2019届二轮（理科数学）　数列的综合问题课件（32张）（全国通用） 32页

第4节　数列的综合问题 内容简介 本节主要包含以下三方面的知识点 : (1) 数列的综合问题 ; (2) 数列应用题的基本类型及解题基本步骤 ; (3) 数列与其他知识的综合应用 . 考试说明要求 : (1) 以递推关系为背景 , 在等差、等比数列交汇的题目中 , 进行数列的基本运算 , 求数列的通项公式与前 n 项和 ; (2) 在数列与函数、不等式、解析几何的交汇处 , 考查数列的综合应用 ; (3) 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系 , 并能用相关知识解决相应的问题 . 知识梳理 例题精讲 课前检测 知识梳理 1.数列在实际生活中有着广泛的应用,其解题的基本步骤 审题:仔细阅读材料,认真理解题意. 建模:将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的结构和特征. 求解:求出该问题的数学解. 还原:将所求结果还原到原实际问题中. 2.数列应用问题的常见模型: (1)等差模型:一般地,如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差,其一般形式是a n+1 -a n =d(常数). (2) 等比模型 : 一般地 , 如果增加 ( 或减少 ) 的量是一个固定的百分数时 , 该模型是等比模型 , 与变化前的量的比就是公比 . (3) 混合模型 : 在同一个问题中 , 同时涉及等差数列和等比数列的模型 . (4) 生长模型 : 如果某一个量 , 每一期以一个固定的百分数增加 ( 或减少 ), 同时又以一个固定的具体量增加 ( 或减少 ) 时 , 我们称该模型为生长模型 . 如分期付款问题 , 树木的生长与砍伐问题等 . (5) 递推模型 : 如果容易找到该数列任意一项 ( 第 2 项起 ) 与它的前一项 ( 或前几项 ) 间的递推关系式 , 那么我们可以用递推数列的知识求解问题 . 3. 数列与函数、不等式、解析几何 (1) 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题 , 与不等式相关的大多是数列的前 n 项和问题 , 对于这种问题 , 在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决 , 要掌握常见的解决数列的方法 , 以便更好地解决问题 . (2) 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题 , 关键是充分利用解析几何的有关性质、公式 , 建立数列的递推关系式 , 然后借助数列的知识加以解决 . (3) 数列是一种特殊的函数 , 故数列有着许多函数的性质 . 等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列 , 它们是研究数列性质的基础 , 它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系 , 等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用 , 随着高考对能力要求的进一步增加 , 这一部分内容也将受到越来越多的关注 . 课前检测 1. 已知 {a n },{b n } 均为等差数列 , 且 a 2 =8,a 6 =16,b 2 =4,b 6 =a 6 , 则由 {a n },{b n } 的公共项组成的新数列 {c n } 的通项公式 c n 等于 ( 　 　 ) (A)3n+4 (B)6n+2 (C)6n+4 (D)2n+2 C 解析: 因为等差数列{a n }满足a 2 =8,a 6 =16,所以a n =2n+4, 等差数列{b n }满足b 2 =4,b 6 =a 6 =16,所以b n =3n-2, 所以{a n },{b n }的公共项为c 1 =10,c 2 =16,c 3 =22, … , 所以c n =6n+4.故选C. 2. 若正项数列 {a n } 满足 lg a n+1 =lg a n +1, 且 a 2 001 +a 2 002 +…+a 2 010 =2 018, 则 a 2 011 + a 2 012 +…+a 2 020 的值为 ( 　 　 ) (A)2 018×10 10 (B)2 018×10 11 (C)2 019×10 10 (D)2 019×10 11 A 3. 某住宅小区计划植树不少于 100 棵 , 若第一天植 2 棵 , 以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍 , 则需要的天数 n(n∈ N + ) 等于 　　　　 .   答案 : 6 例题精讲 考点一 等差、等比数列的综合问题 等差数列与等比数列的综合问题 , 要能在具体情境中识别数列的等差、等比关系 , 并能利用等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式解决相应问题 . 变式 : 已知 {a n } 是等差数列 , 满足 a 1 =3,a 4 =12, 数列 {b n } 满足 b 1 =4,b 4 =20, 且 {b n -a n } 为等比数列 . (1) 求数列 {a n } 和 {b n } 的通项公式 ; (2) 求数列 {b n } 的前 n 项和 . 考点二 数列在实际问题中的应用 首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,使关系明朗化、标准化.然后用等差、等比数列知识求解. 【 例2 】 某市地铁连同站台等附属设施全部建成后,平均每公里需投资人民币1亿元,全部投资都从银行贷款.从投入营运那一年开始,地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金0.05亿元,这笔贷款本金先用地铁营运收入支付,不足部分由市政府从公用经费中补足.地铁投入营运后,平均每公里年营运收入(扣除日常管理费等支出后)第一年为0.012 4亿元,以后每年增长20%,到第20年后不再增长. (1)地铁营运几年,当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金? 解 : (1) 地铁营运第 n 年的收入 a n =0.012 4×(1+0.2) n-1 ,n∈ N + , 根据题意有 0.012 4×(1+0.2) n-1 >0.05, 解得 n≥9. 即地铁营运 9 年 , 当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金 . (2) 截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年 , 市政府已累计为 1 公里地铁支付多少元费用 ?( 精确到元 ,1 亿 =1×10 8 ) 变式 : 为保护我国的稀土资源 , 国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨 , 该矿区计划从 2013 年开始出口 , 当年出口 a 吨 , 以后每年出口量均比上一年减少 10%. (1) 以 2013 年为第一年 , 设第 n 年出口量为 a n 吨 , 试求 a n 的表达式 ; 解: (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项a 1 =a, 公比q=1-10%=0.9, 所以a n =a · 0.9 n-1 . (2) 因稀土资源不能再生 , 国家计划 10 年后终止该矿区的出口 , 问 2013 年最多出口多少吨 ?( 结果保留一位小数 , 参考数据 :0.9 10 ≈0.35) 考点三 数列与函数 变式 : 已知函数 f(x)=x 2 +bx 为偶函数 , 数列 {a n } 满足 a n+1 =2f(a n -1)+1, 且 a 1 =3,a n >1. (1) 设 b n =log 2 (a n -1), 求证 : 数列 {b n +1} 为等比数列 ; (2)设c n =nb n ,求数列{c n }的前n项和S n . 考点四 数列与不等式 考点五 数列与解析几何 【 例 5】 (2016 · 四川卷 ) 已知数列 {a n } 的首项为 1, S n 为数列 {a n } 的前 n 项和 ,S n+1 =qS n +1, 其中 q>0,n∈ N * . (1) 若 a 2 ,a 3 ,a 2 +a 3 成等差数列 , 求数列 {a n } 的通项公式 ; 解: (1)由已知,S n+1 =qS n +1,S n+2 =qS n+1 +1,两式相减得到a n+2 =qa n+1 ,n≥1. 又由S 2 =qS 1 +1得到a 2 =qa 1 ,故a n+1 =qa n 对所有n≥1都成立. 所以,数列{a n }是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n =q n-1 . 由a 2 ,a 3 ,a 2 +a 3 成等差数列,可得2a 3 =a 2 +a 2 +a 3 , 所以a 3 =2a 2 ,故q=2.所以a n =2 n-1 (n∈ N * ). (2) 求证 : 数列 {b n } 是等比数列 . 点击进入 课时训练