四川省宜宾市第四中学校2020届高三下学期第四学月考试数学（理）试题 10页

‎2020年春四川省宜宾市第四中学高三第四学月考试 理科数学 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知为虚数单位，则 A． B． C． D．‎ ‎2．若集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎3．设，，若，则 A． B． C．1 D．1或 ‎4．某民航部门统计的2019年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表如图所示，根据图表，下面叙述不正确的是 A．同去年相比，深圳的变化幅度最小且厦门的平均价格有所上升 B．天津的平均价格同去年相比涨幅最大且2019年北京的平均价格最高 C．2019年平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州 D．同去年相比，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京 ‎5．若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为 A．672 B．-672 C．5376 D．-5376‎ ‎6．函数的图象大致为 A． B． C． D．‎ ‎7．函数，则下列表述正确的 A．在单调递减 B．在单调递增 C．在单调递减 D．在单调递增 ‎8．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色其面积称为朱实，黄实，利朱用2×勾×股+（股-勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为 A．886 B．500 ‎ C．300 D．134‎ ‎9．如图，在正方体中，点O为线段的中点，设点P在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎11．已知圆和两点.若圆上存在点，使得，则的最大值为 A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎12．已知函数，，若成立，则的最小值为 A． B．1 C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．函数在处的切线方程是______.‎ ‎14．函数，则____________．‎ ‎15．已知数列的前项和，设，则数列的前项和________.‎ ‎16．若三棱锥的侧棱，其体积的最大值为，则其外接球的表面积为___________.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）在中，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：是直角三角形；‎ ‎（Ⅱ）若点在边上，且，求．‎ ‎18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．‎ ‎（I）求与平面所成角的正弦．‎ ‎（II）求二面角的余弦值．‎ ‎19．（12分）2019年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.新能源汽车销售的春天来了！从衡阳地区某品牌新能源汽车销售公司了解到，为了帮助品牌迅速占领市场，他们采取了保证公司正常运营的前提下实行薄利多销的营销策略（即销售单价随日销量（台）变化而有所变化），该公司的日盈利（万元），经过一段时间的销售得到，的一组统计数据如下表：‎ 日销量台 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 日盈利万元 ‎6‎ ‎13‎ ‎17‎ ‎20‎ ‎22‎ 将上述数据制成散点图如图所示：‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断与中，哪个模型更适合刻画，之间的关系？并从函数增长趋势方面给出简单的理由；‎ ‎（Ⅱ）根据你的判断及下面的数据和公式，求出关于的回归方程，并预测当日销量时，日盈利是多少？‎ 参考公式及数据：线性回归方程，其中，；‎ ‎，，‎ ‎，.‎ ‎20．（12分）已知椭圆的离心率为，，分别是其左、右焦点，且过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程； ‎ ‎ （Ⅱ）求的外接圆的方程.‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）（2）证明：（i）；（ii）对任意，对恒成立．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）.‎ ‎（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎2020年春四川省宜宾市第四中学高三第四学月考试 理科数学参考答案 ‎1-5:CAAAC 6-10:CDDBA 11-12:BA ‎13． 14．10 15． 16．‎ ‎17．（1）在中，，，，‎ 由余弦定理，得,所以，‎ 所以，所以，‎ 所以，所以是直角三角形． ‎ ‎（2）设，则，，，‎ 所以， ‎ 在中，，‎ ‎ ‎ ‎， 由正弦定理得，，‎ 所以 ‎18．（）∵是矩形，∴，又∵平面，‎ ‎∴，，即，，两两垂直，‎ ‎∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，‎ 由，，得，，，，，，‎ 则，，，设平面的一个法向量为，‎ 则，即，令，得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，故与平面所成角的正弦值为．‎ ‎（）由（）可得，设平面的一个法向量为，‎ 则，即，令，得，，∴，‎ ‎∴，故二面角的余弦值为．‎ ‎19．（1）更适合刻画，之间的关系.‎ 理由如下：每增加1，函数值的增加量依次为7，4，3，2，增长速度越来越慢，适合对数型函数模型的增长规律，与直线型函数的均匀增长有较大的差异；‎ ‎（2）令，则，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 所以，所要求的回归方程为.当日销量时，日盈利万元.‎ 所以，当日销量时，预测日盈利是24万元.‎ ‎20．（1）因为椭圆的离心率为，所以. ①‎ 又椭圆过点，所以代入得. ②又， ③‎ 由①②③，解得.所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由（1）得，，的坐标分别是，‎ 因为的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上，‎ 即的外接圆的圆心一定在轴上，‎ 所以可设的外接圆的圆心为，半径为，圆心的坐标为，‎ 则由及两点间的距离公式，得，‎ 即，化简得，解得，‎ 所以圆心的坐标为，半径，‎ 所以的外接圆的方程为，即.‎ ‎21．（1）若，（），‎ 令，得或， 则的单调递增区间为，. ‎ 令，得，则的单调递减区间为. ‎ ‎（2）证明：（i）设，则（），‎ 令，得；令，得. 故，‎ 从而，即. ‎ ‎（ii）函数,由（i）可知 即，所以，当时取等号；‎ 所以当时，则 若，令 则，‎ 当时，. ‎ 则当时，， 故对任意，对恒成立.‎ ‎22．解：(1)由题意有，得，x＋y＝4，‎ 直线l的普通方程为x＋y－4＝0.因为ρ＝4sin 所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，两边同时乘以得，ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，因为，‎ 所以x2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4. ‎ ‎(2)∵原点O到直线l的距离 直线l过圆C的圆心(，1)，‎ ‎∴|MN|＝2r＝4，所以△MON的面积S＝ |MN|×d＝4.‎ ‎23．（Ⅰ）由题意知，，‎ 若，则不等式化为，解得；‎ 若，则不等式化为，解得，即不等式无解；‎ 若，则不等式化为，解得，‎ 综上所述，的取值范围是；‎ ‎（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，‎ 只需，‎ 当时，，，‎ 因为，所以当时，‎ ‎，‎ 即，解得，‎ 结合，所以的取值范围是.‎ ‎.‎