f 9 2 ＝－f 1 2 又 0≤x≤1 时，f(x)＝x(1＋x) 故 f －9 2 ＝－f 1 2 ＝－1 2 1＋1 2 ＝－3 4. (2)∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即 f(x＋6)＝f(x)， ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)， 又 f(x)在 R 上是偶函数， ∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即 f(919)＝6. 答案 (1)A (2)6 函数性质的综合运用 (1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数 f(x)的图象关于直线 x＝3 对称，当 x∈[0，3]时，f(x)＝－ x，则 f(－16)＝________. (2)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数 t 满足 f(ln t)＋f ln 1 t ≤2f(1)，那么 t 的取值范围是________. 解析 (1)根据题意，函数 f(x)的图象关于直线 x＝3 对称，则有 f(x)＝f(6－x)， 又由函数为奇函数，则 f(－x)＝－f(x)， 则有 f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)， 则 f(x)的最小正周期是 12， 故 f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2. (2)由于函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 所以 f(ln t)＝f ln 1 t ， 由 f(ln t)＋f ln 1 t ≤2f(1)， 得 f(ln t)≤f(1). 又函数 f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数， 所以|ln t|≤1，即－1≤ln t≤1，故1 e≤t≤e. 答案 (1)2 (2) 1 e，e 1 已知奇函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且 f(1)＝0， 若 f(x－1)>0，则 x 的取值范围为( ) A.{x|02} B.{x|x<0 或 x>2} C.{x|x<0 或 x>3} D.{x|x<－1 或 x>1} 2.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有( ) A.f 3 2 0， 0，x＝0， x2＋mx，x<0 是奇函数. (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围. 10.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 都有 f 3 2＋x ＝－f 3 2－x 成立. (1)证明 y＝f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若 f(1)＝2，求 f(2)＋f(3)的值； (3)若 g(x)＝x2＋ax＋3，且 y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数 a 的值. 11.设 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x. (1)求 f(π)的值； (2)当－4≤x≤4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积. 12.判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝x3＋x，x∈[－1,4]； (2)f (x)＝ln 2－x 2＋x； (3)f (x)＝ 1 ax－1＋1 2(a>0，且 a≠1)； (4)f (x)＝   x2＋x，x<0， －x2＋x，x>0. 拓展练 1.答案 A 解析 由题意知函数 f(x)在(－∞，0)上单调递增，且 f(－1)＝0， 不等式 f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(1)或 f(x－1)>f(－1). ∴x－1>1 或 0>x－1>－1， 解之得 x>2 或 0f (1)>f ( 2)， ∴f ( 2)0)． 设过定点(0,2)的直线 y＝k1x＋2 与曲线 y＝f (x)＝－x2＋2x(x>0)切于点 A(x1，f (x1))， 则 k1＝－2x1＋2＝－x21＋2x1－2 x1－0 ， 解得 x1＝ 2或 x1＝－ 2(舍去)， 所以 k1＝－2 2＋2. 由图可知，若曲线 y＝f (x)存在“优美点”，则 k≤2－2 2. 10.解 ∵f (x)为奇函数，且在[0,1)上为增函数， ∴f (x)在(－1,0)上也是增函数． ∴f (x)在(－1,1)上为增函数． f (x)＋f  x－1 2 <0⇔f (x)<－f  x－1 2 ＝f  1 2－x ⇔    －10，且 f(x)为奇函数， 则 f(－x)＝log3(1－x)，所以 f(x)＝－log3(1－x). 因此 g(x)＝－log3(1－x)，x<0， 故 g(－8)＝－log39＝－2. 法二 由题意知，g(－8)＝f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2. 3.答案 B 解析 由 f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为 4 的函数， f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)， 又 f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)， 由－1∈(－2，0)得 f(－1)＝2， ∴f(2 019)＝2. 4.答案 C 解析 法一 易知 g(x)＝xf(x)在 R 上为偶函数， ∵奇函数 f(x)在 R 上是增函数，且 f(0)＝0. ∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数. 又 3>log25.1>2>20.8，且 a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)， ∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则 c>a>b. 法二 (特殊化)取 f(x)＝x，则 g(x)＝x2 为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又 3>log25.1>20.8， 从而可得 c>a>b. 5.答案 A 解析 因为 f(x＋1)是偶函数，所以 f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以 f(x)的图象关于 x＝1 对称，由 f(m ＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，即|m＋1|≤|x－2|在 x∈[－1，0]恒成立，所以|m＋ 1|≤|x－2|min，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1. 6.答案 1 解析 f(x)为偶函数，则 y＝ln(x＋ a＋x2)为奇函数， 所以 ln(x＋ a＋x2)＋ln(－x＋ a＋x2)＝0， 则 ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1. 7.答案 －2 解析 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝0， 又 f(x)在 R 上的周期为 2， ∴f(2)＝f(0)＝0. 又 f －5 2 ＝f －1 2 ＝－f 1 2 ＝－4 1 2＝－2， ∴f －5 2 ＋f(2)＝－2. 8.答案  1 3，1 解析 由 f(x)＝ln(1＋|x|)－ 1 1＋x2，知 f(x)为 R 上的偶函数，于是 f(x)＞f(2x－1)即为 f(|x|)＞f(|2x －1|). 当 x≥0 时，f(x)＝ln(1＋x)－ 1 1＋x2，所以 f(x)为[0，＋∞)上的增函数，则由 f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x| ＞|2x－1|，两边平方得 3x2－4x＋1＜0，解得1 3＜x＜1. 9.解 (1)设 x<0，则－x>0， 所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x). 于是 x<0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以 m＝2. (2)要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增， 结合 f(x)的图象知  a－2>－1， a－2≤1， 所以 10， 则 f (－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f (x)； 当 x>0 时，－x<0， 则 f (－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f (x)； 综上可知，对于定义域内的任意 x，总有 f (－x)＝－f (x)， ∴函数 f (x)为奇函数．